小學奧數(shù)-幾何五大模型(蝴蝶模型)

1、模型三蝴蝶模型（任意四邊形模型） Si：S2S4： S3 或者 SiS3S2 S4 AO:OC S 8 ： S4 S3蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊 形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系?！纠?】（小數(shù)報競賽活動試題）如圖，某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對角線 AC BD分成四個部分， AOB1積為1平方千米，BOO積為2平方千米，4COD勺面積為3平方千米，公園由陸地面積是 6. 92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【分析】根據(jù)蝴蝶定理求得 SAaod 3

2、 1 2 1.5平方千米，公園四邊形ABCD的面積是1 2 3 1.5 7.5平方千米，所以人工湖的面積是7.5 6.92 0.58平方千米【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知,求：三角形 BGC的面積； AG:GC ?【解析】根據(jù)蝴蝶定理,SVBGC123,那么 SVBGC6 ；根據(jù)蝴蝶定理，AG:GC 12:36 1:3. (? ? ?)四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點0（如圖所示）。如果三角形 ABD的面積等于三角形 BCD的面積的1 ,且A0 2 , DO3 ,那么C0的長度是DO的長度的倍。【解析】在本題中，四邊形 ABCD為任意四邊形，對于

3、這種"不良四邊形” ，無外乎兩種處理方法：利用已 知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形?？吹筋}目中給出條 件Svabd：S/bcd 1:3 ,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法。又觀察題目中給出的已 知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改 造這個"不良四邊形”，于是可以作 AH垂直BD于H , CG垂直BD于G ,面積比轉(zhuǎn)化為高之比。 再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果。請老師注意比較兩種解法，使 學生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題

4、。解法一：. AO：OC SABD : S BDC 1:3 ,0C 236,OC:OD 6:3 2:1 .解法二：作AH BD于H, CG BD于G.Q1 CS ABD S BCD ,31.AH -CG ,3,11 S AOD S DOC ,31 .AO CO, 3OC 236,. OC:OD 6:3 2:1 .例3 如圖，平行四邊形 ABCD的對角線交于O點，4CEF、AOEF > AODF > ABOE的面積依次是2、 4、4和6。求：求 OCF的面積；求 4GCE的面積?！窘馕觥扛鶕?jù)題意可知， ABCD的面積為2 4 4 6 16,那么ABCO和 CDO的面積都是16 2 8

5、, 所以O(shè)CF的面積為8 4 4； 由于 ABCO的面積為8, 4BOE的面積為6,所以 OCE的面積為8 6 2, 根據(jù)蝴蝶定理，EG:FG S COE : S COF 2:4 1: 2 ,所以 S gce :S gcf EG: FG 1:2,112那么 S gce S CEF - 2 一 .1 233例4 圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了 4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個三角形的面積是多少公頃?【解析】在VABE, VCDE中有 AEB CED ,所以VABE , VCDE的面積比為(AE EB) :(CE DE)。同 理有

6、VADE , VBCE 的面積比為(AE DE): (BE EC)。所以有 SVabe xSVCde = SVAde xSVbce ,也就是 說在所有凸四邊形中，連接頂點得到2條對角線，有圖形分成上、下、左、右 4個部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積。即SVAbe 6= SVAde 7 ,所以有VABE與VADE的面積76比為 7:6, SVAbe = 39 21 公頃，SVAde = 39 18 公頃。6 76 7【例5】(2008年清華附中入學測試題)如圖相鄰兩個格點間的距離是1 ,則圖中陰影三角形的面積O.顯然，最大的三角形的面積為21公頃。則可根據(jù)格點面積公式，可以得

7、到ABC的面積為:ACD的面積為:連接 AD、CD、BC。所以BO:OD S ABC : S ACD2:3.54:7 ,所以 SaboS ABD1211114ABD的面積為：2 12【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1,求三角形 ABC的面積。ADB【解析】因為BD:CE2:5 ,且 BD /CE ,所以 DA: AC 2:5 , S ABCDBC10CF FD,求三角形AEG【例6】(2007年人大附中考題)如圖，邊長為1的正方形ABCD中，BE 2EC , 的面積.GFGFBEC BE C【解析】連接EF .因為BE 2EC , CF FD所以 S DEF (2 3因為S AED1-Swa

8、bcd ,根據(jù)蝴蝶定理，AG :GF2一)SWABCD 21 1: I2 12SWABCD 12所以S AGD6 s GDF6Sadf7所以S AGES AEDS AGDSWABCD SWABCD 7 414SWABCD SWABCD SWABCD14【例7】即三角形AEG的面積是27如圖，長方形 ABCD中, 方形ABCD的面積.BE:EC 2:3, DF : FC 1:2三角形DFG的面積為2平方厘米，求長例8【解析】因為 BE: EC 2:3 , DF : FC1:2,所以 SVDEF(511一 )S長方形ABCDS長方形ABCD 2101 一一一因為 SVAED一 球方形 ABCD ,

9、 AG : GF22 101 5:1SVAGD5SVGDF10平方厘米，所以SVAFD12平1方厘米.因為SVAFD11方形ABCD，所以長方形6如圖，已知正方形 ABCD的邊長為 形BDG的面積.10厘米,設(shè)BD與CE的交點為O ,連接BE、 DF .ABCD的面積是72平方厘米.E為AD中點，F(xiàn)為CE中點，G為BF中點，求三角11由蝴蝶7E理可知EO : OCSVBED:SVBCD ,而SVBED- SWABCD ,SVBCD-SWABCD ,421所以 EO:OC SVBED : SVBCD 1:2,故 EO EC. 3由于F為CE中點，所以EF1 一 EC,故 EO: EF 2FO:E

10、O由蝴蝶7E理可知SvbFD : SvBEDFO : EO 1:2 ,所以S/BFDSvBED2一 SwaBCD , 8那么SvbGD（平方厘米）.1 .1 ,一SvBFDSwaBCD216110 10 6.2516例9如圖，在ABC中，已知M、N分別在邊AC、BC上，BM與AN相交于O,若 AOM、 ABO和BON的面積分別是3、2、1,則 MNC的面積是【解析】【例10】這道題給出的條件較少,需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解.根據(jù)蝴蝶定理得S MONS AOM S BONS AOB設(shè) S MONS ANMS MNCX,根據(jù)共邊定理我們可以得S ABMS MBC一，解得Xx 22.5.（20

11、09年迎春杯初賽六年級）正六邊形 AA2 A3A4A5A6的面積是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分別【解析】平方厘米.設(shè) A1B1B6的面積為” 1 “，則B1A2B6面積為" 1“, 的2倍，為" 4 "，梯形A1A2A3A6的面積為2 2 面積為2 .AA2B6面積為" 2 “，那么 A6A3B6面積為 AA2B64 2 12A2B6A3 的面積為”6 “，B1A2A3 的是正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是如圖，設(shè)B6A2與BA3的交點為O,則圖中空白部分由6個與 A2OA3一樣大小的三角形組成， 只要求 出了 A2OA3的

12、面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影部分面積.根據(jù)蝴蝶定理,BOA3OS B1A2B6 :S A3A2B61:6,故 S 4OA3BA2A3127，連接 A3A3、BeB、B6A3.一 .121所以SA2OA3：S弟形AA2AA y ：12：1： 7 ,即 A2OA3的面積 為梯形 AA2AA面積的-,故為K邊形113AA2 A3 A4 A5 A6面積的，那么空白部分的面積為正六邊形面積的.1 6 士，所以陰影部分面積1148（平萬厘米）.7板塊二梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理” 廣2,2,a :b :ab:ab ；2 S1: S3a2: b2 S

13、i: S3 : S2 : S4S的對應(yīng)份數(shù)為梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果.（具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進行說明）【例11 如圖，S2 2 , S3 4,求梯形的面積.【解析】設(shè)G為a2份，S3為b2份，根據(jù)梯形蝴蝶定理，S3 4 b2,所以b 2；又因為& 2 a b ,所以a 1 ;那么S a2 1, S4 a b 2,所以梯形面積S Si S2s3 s4 12429,或者根 22據(jù)梯形蝴蝶定理，Sab 1 29 .【鞏固】（2006年南京智力數(shù)學冬令營）如下圖，

14、梯形 ABCD的AB平行于CD,對角線AC, BD交于O ,已 知AOB與BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形 ABCD的面積是 平方厘米.【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，Svaob : Svboc a2：ab 25:35,可得a:b 5:7,再根據(jù)梯形蝴蝶定理， Svaob ： Svdoc a2:b2 52:72 25:49,所以SVDOC 49 （平方厘米）.那么梯形ABCD的面積為 25 35 35 49 144（平方厘米）.【例12】梯形ABCD的對角線AC與BD交于點O,已知梯形上底為 2,且三角形 ABO的面積等于三角2形BOC面積的-,求三角形 AOD與三角形BOC的

15、面積之比.3【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，SVAOB : SVBoc ab:b2 2:3,可以求出a:b 2:3, 2222再根據(jù)梯形蝴蝶定理，Svaod ： Svboc a ： b 2 ： 3 4:9.通過利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個問題，而沒有像以前一樣，為了某個條件的缺乏而千 辛萬苦進行構(gòu)造假設(shè)，所以，請同學們一定要牢記幾何模型的結(jié)論.【例13（第十屆華杯賽 ）如下圖，四邊形ABCD中，對角線AC和BD交于O點，已知 AO 1并且三角形ABD的面積三角形CBD的面積3 ,那么OC的長是多少?5【解析】根據(jù)蝴蝶定理,三角形ABD的面積 AO 也NAO 3 八八 彳 七凹 2 5一.不工

16、口 ，所以 一,又AO 1 ,所以CO 一二角形CBD的面積 CO CO 53【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面積是29cm ,向二角形AOD的面積是多少?【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，a:b 1:1.5所以 S aod 4 cm2 .2:3 , S AOD : S BOC22_2_2a2 :b2 22:324:9 ,COD的面積分別為【鞏固】根據(jù)梯形蝴蝶定理，Svaob : SVACOD1.2和2.7,求梯形ABCD的面積.22a :b 4:9,所以 a:b 2:3 ,2Svaod : Svaob ab : a b: a 3: 2 ,SvAODSvCOB1.2弟形abcd1.

17、2 1.8 1.8 2.7 7.5 .【例15】如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形ADG的面積是11,三角形BCH的面積是23,求四邊形EGFH的面積.【解析】如圖，連結(jié)EF,顯然四邊形ADEF和四邊形BCEF都是梯形，于是我們可以得到三角形EFG的面積等于三角形ADG的面積；三角形BCH的面積等于三角形 EFH的面積，所以四邊形EGFH的面積是 11 23 34.【鞏固】（人大附中入學測試題）如圖，長方形中，若三角形 1的面積與三角形 3的面積比為4比5,四邊形2 的面積為36,則三角形1的面積為.【解析】做輔助線如下：利用梯形模型，這樣發(fā)現(xiàn)四邊形2分成左右兩邊，其面積

18、正好等于三角形1和三角一 一 , 4 5形3,所以1的面積就是36 16 , 3的面積就是36 20 .4 54 5【例16如圖，正方形 ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點.求圖中陰影部分的面積.【解析】因為M是AD邊上的中點，所以 AM :BC 1:2,根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道 22SA AMG : SA ABG : SA MCG : SABCG 1 : （1 2）： （1 2） ： 2 1: 2: 2 :4,設(shè) 8AAGM 1份，則SAMCD 1 2 3 份, 所以正方形的面積為1 2 2 4 312份，Sw2 2 4份，所以S!影：S正方形1:3, 所以SM影1平方厘米.【鞏固

19、】在下圖的正方形 ABCD中，E是BC邊的中點，AE與BD相交于F點，三角形BEF的面積為1平 方厘米，那么正方形 ABCD面積是 平方厘米.B【解析】連接DE ,根據(jù)題意可知BE: AD 1: 2 ,根據(jù)蝴蝶定理得S梯形（1 2）2 9 （平方厘米），SAECD 3 （平 方厘米），那么SwABCD 12（平方厘米）.【例17】如圖面積為12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC邊上的三等分點，求陰影部分的面積.【解析】因為E,F是DC邊上的三等分點，所以 EF : AB 1:3 ,設(shè)Sef 1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道2 一 一SA AOE SAOFB 3彳刀S SA AOB 9彳刀S

20、 SA ADE SA BCF （1 3）仿 ） 因此正方形的面積為 4 4 （1 3）24份） %影 6 ,所以 S陰影：S正方形 6:24 1:4 ,所以 Sw 3平方厘米.【例18】ABCD中，AB 6厘米，AD 2厘米，AE EF FB ,求陰影部分的面積.如圖，在長方形【解析】方法一：如圖，連接 DE , DE將陰影部分的面積分為兩個部分，其中三角形AED的面積為2 6 3 2 2平方厘米.由于EF:DC 1:3 ,根據(jù)梯形蝴蝶定理，Svdeo : Svefo3:1 ,所以SvdeoSvDEF ,而 SVDEF 4SVADE2平方厘米，所以 SVDEO方法二：如圖，連接3) .4DE

21、,2 1.5平方厘米，陰影部分的面積為FC ,由于EF : DC 1:3份,Sw2S梯形 EFCD(13)4 3 7份，而16 份，SA ADESA BCF132 1.53.5平方厘米.S長方形ABCD6 212平方厘米,設(shè) SAOEF4份，因此所以&M影1份，根據(jù)梯形蝴蝶定理,SK方形 ABCD43.5平方厘米SA OED316 4 24 份,【例19】（2008年“奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級試題 ）已知ABCD是平行四邊形,面積為6平方厘米.則陰影部分的面積是 平方厘米.BC:CE 3: 2 ,三角形 ODE的【解析】連接AC .由于 ABCD是平行四邊形，BC:CE 3:2 ,所以CE:

22、AD 2:3 ,根據(jù)梯形蝴蝶定理，Svcoe : Svaoc :SVDOE :Svaod 22:2 3: 2 3: 32 4:6:6:9 ,所以 Svaoc 6（平方厘米），Svaod 9（平方厘米），又Svabc Svacd 6 9 15（平方厘米），陰影部分面積為6 15 21（平 方厘米）.【鞏固】右圖中 ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【分析】連接AE.由于AD與BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S ocd S oae .根據(jù)蝴蝶定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36,故

23、S OCD 36,所以 S OCD 6（平方厘米）.【鞏固】（2008年三帆中學考題）右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是 平方厘米.【解析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S ocd S oae .根據(jù)蝴蝶定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 2 8 16 ,故 S OCD 16 ,所以 S OCD 4（平方厘米）. 11另解：在平行四邊形 ABED中，Sade - Syabed -16 812（平萬厘米），22所以S AOE S ADE S AOD 12 8 4（平方厘米），

24、根據(jù)蝴蝶定理，陰影部分的面積為 8 2 4 4（平方厘米）.【例20】如圖所示，BD、CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是5平方厘米,CED的面積是10平方厘米.問：四邊形 ABEF的面積是多少平方厘米?20（平方厘米），所以長方形的面積為10 20 25（平方厘米）.【分析】連接BF ,根據(jù)梯形模型，可知三角形BEF的面積和三角形 DEC的面積相等，即其面積也是 10平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形BCE的面積為10 10 520 10 2 60 （平方厘米）.四邊形 ABEF的面積為60 5【鞏固】如圖所示， BD、CF將長方形ABCD分成4塊， DEF的面積是4平方厘米， CED

25、的面積是6平 方厘米.問：四邊形 ABEF的面積是多少平方厘米？【解析】（法1）連接BF ,根據(jù)面積比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面積和三角形 DEC的面積相等，即其面積也是 6平方厘米，再根據(jù)蝴蝶定理，三角形 BCE的面積為6 6 4 9（平方厘米）， 所以長方形的面積為 9 6 2 30 （平方厘米）.四邊形ABEF的面積為30 4 6 9 11 （平方厘 米）.（法2）由題意可知，EF 4 2,根據(jù)相似三角形性質(zhì)，空空2,所以三角形BCE的面積為： EC 63EB EC 32 一 、一， 一 一 一一， 一、一，、一一一，一、一， 一6 - 9（平方厘米）.則三角形CBD面積

26、為15平方厘米，長方形面積為 15 2 30（平方厘米）.四3邊形ABEF的面積為30 4 6 9 11（平方厘米）.【鞏固】（98迎春杯初賽）如圖，ABCD長方形中，陰影部分是直角三角形且面積為54, OD的長是16 , OB的長是9 .那么四邊形 OECD的面積是多少？【解析】【例21】因為連接ED知道ABO和AEDO的面積相等即為54 ,又因為OD：OB=16 ： 9 ,所以4AOD的面積 為54 9 16 96,根據(jù)四邊形的對角線性質(zhì)知道： BEO的面積為：54 54 96 30.375,所以四 邊形OECD的面積為：54 96 30.375 119.625（平方厘米）.（2007年“

27、迎春杯”高年級初賽）如圖，長方形 ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中 3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形 OFBC的面積為平方厘米.【解析】連接DE、CF .四邊形EDCF為梯形，所以S e°d Svf ,又根據(jù)蝴蝶定理，S EOD S FOC S EOF S COD , 所以S EOD S FOC S EOF S COD 2 816,所以S EOD 4（平方厘米），S ecd 4 8 12（平方厘米）.那么長方形 ABCD的面積為12 2 24平方厘米，四邊形 OFBC的面 積為24 5 2 8 9（平方厘米）.【例22 （98迎春杯初賽）如圖，長方形 ABC

28、D中，AOB是直角三角形且面積為 54, OD的長是16, OB的 長是9.那么四邊形 OECD的面積是.【解析】解法一：連接DE ,依題意SVAOBAO54,所以AO 12,則 SVAODDOAO又因為SV AOBSVDOE541212161612 96 .OE ,所以O(shè)E6r得 SVBOE2BOEO -2634所以 SOECDSVBDCSVBOESVABDSVBOE54963038解法二：由于SVAOD ： SV AOBOD：OB 16:9 ,所以SVAOD5 119一.8165496 ,而 SVDOESVAOB54,根據(jù)蝴蝶定理,SVBOESVAODSVAOB SVDOE ,所以 SvB

29、OE545496所以SOECDSVBDCSVBOESVABD SVBOE54 96308【例23如圖,ABC是等腰直角三角形,DEFG 的面積 48, AK:KBD A GDEFG是正方形，線段 AB與CD相交于K點.已知正方形BKD的面積是多少？KKB EF C B E MF C【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形 ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和11 一 .ACK的面積是相等的.而AK :KB 1:3 ,所以 ACK的面積是 ABC面積的 ，那么 BDK 1 3 4的面積也是 ABC面積的- 4由于 ABC是等腰直角三角形，如果過 A作BC的垂線，M為垂足

30、，那么 M是BC的中點，而且 AM DE,可見 ABM和 ACM的面積都等于正方形 DEFG面積的一半，所以 ABC的面積與正 方形DEFG的面積相等，為 48. 1那么 BDK的面積為48 - 12 .4【例24如圖所示，ABCD是梯形，ADE面積是1.8, ABF的面積是9, BCF的面積是27.那么陰影AEC面積是多少？ A -D214242125><【解析】根據(jù)梯形蝴蝶定理，可以得到27S AFDS BFC3,S AFB S CDF 9 9S AFB S DFC S AFD S BFC , 而 S AFB S DFC (等積變換)，所以可得【例27如圖，在一個邊長為 6的正

31、方形中，放入一個邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個頂點與小正方形的兩個頂點，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面 積為.【解析】本題中小正方形的位置不確定，所以可以通過取特殊值的方法來快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定6 ,那么陰影部分面積為多少?【解析】 連接陰影圖形的長對角線，此時六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和梯形蝴蝶定理把ABC由這6部分BCEDADEF中有=，乂=X，：二AD2 : FE2=4.又已知-=6,所以=6 (4 1) 2,二4 8,所以乂=X=16,而=，所以=4,梯形ADEF的面積為、四塊圖形的面積和，為 8 4 4 2 18

32、 .有VCEF與VADC的面積比為CE平方與CD平方的比,一. 一, 一一一 44 一. 4 一. 一 .，一 ,即為1:4.所以VADC面積為梯形ADEF面積的 二，即為18 24.因為D是BC中點，所以 4-133VABD與VADC的面積相等，而 VABC的面積為VABD、VADC的面積和，即為 24 24 48平方厘米.三角形 ABC的面積為48平方厘米.并且S AEFS ADF S AED31.8 1.2,而 SAFB :S BFC AF : FC 9:27 1:3,S AEC S AEF 4 1.2 44.8 .【例25】如圖，正六邊形面積為六邊形分為十八份，陰影部分占了其中八份，所

33、以陰影部分的面積【例26】如圖，已知 D是BC中點，E是CD的中點，F(xiàn)是AC的中點.三角形組成，其中比多 6平方厘米.那么三角形 ABC的面積是多少平方厘米?【解析】因為E是DC中點，F(xiàn)為AC中點，有 AD 2FE且平行于 AD ,則四邊形ADEF為梯形.在梯形所以陰影AEC的面積是:683818理來解決一般情況.解法一：取特殊值，使得兩個正方形的中心相重合，如右圖所示，圖中四個空白三角形的高均為1.5,因此空白處的總面積為 6 1.5 2 4 2 2 22,陰影部分的面積為 6 6 22 14 .解法二：連接兩個正方形的對應(yīng)頂點，可以得到四個梯形，這四個梯形的上底都為2,下底都為6,上底、下

34、底之比為 2: 6 1:3 ,根據(jù)梯形蝴蝶定理，這四個梯形每個梯形中的四個小三角形的面積之 比為12:1 3:1 3:3 2 1:3:3:9 ，所以每個梯形中的空白三角形占該梯形面積的_9 ,陰影部分的面16積占該梯形面積的 工，所以陰影部分的總面積是四個梯形面積之和的,那么陰影部分的面積為1616722-(62 ) 14.16【例28如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別在BC與CD上，且CE 2BE , CF 2DF ,連接BF、DE ,相交于點G ,過G作MN、PQ得到兩個正方形 MGQA和PCNG ,設(shè)正方形MGQA的面積為S1 ,正方形PCNG的面積為S2 ,則Si： 5 .【解析】

35、 連接BD、EF .設(shè)正方形ABCD邊長為3,則CE CF2, BE DF 1 ,所以，EF2 22 228,BD222223318 .因為 EF BD 8 18144 122,所以EF BD 12.由梯形蝴蝶定理，得SA GEF ： SA GBDSDGF ： SnBGEEF2 ：BD2： EFBD : EF BD 8:18:12 :124:9:6:6 ,所以，S»a bgeS弟形BDFESW形BDFE 因為25Sa BCD39 一3 2-, Sa cef2 2 2 2,2所以S弟形BDFE_5_Sa bcdSa cef, 所以，SaBGE225由于BGE底邊BE上的高即為正方形 PCNG的邊長，所以CN66 92 1 一， ND 3 -,55 522.所以 AM :CN DN :CN 3: 2 ,則 S ： & AM : CN 9:4 .【例29 如下圖，在梯形 ABCD中，AB與CD平行，且CD 2AB,點E、F分別是AD和BC的中點,已知陰影四邊形 EMFN的面積是54平