初中數(shù)學(xué)常見模型及部分解題思路

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中數(shù)學(xué)常見模型解題思路代 數(shù) 篇1、 循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：(1)設(shè)元(2)擴(kuò)大(3)相減抵消法【等式性質(zhì)的運(yùn)用】例：把0.化為分?jǐn)?shù).設(shè)a=0.兩邊同時(shí)乘以1000，得 1000a=108.-，得999a=108，從而得a=108/999=4/37.2、對(duì)稱式計(jì)算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整體思想的結(jié)合】中，知二求二. (加減配合，靈活變形.)如 ；.3、特殊公式的變型及應(yīng)用.4、立方和/差公式：5、等差數(shù)列求和的法：首尾相加法. (方法+公式)例：計(jì)算1+2+3+4+.+2018. 【規(guī)律推導(dǎo)法；等式性質(zhì)推導(dǎo)】6、等比數(shù)列求和法：(1)設(shè)元(2)乘等比(3)相

2、減(4)求解.例：計(jì)算1+2+4+8+.+2n. 【這兩種數(shù)列均可用等式性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)】7、 的靈活應(yīng)用.例：計(jì)算(1)；(2)8、 韋達(dá)定理求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值.(1) 對(duì)稱式：變和積.(x、y為一元二次方程的兩根)(2) 非對(duì)稱式：根的定義 降次 變和積(一代入二韋達(dá))9、 三大非負(fù)數(shù)及三大永正數(shù)(如|x|+2).10、 常用最值式：等11、 換元大法.12、 自圓其說加減法與兩肋插刀法。代數(shù)式或函數(shù)變型(如配方)只能加一個(gè)數(shù)，同時(shí)減去同一個(gè)數(shù)；如果是方程則只需要兩邊同時(shí)加上或者減去同一個(gè)數(shù)即可。13、 拆項(xiàng)法、配方法。(原理同上)14、 十字相乘法.15、 統(tǒng)計(jì)概率：兩查(抽樣；普查)、

3、三事(必然；隨機(jī)；不可能)、四圖(折線；條形；扇形；直方)、三數(shù)三差、兩頻(頻數(shù)；頻率)一概(概率).16、 一元二次方程應(yīng)用題.如利率問題、握手送花問題等17、 ，則在動(dòng)點(diǎn)問題中的巧妙應(yīng)用(避免繁瑣的因?yàn)辄c(diǎn)的相對(duì)位置變化引起的符號(hào)變化問題；平面直角坐標(biāo)系中動(dòng)態(tài)問題之“坐距互變”時(shí)巧施絕對(duì)值的代數(shù)解法).18、 四個(gè)角的正切值：22.5度的正切值為；67.5度的正切值為；A O B C D 75度的正切值為；15度的正切值為.幾 何 篇1、 線、角的等量問題：A O C B D 等角(如右圖)：條件 結(jié)論：說明：可視作由旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的“共點(diǎn)等角”等線(如下圖)：條件 結(jié)論：說明：可視作由平移產(chǎn)生A

4、 C B DA B C D A EC FPC FPA E2、 兩條平行線夾一角(即“拐點(diǎn)問題”)例：如圖1，條件AECF 結(jié)論：如圖2，條件AECF C D mA B n結(jié)論：3、 平行線夾等(同)底三角形：面積相等。同底三角形面積相等，則過頂點(diǎn)的直線與底所在直線平行。若mn，則.反之，若，則mn.B CA MPB CA 4、已知三角形兩邊長(zhǎng)，定第三邊的范圍：大于兩邊的差，小于兩邊的和。5、三角形的角平分線.(1)兩內(nèi)角平分線相交角：NB CA 一內(nèi)一外角平分線相交角：DB CA 兩外角平分線相交角：(如圖)(2)一內(nèi)角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段之比等于該角兩邊之比.KCDB CA FE如：A

5、D平分BAC，則.6、 三角形的中線：重心分中線為1:2兩部分.如：三中線AD、BE、CF交于點(diǎn)K，則DB CCA FE;.7、 三角形的高：底與高積相等；三高得相似；三高得四點(diǎn)共圓.如：AD、BE、CF為高，則;ADBCFB等；B、C、E、F四點(diǎn)共圓等.A 8、(1)高與一角平分線的夾角等于另外兩角差的一半.如：AD、AE分別為ABC(ABAC)的角平分線和高，A F B E CD則DAE=.(2)兩中線垂直的三角形中兩邊平方和等于第三邊平方的5倍.C B 如：AE、BF分別為ABC的中線，且AEBF，E OCDB CA FE則.9、三角形一分為二面積的比及其推廣到蝴蝶面積.(1)在ABC中

6、，AD、BE、CF相交于同一點(diǎn)O，D 則.S1 A (2)任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝶形定理”)：S4 O S3 S2 B C 或者.10、 等腰三角形三線合一的逆定理：兩線合一亦等腰；一垂兩等變等腰；一垂三等變等直.等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦=底邊的一半/腰A *重要推論：已知三角形中一個(gè)角的余弦，這個(gè)角的一邊×這個(gè)角的余弦=另一邊的一半，此三角形為等腰三角形(一邊為腰，另一邊為底).C B 如圖： ABC為等腰三角形(BC為底).A B *“兩線一圓模型”：已知線段AB(兩定點(diǎn)A、B)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)C，使ABC為等腰三角形.這樣的點(diǎn)C的集合在以A、 B為半徑的圓和AB

7、的垂直平分線上(與A、B共線的點(diǎn)除外)【等腰三角形存在性問題】11、 直角三角形斜高的求法：斜高=兩直角邊的乘積/斜邊*直角三角形存在性之“兩線一圓模型”：已知線段AB(兩B A 定點(diǎn)A、B)，在平面內(nèi)找一點(diǎn)C，使ABC為直角三角形.滿足條件的C的集合在過A、B作線段AB的垂線及以AB為直徑的圓上的除A、B兩點(diǎn)的任意點(diǎn)都可與A、B組成直角三角形.(即所謂的“兩線一圓”)高 12、等邊三角形面積的求法：13、求面積的套路：(1)復(fù)雜圖形：一拆用加；二放用減.(2)三角形：面積公式；寬 兩邊與夾角正弦的積的一半(遇鈍變補(bǔ))；鉛垂線法(寬高法)；等邊三角形的面積；利用相似比的平方等于面積比(借助面積

8、可求的三角形的面積和相似比求解)；讓出去(化歸).(3) 平行四邊形面積=兩鄰邊與其夾角的正弦的乘積；菱形的面積=邊長(zhǎng)的平方與一個(gè)內(nèi)角的正弦的乘積；梯形的面積=兩對(duì)角線與其夾角的正弦的乘積的一半.(4) 共角(有一個(gè)角相等)三角形：面積的比等于等角兩邊乘積的比(鳥頭定理).D A A 兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)D 兩夾邊的乘積之比.E E 如圖，在ABC中，D、E分別是C C B AB、AC上(或延長(zhǎng)線上)的點(diǎn)，則B E A 14、 三大蝴蝶：(1)一線兩等邊.如圖，ABC、ECD為等邊三角形，B、C、D共線，則有

9、：BCEACD、DCGECF、K G BCFACG；旋轉(zhuǎn)60°形成的全等三角形，所以F CGF也是等邊三角形；三組平行線；D AKB=BKC=DKC=60°KC平分BKD；C B K、F、C、G四點(diǎn)共圓.D A (2)一個(gè)三角形兩等邊.如圖，以ABC的兩邊AB、ACE 為邊向外作等邊ADB和等邊ACE，則有：ADCABECD=BE,DGB=60°,DGE=120°C G B 又點(diǎn)A到DC和到BE的距離相等FAG是DGE的平分線，DGA=EGA=60°.(3)一個(gè)三角形兩個(gè)正方形.如圖，以ABC的兩邊GA E AB、AC為邊向外作正方形ABGF和

10、正方形ACDE，則有：FC=BE，F(xiàn)CBE；AH平分FHE；H A、F、B、H四點(diǎn)共圓.D 15、平行四邊形的面積關(guān)系：C BD A (1) ；O (2)平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)到過對(duì)稱中心的任意一條直線(一般找平行于兩軸的直線)的距離相等.16、平行四邊形對(duì)角線平方的和等于四邊平方的和：D A E C B P C B 17、矩形一邊上任意一點(diǎn)到對(duì)角線距離的和=.18、矩形內(nèi)任意一點(diǎn)到對(duì)角頂點(diǎn)距離的平方和相等.E D A 如圖，矩形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)P，則有：.F 19、 矩形經(jīng)典對(duì)折圖.如圖，矩形ABCD沿對(duì)角線BD對(duì)折，C點(diǎn)到了E點(diǎn)，則一對(duì)全等(小直角三角形)一對(duì)相似，兩個(gè)C B 等腰.例：A

11、E:BD=3:5則AB:BC=4:8=1:2，這是因?yàn)橄嗨票葹?:5，所以EF:FB=3:5,因此ED=4(勾股)而AD=DF+FA=8.A G M D N FE B H C20、 正方形垂等圖.垂直 相等 橫平豎直；“改邪歸正”的輔助線方法.21、正方形三兄弟成面積圖.H E F MA D B CN G 三個(gè)正方形如圖擺放，AN恰好過E點(diǎn).結(jié)論：.解法：ACECFN(關(guān)鍵點(diǎn));N B CA D E F G M ,.22、兩正方形垂直相等圖.如圖，ABCD、CGFE是正方形：(1)DCGBCE;(2)BEDG，BE=GD；(3)A、B、M、D四點(diǎn)共圓，ADB=AMB=AMD=45°,

12、ADMAND,；(4)若DM2=MEMA，則BD=BG，BDG為等腰三角形.(GDC=DAM=DBM=MBG)，此時(shí)MA=MB.K H G F B CA E D 23、 正方形內(nèi)含半角(其中產(chǎn)生的兩個(gè)雙八字相似和等腰直角三角形)-鄰邊相等的圓內(nèi)接四邊形內(nèi)含半角圖.條件：正方形ABCD中，EBF=45°,結(jié)論：(1) EF=AE+FC；(2);(3)DCA=EBF=45°B、C、F、H四點(diǎn)共圓，BFH=90°BHF為等腰直角三角形；(4)同上：DAC=EBF=45°D C A B B、K、E、A四點(diǎn)共圓，BFE=90°BHE為等腰直角三角形.E

13、24、 正方形內(nèi)含半角模型的推廣及等腰直角三角形內(nèi)含半角圖.(1) 正方形內(nèi)含45°模型推廣到圓內(nèi)接四邊形(對(duì)角互補(bǔ)的四邊形)，有一組鄰邊相等，且相等的鄰邊的夾角內(nèi)含半角.A F 條件：四邊形ABCD中，BA=BC，ABC+D=180°，F(xiàn) ,結(jié)論：EF=AE+CF.E (2) 等腰直角三角形內(nèi)含45°.條件：等腰直角ABC，F(xiàn)BE=45°，C B 結(jié)論：.A BD CA BD CO E F A BD C(3) 其他特殊的等腰三角形“頂角”內(nèi)含半角圖.(根據(jù)上述模型類比解決：用三角比找到相關(guān)邊的關(guān)系.) 正方形互補(bǔ)型.Q (1)對(duì)稱中心有直角：OE=OF

14、(2)直角頂點(diǎn)在對(duì)角線上：P PB=PQD A A 小結(jié)：對(duì)角互補(bǔ)模型C C (1) 全等型-90°B 條件：AOB=DCE=90°OC平分AOBD E E B O O 結(jié)論：CD=CE;OD+OE=OC；A C .C A B O (2) 全等型-120°E D 條件：AOB=2DCE=120°O B D E OC平分AOB結(jié)論：CD=CE;OD+OE=OC；E A D .25、 正方形中123成135°B C點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，E 將ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CBE的位置.若AE=1，BE=2，C

15、E=3，則BEC= .26、 相似模型：(1) 正A、錯(cuò)A；正八、錯(cuò)八；正射影、錯(cuò)射影；正K、錯(cuò)K(一線三等角)DA 射影圖中：兩直角邊平方的比等于其在斜邊上的射影的比.(2)雙八字(共圓圖之一)條件：BAC=BDC(同弦對(duì)等角)B C結(jié)論：B、C、D、A四點(diǎn)共圓；ABMDCM,ADMBCM;其中AB、BC、CD、DA四條弦所對(duì)的四對(duì)圓周角相等.O(3)線束定理：兩平行線被過一點(diǎn)的三線所截得的四條“橫線”對(duì)應(yīng)成比例.AA B C m條件：直線mn，結(jié)論：.ED(4)平行于一邊的線段截得的圖形OD E F n(三角形、四邊形)面積之間的關(guān)系.CB條件：DEBC，結(jié)論：圖形中“對(duì)應(yīng)”線段的比，AA

16、相關(guān)面積的比，知一求其它.DD(5)三角形內(nèi)叉型：知兩比求其它比.FBE:EC CD:DA AF:FE BF:FDFE知二求二(過已知比的節(jié)點(diǎn)作平行線)CBECB(6)四線六點(diǎn)型：過其中的三條線組成A的被標(biāo)記的一個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，D作不過這個(gè)頂點(diǎn)的直線的平行線(有兩條)，問題迎刃而解.1E技巧：如過C點(diǎn)可作AB或者DE的平行線.善于從紛繁復(fù)雜2BC的圖形中找到這樣的模型是關(guān)鍵.(7)歪A模型.條件：1=2，結(jié)論：歪A生歪八，歪八補(bǔ)型得歪A(延長(zhǎng)BD、CE相交于點(diǎn)A)；對(duì)角互補(bǔ)的圓內(nèi)接四邊形補(bǔ)型.28、解直角三角形、解斜三角形(雙勾股)(1)直角三角形：內(nèi)高型、外高型、雙高型(梯形)、單高型(

17、直角梯形) 口訣：角優(yōu)先、多求邊；造模型、設(shè)表列.(2)任意三角形：知三求三(三邊、兩角一邊、兩邊及夾角)-盡量不破壞已知的邊和角(內(nèi)高、外高)29、 解三角形之：角優(yōu)先、套模型.ABOCDEO(附加模型：坡度、坡角、斜率、仰角、俯角、方向角-圖略)D30、手拉手模型E*模型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等C(1)等邊三角形BA條件：OAB、OCD均為等邊三角形 OABCDE結(jié)論：OACOBD;AEB=60°OE平分AED.(2)等腰直角三角形條件：OAB、OCD均為等腰直角三角形 DECABOD結(jié)論：OACOBD;AEB=90°OE平分AED.OECBABAEOC(3)任意等腰

18、三角形D條件：OAB、OCD均為等腰三角形 結(jié)論：OACOBD;AEB=AOB;OE平分AED.OO*模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似DDC(1)一般情況C條件：CDAB，將OCD旋轉(zhuǎn)至右圖位置.BBAA結(jié)論：右圖中OCDOABOACOBD;延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，必有BEC=BOA.D(2)特殊情況O條件：CDAB，AOB=90°，將OCD旋轉(zhuǎn)至右圖位置.CO結(jié)論：右圖中OCDOABOACOBD;EDC延長(zhǎng)AC交BD于點(diǎn)E，必有BEC=BOA;BABA;BDAC；連接AD、BC，必有AD2+BC2=AB2+CD2；(對(duì)角線互相垂直的四邊形)31、三平三交造平四(兩對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的

19、和分別相等)條件：平行四邊形ABCD公式： 用中點(diǎn)或平移兩種思路都可推理32、共圓圖.(1)共邊兩等角(直角)-見“雙八字”圖；(2)對(duì)角互補(bǔ)(對(duì)角有兩直角)、外角等于內(nèi)對(duì)角.-等腰梯形四頂點(diǎn)永遠(yuǎn)共圓33、垂徑圖、弦切圖、雙切圖、切割圖、雙割圖、相交弦定理(對(duì)頂三角形相似)、平行弦、圓內(nèi)共點(diǎn)等弦所成角被過這點(diǎn)的直徑(半徑)平分.34、等腰直角三角形斜邊上的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角構(gòu)造全等.B D CAEFG條件：AB=AC，BAC=90°，D為BC之中點(diǎn)，EDF=90°結(jié)論：ADFBDE;EDF為等腰直角三角形；E、D、F、A四點(diǎn)共圓；DE2=DF2=DGDA；AE+AF=AB=A

20、C;AD+AE+AF=.35、 相似+公共邊比例中項(xiàng)(平方：共邊相似+勾股定理)36、 方程思想設(shè)表列，幾何勿忘角優(yōu)先，以角定邊找關(guān)系，比例已知用負(fù)元.37、 兩邊分別平行或相等的兩個(gè)角相等或互補(bǔ).38、 中點(diǎn)四邊形口訣：對(duì)垂為矩；對(duì)等為菱；菱矩互變；任四為平.平正自變39、 正A面積比法(知一比求全比)40、 三角形內(nèi)十字叉：知二比求全比(六個(gè)比知二求四)41、 等腰直角三角形的面積42、 動(dòng)點(diǎn)問題的解題套路：(1) 相似三角形的存在性；(2)等腰三角形的存在性：兩點(diǎn)間距離公式、余弦大法、幾何法；(3)直角三角形存在性：射逆、勾逆、斜中逆、一線三直角之逆、直線垂直交軌法(4)面積的函數(shù)關(guān)系及

21、最值：正弦法、鉛垂線法、拆放法、相似比轉(zhuǎn)化法(5)將軍飲馬問題：線段和最小、差最大；動(dòng)點(diǎn)變定線段怎么辦；兩路一村；兩路兩村.(6)平行四邊形的存在性：三定一動(dòng)(相對(duì)頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)和相等)；兩動(dòng)兩定(按照定點(diǎn)之間線段分別做對(duì)角線及邊分類：平行四邊形相關(guān)的全等性質(zhì)求坐標(biāo)).(7)幾何法(思路難、計(jì)算簡(jiǎn))；代數(shù)法(思路簡(jiǎn)、計(jì)算難)；代幾混合法(取長(zhǎng)補(bǔ)短更優(yōu)越)43、 圓內(nèi)接四邊形(對(duì)角互補(bǔ))的補(bǔ)形法：補(bǔ)形構(gòu)造大A型(歪A)全等三角形.(特別注意：雙勾股的用法)44、被“誤解”和“冤枉”的SSA：兩邊和一邊的對(duì)角相等，且第三邊所對(duì)的角不互補(bǔ)，則這兩個(gè)三角形全等.函 數(shù) 篇1、 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離：(1

22、) 橫平(平行于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離)=|橫坐標(biāo)之差|=右-左；(2) 豎直(平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離)=|縱坐標(biāo)之差|=上-下；(3) 平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離：開方式(求距離)；平方式(列方程)；(4) 橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值：點(diǎn)到兩軸的距離.2、 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：橫和取半、縱和取半.3、 函數(shù)圖象平移規(guī)律：上加下減、左加右減.4、 交軌法：交點(diǎn)坐標(biāo)方程組的解(代數(shù)法出發(fā)點(diǎn))5、 代數(shù)(函數(shù)) 幾何(圖形)6、 函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系：兩數(shù)對(duì)一點(diǎn)、一點(diǎn)對(duì)兩距；一式對(duì)一線、一線對(duì)一式7、 已知一點(diǎn)和一條直線，求這點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)(垂直定k，點(diǎn)k定關(guān)系式.交軌法求垂足，中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

23、結(jié)論.)8、 求點(diǎn)到直線的距離：垂直定k，點(diǎn)k定關(guān)系式，交軌法求垂足，兩點(diǎn)間距離公式得結(jié)論.9、 一次函數(shù)y=kx+b(k0)：(1) 三點(diǎn)：與兩軸的兩個(gè)交點(diǎn)、圖象上的動(dòng)點(diǎn)(m，km+b)(2) 一k三比一角：|k|=坡度=坡角的正切(以k定比、定角；以比、以角定k) k的特殊求法：豎比橫；橫豎法秒殺關(guān)系式； 根據(jù)一次函數(shù)的關(guān)系式確定一個(gè)三邊的比確定的基本三角形. 時(shí)產(chǎn)生的特殊角：45°、60°、30°.(3) 兩直線平行k相等；兩直線垂直k的積為-1.(4) 兩條直線(一次函數(shù))關(guān)于x軸(含平行于x軸的直線對(duì)稱)或y軸(含平行于y軸的直線對(duì)稱)，則其斜率的和為零

24、(互為相反數(shù)).(5) 最值的確定：關(guān)系式+圖象+自變量取值范圍.10、 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)解題模型及套路：(1) 二次函數(shù)的信息題的破解套路：系數(shù)的意義+不等式+等式+判別式+根與系數(shù)的關(guān)系+最值的意義+123特殊值+三特殊值定關(guān)系式法.(2)二次函數(shù)比大?。哼h(yuǎn)近法(對(duì)稱軸法)(3)一式三型：一軸三法、五定一動(dòng)、五個(gè)死點(diǎn)一個(gè)活點(diǎn)(4)針對(duì)活點(diǎn)：設(shè)橫表縱、一線沖天、橫平豎直、坐距互變-改斜歸正(5)解題套路(四列)：列點(diǎn)-求定點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，找關(guān)系 列線-改斜歸正，以點(diǎn)定線定式列角-以式(直線：一次函數(shù)的關(guān)系式中的k確定對(duì)應(yīng)的角及其基本三角形中三邊的比和三角比)列式-方程(交軌法

25、)求解、函數(shù)關(guān)系式(對(duì)應(yīng)的性質(zhì))求解(6)三大函數(shù)最值的求法.其中二次函數(shù)分三種情況.11、軌跡的思想：確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)-找二者之間的關(guān)系-列出二元一次方程-化為函數(shù)-一式定型.12、解提策略篇：抓住不變量和特殊點(diǎn)，找到破題點(diǎn).化歸法、交軌法、橫平豎直、改斜歸正.(把題中的每個(gè)條件充分利用一遍基本就有思路了)13、三交法確定函數(shù)關(guān)系式：若函數(shù)圖象與兩軸有三個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)坐標(biāo)已知，則用韋達(dá)定理列方程求a、b、c較容易.初中幾何常見輔助線的添加技巧和方法在幾何的教學(xué)中，添加輔助線既是難點(diǎn)也是重點(diǎn)，如果能幫助學(xué)生梳理常規(guī)輔助線的添法，再配上經(jīng)典的試題，往往就能讓學(xué)生形成正確的添線

26、“直覺”，體會(huì)到數(shù)學(xué)解題中的“對(duì)立”和“統(tǒng)一”，提高解題效率.1、 添加輔助線的方法1、 注意題目中背景圖案的處理：背景圖案添線方法簡(jiǎn)圖基本圖形等腰三角形 (遇等腰化 直角) (1)作底邊上的高等腰三角形 直角三角形(2)作一腰上的高等腰三角形共邊直角三角形腰上高與底邊上高兩者結(jié)合易生成相似三角形.(3)過底角的頂點(diǎn)B作底邊BC的垂線與腰CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D等腰三角形 直角三角形直角三角形 遇直角化等腰 (1)取斜邊中點(diǎn)D構(gòu)造斜邊上的中線CD等腰三角形 直角三角形 (2)倍長(zhǎng)直角三角形的一條邊等腰三角形 直角三角形遇直角構(gòu)直角(1)作斜邊上的高直角三角形(2) 過頂點(diǎn)A、B作過點(diǎn)C的直線的垂

27、線直角三角形等腰直角 三角形(1)作斜邊上的高 (2)作斜邊上的中線 (3)作直角的角平分線等腰三角形 直角三角形直角梯形(1)添高矩形 直角三角形(2)延長(zhǎng)兩腰相交平行A 直角三角形(續(xù)上) 直角梯形(3)平移一腰平行四邊形 直角三角形(4)平移對(duì)角線平行四邊形 直角三角形(5)遇中點(diǎn)取中點(diǎn)(6)遇中點(diǎn)添平行同上(7)連接DE并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G平行8 直角三角形(8)平行線間夾有相等線段可延長(zhǎng)相交平行8 直角三角形 (說明：平行線間夾有線段比亦可延長(zhǎng))圓(1) 圓上有點(diǎn)作半徑、作弦等腰三角形(2) 圓中有弦作弦心距說明：垂徑定理易證中點(diǎn)直線與圓相切(1)圓上有點(diǎn)作半徑(2)圓上

28、無點(diǎn)作垂線兩圓相交作連心線說明：1、連接半徑易形成共邊直角三角形2、延長(zhǎng)OB與圓P相交于點(diǎn)D，公共弦結(jié)合其他弦易形成相似三角形作公共弦說明：圓上有點(diǎn)，且一圓過另一圓的圓心2、 注意題目中條件的處理：特征條件添線方法基本圖形特殊角三角比 選點(diǎn)選線作垂直直角三角形中線(1)倍長(zhǎng)全等三角形平行8(2)添平行(圖形同上)全等三角形平行8(3)遇中點(diǎn)取中點(diǎn)平行A(4)遇中點(diǎn)添平行(圖形同上)平行A角平分線(1)翻折全等三角形(2)添平行等腰三角形(3)作垂線過角平分線上的點(diǎn)作兩邊的垂線全等三角形過角平分線上的點(diǎn)作角平分線的垂線全等三角形等腰三角形線段比(1)根據(jù)條件構(gòu)造相似(2)選點(diǎn)選線添加平行平行A平

29、行8說明：方法很多，添線原則是不破壞已知條件，能夠轉(zhuǎn)化線段比.共點(diǎn)等長(zhǎng) 有夾角夾角180°易構(gòu)中心對(duì)稱圖形夾角90°易構(gòu)等腰直角三角形夾角60°易構(gòu)等邊三角形夾角任意角易構(gòu)等腰三角形3、注意題目中所求結(jié)論的處理：(1)線段和差-截長(zhǎng)補(bǔ)短或面積法注意：截的端點(diǎn)不同、線段不同，補(bǔ)的方向不同、線段不同，方法很多，注意篩選出能形成基本圖形解題的方法。與高有關(guān)的線段，可借助面積轉(zhuǎn)化出線段之間的等量關(guān)系。(2)倍分問題-加倍或折半注意：方法很多，注意篩選出能形成基本圖形解題的方法。4、注意圖形運(yùn)動(dòng)的處理：*旋轉(zhuǎn) (1)正確作圖(關(guān)注旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)圖形、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度，有時(shí)

30、方向和角度條件隱含在落點(diǎn)條件之中，反復(fù)審題提煉)；(2)旋轉(zhuǎn)全等，相等邊、角條件均可轉(zhuǎn)化，注意篩選每一組等邊、等角條件后結(jié)合已知生成新的基本圖形；(3)利用旋轉(zhuǎn)角相等、對(duì)稱點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)后易形成相似的等腰三角形。*翻折 (1)正確作圖(對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)的連線段，可作垂直、截相等)；(2)翻折全等，等邊、角條件均可轉(zhuǎn)化，注意篩選每一組等邊、等角條件后結(jié)合已知生成新的基本圖形；(3)翻折對(duì)稱性，對(duì)稱軸垂直平分對(duì)稱點(diǎn)的連線段，垂直條件易形成直角三角形，平分條件可轉(zhuǎn)化出線段之間的等量關(guān)系，連中垂線上的點(diǎn)易得等腰三角形；(4)特殊情況：翻折后常隱有角平分線的條件，遇上平行，易形成等腰三

31、角形。二、添線注意點(diǎn)1、題目中給定標(biāo)準(zhǔn)尺寸的重新畫圖，借助標(biāo)準(zhǔn)圖形分析問題、尋求突破；題目中沒有給定標(biāo)準(zhǔn)尺寸的用原圖，不能準(zhǔn)確定位圖形的可先嘗試著畫出大致圖形，根據(jù)已知再作不斷的調(diào)整。2、幾何問題就是研究所呈現(xiàn)每個(gè)圖形的邊、角、邊角所具有的特征，不要為了添線而添線，添線后要把所添加的輔助線回歸整體圖形，力爭(zhēng)篩理出每個(gè)圖形，繼而疊加組合后生成新的結(jié)論解決問題。三、添加輔助線的“一個(gè)中心、四個(gè)基本點(diǎn)”*一個(gè)中心-基本圖形*四個(gè)基本點(diǎn)-背景圖形、條件處理、結(jié)論處理、圖形運(yùn)動(dòng)詮釋了如何添加輔助線，基本上概括了初中階段的所有常規(guī)輔助線的添法，若能將其“自然”地應(yīng)用到教學(xué)和解題當(dāng)中，必將所向披靡！四、添加

32、輔助線的口訣詳盡審題標(biāo)注化 字母符號(hào)改造化 已知未知聯(lián)想化 分散條件集中化殘缺圖形補(bǔ)全化 基本圖形關(guān)聯(lián)化 思路受阻調(diào)整哈 數(shù)據(jù)處理方程化五、輔助線常見作法：一平二垂三連四延五截六轉(zhuǎn)七倍八補(bǔ).改斜歸正最常見！補(bǔ)充模型1、 費(fèi)馬點(diǎn)三角形的“三線五心一點(diǎn)”1、 三線：高線、中線、角平分線 2、五心：重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心注：旁心即旁切圓的圓心，有三個(gè).(與一邊和另外兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓叫做三角形的旁切圓.如圖)3、一點(diǎn)：費(fèi)馬點(diǎn)*費(fèi)馬點(diǎn)的定義：在平面內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)叫做此三角形的費(fèi)馬點(diǎn).A*費(fèi)馬點(diǎn)的位置：若三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于120°，則費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)，且該點(diǎn)與

33、三個(gè)頂點(diǎn)的連線必成三個(gè)120°角；若三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或者等于120°角，此時(shí)的費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)點(diǎn)的頂點(diǎn)。(費(fèi)馬點(diǎn)為該三角形最大角的頂點(diǎn))如右圖，ABC的三個(gè)內(nèi)角都小于120°，若點(diǎn)P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則APB=BPC=CPA=120°；P反之，若APB=BPC=CPA=120°，則點(diǎn)P為ABCCB的費(fèi)馬點(diǎn).即PA+PB+PC此時(shí)最小。APFCBDE*費(fèi)馬點(diǎn)的確定及相關(guān)結(jié)論：設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于120°，則以三角形的三邊分別向外作三個(gè)等邊三角形，每個(gè)等邊三角形的“外頂點(diǎn)”與原三角形相對(duì)的頂點(diǎn)的連線的交點(diǎn)即為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖所示的P點(diǎn)即為