泰勒公式及其應用康林

1、本科生畢業(yè)論文(設計)題 目： 泰勒公式及其應用 學生姓名： 康 林 學 號： 200810010207 專業(yè)班級： 應數(shù)08102班 指導教師： 鄒 慶 云 完成時間： 2012年5月 泰勒公式及其應用 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)學生：康林 指導老師：鄒慶云 目 錄摘要1關鍵詞10引言11 帶有不同余項的泰勒公式的內(nèi)容及特點21.1 帶有佩亞諾（Peano）型余項的泰勒公式21.2 帶有拉格朗日（Lagrange）型余項的泰勒公式22 泰勒Taylor公式的應用32.1 利用泰勒公式求極限32.1.1 應用泰勒公式求極限時，常用到的展開式32.1.2 利用泰勒公式求不定式的極限42.2 泰勒公式在不

2、等式證明中的應用52.2.1 簡單不等式的證明52.2.2 有關定積分不等式的證明62.2.3 一般不等式的證明72.3 泰勒公式在近似計算方面的應用82.3.1 近似計算估值82.3.2 定積分的近似計算82.4 泰勒公式在證明中值問題中的應用92.5 估計無窮小量的階102.6 利用泰勒公式判定二元函數(shù)極限的存在性122.7 泰勒公式在其他方面的應用132.7.1 利用泰勒公式求函數(shù)在點處的高階導數(shù)132.7.2 求某些微分方程的解142.7.3 求行列式的值16參考文獻：18致 謝:18摘要：泰勒公式是數(shù)學分析中非常重要的內(nèi)容,集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓,在微積分的各個方面都有重要

3、的應用.本文論述了泰勒公式的一些基本內(nèi)容，并主要采用舉例分析的方法，闡述了泰勒公式在求極限，不等式的證明，近似計算，中值問題的證明，估計無窮小量的階，判定二元極限的存在性以及求高階導數(shù)、求微分方程的解，求解行列式等方面的應用及技巧.通過以上幾個方面的研究，使我們在特殊的情況形成特定的思想，使解題能夠起到事半功倍的效果. 關鍵詞： 泰勒公式，應用，微積分，極限，行列式Abstract：Taylor's formula is very important mathematical analysis of the contents of a concentrated expression o

4、f the calculus "approximation" of the essence, the calculus of various important aspects of the application. This article discusses some of the basic Taylor formula, and the analysis of the main methods used, for example, described in the Taylor formula for the limit, the inequality that a

5、pproximate calculation, the value of the proven, it is estimated that a small amount of the endless band, the dual determine the limit And the existence of derivatives for high-end, and the solution of differential equations, such as the determinant for the application and skill. Through the above a

6、spects of the study so that we in the special circumstances of a particular ideology, so that problem solving can play a multiplier effect.Key words: Taylor's formula, Applications, Calculus , Limit , Determinant；0引言多項式函數(shù)是各類函數(shù)中最簡單的一種，用多項式逼近函數(shù)是近似計算和理論分析的一個重要內(nèi)容.泰勒公式的特點就在于用一個n次多項式去逼近一個已知的函數(shù)，而且這種逼近具

7、有很好的性質(zhì)，充分體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在數(shù)學的多個方面都有運用. 1 帶有不同余項的泰勒公式的內(nèi)容及特點1.1 帶有佩亞諾（Peano）型余項的泰勒公式若函數(shù)在點處n階可導，則帶Peano型余項的Taylor公式為： （1.1）帶Peano型余項的公式Taylor對函數(shù)的展開要求較低，它只要求在點處n階可導，展開形式也較為簡單.（1.1）說明當時用左端的Taylor多項式代替所產(chǎn)生的誤差是的高階無窮小，這反映了函數(shù)在時的性態(tài)，或者說反映了在點處的局部性態(tài).但Peano余項難以說明誤差范圍，一般不適應對此余項作定量估計.換句話說，帶Peano型余項的Taylor公式適合于對在時作性態(tài)分

8、析.因此，在處理時的極限計算問題時，可以考慮對有關函數(shù)采用這種展開方式，從而達到簡化運算的目的.1.2 帶有拉格朗日（Lagrange）型余項的泰勒公式若函數(shù)在點的某領域內(nèi)階可導，則帶Lagrange型余項的Taylor公式為： （介于之間） （1.2） 帶Lagrange型余項的Taylor公式對函數(shù)的展開要求較高，形式也相對復雜，但因為（1.2）對均能成立（當不同時，的取值可能不同）.因此，這反映出函數(shù)在領域內(nèi)的全局性態(tài).對Lagrange余項通常情況下可以作定量估算，確定其大致的誤差范圍.因此，帶Lagrange型余項的Taylor公式適合于研究在區(qū)間上的全局性態(tài)，例如：用于證明中值問題

9、的等式或不等式關系，等等.2 泰勒Taylor公式的應用2.1 利用泰勒公式求極限 對有些極限問題，利用帶Peano型余項的泰勒公式求出極限是十分有效的方法，要比諸如洛必達法則，等價無窮小代換的方法來得簡便，但需要對一些常用的泰勒公式較熟悉.2.1.1 應用泰勒公式求極限時，常用到的展開式 （1）（2）（3）（4）（5）（6） 上述展開式中的符號表示當時，它是一個較高階的無窮小，亦即有 ；根據(jù)這個定義容易驗證：當時有：（1） （2） （3） （4） （5） 2.1.2 利用泰勒公式求不定式的極限例1，求極限解： 因而求得 利用泰勒公式方法計算極限的實質(zhì)是一種利用等價無窮小的替代來計算極限的方法

10、.我們知道，當時， 等.這種等價無窮小其實就是將函數(shù)用泰勒公式展開至一次項.有些問題用泰勒公式方法和我們已經(jīng)熟知的等價無窮小方法相結合，問題又能進一步簡化.例2，求 . 解： 由 , 于是 ， 可以看出例2這道題，若是用洛必達法則是相當繁瑣的，而用泰勒公式和等價無窮小的方法相結合來考慮來做就簡單很多.運用泰勒公式方法求極限時，需要注意的一個問題是：將函數(shù)展開至多少項才可以呢？其實從例題中不難看出：只需要展開至分子和分母分別經(jīng)過簡化后系數(shù)不為零的階數(shù)即可.2.2 泰勒公式在不等式證明中的應用2.2.1 簡單不等式的證明例3 當時，證明： 證明：取， 則 代入泰勒公式，其中 得 當 時 故 當時，

11、得 . 有時候所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合不等式，不妨作一個輔 助函數(shù)并用泰勒公式替代，往往使證明方便簡捷.2.2.2 有關定積分不等式的證明例4 設在上單調(diào)增加，且，證明： （2.2.1） 證明：（1）先證 由題意，對，當時 故 （2.2.2） （2）再證 對，在點處的泰勒展開式為 （在與之間） （2.2.3）因，所以 （2.2.4） 將分別代入式（2.2.4）并相加，得 （2.2.5） 對（2.2.5）式的兩邊在上的積分，則 （2.2.6） （2.2.7）故 （2.2.8）由式（2.2.2）與式（2.2.8）可知（2.2.1）式成立. 利用泰勒公式對定積分不等式進行證明，主

12、要針對的類型是：已知被積函數(shù)二階或者二階以上可導且又知最高階導數(shù)的符號.通過直接寫出的泰勒展開式，根據(jù)題意對展開式進行縮放，從而證明命題. 一般不等式的證明例5 在上，且，試證明 證明： 任取，對任意，利用泰勒公式及其條件可得 （2.2.9） （2.3.0） （2.2.0）+（2.3.0）得 所以有 即 （2.3.1） 設，使 根據(jù)（2.3.1）及 0得 即 利用泰勒公式解決一般不等式的證明，只要適用于題目中的函數(shù)具有二階或二階以上導數(shù)且最高階導數(shù)的大小或上下界可知的命題.在進行證明時，首先寫出比高階導數(shù)低一階的泰勒展開式，然后恰當?shù)剡x擇等式兩邊的與.特別要注意的是：展開點不一定以為最合適，有

13、時以為展開點，題目更容易處理.最后，根據(jù)所給的最高階導數(shù)的大小或界，對展開式進行縮放，從而使命題得證.2.3 泰勒公式在近似計算方面的應用2.3.1 近似計算估值例6 計算的值，使其誤差不超過.解：,由,得到 有:故 ,當時,便有從而略去而求得的近似值為2.3.2 定積分的近似計算例7 求的近似值,精確到.解： 因為中的被積函數(shù)是不可積的（即不能用初級函數(shù)表達）,現(xiàn)用泰勒公式的方法求的近似值.在的展開式中以代替 x得逐項積分,得 上式右端為一個收斂的交錯級數(shù),由其余項的估計式知能夠精確計算定積分的函數(shù)，只是大量函數(shù)中很少的一部分.事實上，在實際計算定積分時不能得到它的準確值時，即只能求出其近似

14、值時，這時，運用泰勒公式對函數(shù)的定積分進行近似計算是一種非常行之有效的好方法.2.4 泰勒公式在證明中值問題中的應用例8 設函數(shù)在上具有三階連續(xù)導數(shù)，且,證明：在內(nèi)至少存在一點，使.證明：由麥克勞林公式，得 (在0和之間)分別令，并將所得的兩式相減，得 (,)由的連續(xù)性知，在上有最大值M和最小值m則有 由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，至少存在一點 ，使得 . 例9 證明若與均存在且有限，則解法一 用Lagrange中值定理由存在，從而在時有界，可記為 ，因此 ，令 則 （） 有 （介于，之間） （2.3.2）又 存在，于是 由Lagrange中值定理，應有 （）從而 . 于是對上述 ， 使得 有 （2

15、.3.3）令，則對 ，由式（2.3.2）和式（2.3.3）得 也即有 因與均存在且有限，則 解法二 用Taylor公式 同解法一，在時有界，記為， 對 ，由Taylor公式有 ， 于是有 （2.3.4）由式（2.3.4）得出 對，可令，其余證法可仿照解法一寫出. 相比較而言，前一種方法兩次用到Lagrange中值定理，而在后一種方法中將其歸并為一個二階的Taylor公式，從而使敘述更為簡潔，清晰.2.5 估計無窮小量的階 如何估計無窮小量的階，對于簡單函數(shù)可用估猜法，但是對于復雜的函數(shù)就無能為力了，但用Peano型余項的Taylor公式就可迎刃而解.例10 當時，函數(shù)是多少階無窮小量，其中是參

16、數(shù).解：因為 所以 故 當 時，y是2階無窮小量當 時，y是4階無窮小量 . 通過應用泰勒公式對無窮小量的階進行估計，可以簡便有效地判定級數(shù)及廣義積分的斂散性，下面舉例進行說明：例11 討論級數(shù)的斂散性.分析：直接根據(jù)通項去判斷該級數(shù)是正向級數(shù)還是非正向級數(shù)比較困難,因而也就無法恰當選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應,會使判斂容易進行.解 ： 因為,所以,所以故該級數(shù)是正向級數(shù).又因為,所以.因為收斂,所以由正向級數(shù)比較判別法知原級數(shù)收斂. 例12 由于收斂，所以2.6 利用泰勒公式判定二元函數(shù)極限的存在性 利用泰勒公式研究函數(shù)無窮小量的階，在判定二元函數(shù)極

17、限的存在性時，是一種非常有效的方法，其具體做法如下： 給出 點的Taylor展開式 特殊地，在點處的Taylor展開式為： 這里 .例13 求函數(shù)極限 解： 又 顯然，當， 時 故所求極限不存在 .2.7 泰勒公式在其他方面的應用2.7.1 利用泰勒公式求函數(shù)在點處的高階導數(shù)由泰勒展開的唯一性，并注意到泰勒公式的各項系數(shù)（），則可得高階導數(shù)，即（）例14 求 在處的階導數(shù)（）. 解：由泰勒公式 及 故 .2.7.2 求某些微分方程的解微分方程的解可能是初等函數(shù)或者非初等函數(shù)，如微分方程 （2.3.5）的求解問題便是如此，因而解這類方程時，我們可以設想其解可以表成泰勒級數(shù)的形式.進一步，我們還可

18、以大膽設想可以表示成更為一般的冪級數(shù)的形式，從而得到了解這類方程的一種重要方法.事實上，若，在某點的鄰域內(nèi)可以展開成關于的泰勒級數(shù)（或冪級數(shù)），則方程（1）的解在的鄰域內(nèi)也能展成關于的泰勒級數(shù)（或冪級數(shù)），即 例15 微分方程 解：顯然，可在的鄰域內(nèi)展開泰勒級數(shù)，故原方程有形如 （2.3.5）的冪級數(shù)解，將式（）及其導數(shù)代入原方程，得 即 令的同次冪系數(shù)為零，得 ， ， （ ）從而 ，即有 ， （）所以其通解為 即 .2.7.3 求行列式的值若一個行列式可看作的函數(shù)（一般是的次多項式），記作，按泰勒公式在某處展開，用這一方法可求得一些行列式的值.例16 求n階行列式 （）解：記，按泰勒公式在處展開： （）易知 （）由式（）得，時都成立. 根據(jù)行列式求導的規(guī)則，有 ， ，（因為）于是在處的各階導數(shù)為 把以上各導數(shù)代入有若， 有 ；若， 有 .泰勒公式求解行列式這一方法在高等代數(shù)中沒有介紹過，從而為行列式的求解又多了一種方法，也是用數(shù)學分析手段研究高等代數(shù)問題的初步探索. 參考文獻： 1 裘兆泰等,M數(shù)學分析指導，北京：科學出版社 ，2004. 2 費定暉等,M吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解（第三版）,山東科學技術出版社,1