平面圖形立體圖形空間向量. - 專題導(dǎo)引(五) 平面圖形立體圖形空間向量

1、聯(lián)賽導(dǎo)引(五) 平面圖形 立體圖形 空間向量一,基礎(chǔ)知識導(dǎo)引<一>,直線,平面之間的平行與垂直的證明方法1,運用定義證明(有時要用反證法); 2,運用平行關(guān)系證明; 3,運用垂直關(guān)系證明; 4,建立空間直角坐標系,運用空間向量證明.例如,在證明:直線直線時.可以這樣考慮(1),運用定義證明直線與所成的角為; (2),運用三垂線定理或其逆定理;(3),運用“若平面,則”; (4),運用“若且,則”;(5),建立空間直角坐標系,證明.<二>,空間中的角和距離的計算1,求異面直線所成的角(1),(平移法)過P作,則與的夾角就是與的夾角;(2),證明(或),則與的夾角為(或);

2、(3),求與所成的角(),再化為異面直線與所成的角().2,求直線與平面所成的角(1),(定義法)若直線在平面內(nèi)的射影是直線,則與的夾角就是與的夾角;(2),證明(或),則與的夾角為(或);(3)求與的法向量所成的角,則與所成的角為或.3,求二面角(1),(直接計算)在二面角的半平面內(nèi)任取一點,過P作AB的垂線,交AB于C,再過P作的垂線,垂足為D,連結(jié)CD,則,故為所求的二面角.(2),(面積射影定理)設(shè)二面角的大小為(),平面內(nèi)一個平面圖形F的面積為,F在內(nèi)的射影圖形的面積為,則.(當為鈍角時取“”).(3),(異面直線上兩點的距離公式):,其中是二面角的平面角,EA在半平面內(nèi)且于點A,B

3、F在半平面內(nèi)且FBAB于B,而,.(4),(三面角的余弦定理),三面角中,又二面角,則.(5),(法向量法)平面的法向量與平面的法向量所成的角為,則所求的二面角為 (同類)或(異類).4,求兩點A,B間距離(1),構(gòu)造三角形進行計算; (2),導(dǎo)面直線上兩點間的距離公式; (3),求.5,求點到直線的距離(1),構(gòu)造三角形進行計算; (2),轉(zhuǎn)化為求兩平行紅色之間的距離.6,求點到平面的距離(1),直接計算從點到平面所引垂線段的長度; (2),轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離; (3),(體積法)轉(zhuǎn)化為求一個棱錐的高,其中V為棱錐體積,S為底面面積,為底面上的高.(4),在平面上取一

4、點A,求與平面的法向量的夾角的余弦,則點P到平面的距離為.7,求異面直線的距離(1)(定義法)求異面直線公垂線段的長; (2)(體積法)轉(zhuǎn)化為求幾何體的高; (3)(轉(zhuǎn)化法)轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離; (4)(最值法)構(gòu)造異面直線上兩點間距離的函數(shù),然后求函數(shù)的最小值; (5)(射影法)如果兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影分別是一個點P和一條直線,則與的距離等于P到的距離; (6)(公式法).8,求平行的線線,線面,面面之間的距離的方法,通常是轉(zhuǎn)化為求點與線或點與面之間的距離.<三>,多面體與旋轉(zhuǎn)體1,柱體(棱柱和圓柱)(1)側(cè)面積(為直截面周長,為側(cè)棱或母線長)(2

5、)體積(為底面積,為高)2,錐體(棱錐與圓錐)(1)正棱錐的側(cè)面積(為底面周長,為斜高)(2)圓錐的側(cè)面積:(為底面周長,為母線長)(3)錐體的體積:(為底面面積,為高).3,錐體的平行于底面的截面性質(zhì):.4,球的表面積:; 球的體積:.二,解題思想與方法導(dǎo)引1,空間想象能力; 2,數(shù)形結(jié)合能力; 3,平幾與立幾間的相互轉(zhuǎn)化; 4,向量法三,習(xí)題導(dǎo)引<一>,選擇題1,正四面體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:92,由曲線,圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為;滿足,的點組成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為,則ABCDA, B, C,

6、 D,3,如右圖,底面半徑,被過A,D兩點的傾斜平面所截,截面是離心 率為的橢圓,若圓柱母線截后最短處,則截面以下部分的幾何體體積是A, B, C, D,4,在四面體ABCD中,設(shè),直線AB與CD的距離為2,夾角為,則四 面體ABCD的體積等于A, B, C, D,5,三個圓柱側(cè)面兩兩相切,且它們的軸也兩兩相互垂直,如果每個圓柱底面半徑都是1, 那么,與這三個圓柱側(cè)面都相切的最小球的半徑是A, B, C, D,6,四面體ABCD的頂點為A,B,C,D,其6條棱的中點為,共10個 點,任取4個點,則這4個點不共面的概率是 A, B, C, D,<二>,填空題7,正方體的棱長為,則異面

7、直線C與BD間的距離等于 .8,正四棱錐中,二面角為且,(, 為整數(shù)),則 .9,在正三棱錐中,過A作平面分別交平面PBC于DE.當截面 的周長最小時, ,P到截面ADE的距離為 .10, 四個球都相切,則這個小球的半徑等于 .11,三個的正方形都被連接兩條鄰邊的中點的直線分成A,B兩AB 片,如圖,把這六片粘在一個正六邊形的外面,然后折成多面體,則這個多面體的體積為 .12,直三棱柱中,平面平面,且= ,則AC與平面所成的角的取值范圍是 .<三>,解答題ABCA1B1C113,如圖,直三棱柱中,連接, ,若,求證:ABCDMKNS14,如圖,設(shè)是一個高為3,底面邊長為2的正四棱錐

8、, K是棱SC的中點,過AK作平面與線段SB,SD分別交于M,N(M,N可以是線段的端點).試求四棱錐的體積V的最大值與最小值.15,有一個的長方體盒子,另有一個的長方體盒子, 其中均為正整數(shù)(),并且前者的體積是后者一半,求的最大值.四,解題導(dǎo)引1,B 設(shè)棱長為,外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為,則解得,有:R=1:3.2,C 設(shè),則過A的兩個截面都是圓環(huán),面積分別是和 ,于是.3,B 在橢圓中,又,得,所求的體積4,B 過C作,以為底面,BC為側(cè)棱作棱柱,則所求四面體的體 積等于上述棱柱體積的,而的面積,AB與CD 的公垂線MN就是棱柱的高,于是= ,因此.5,A 三個圓柱的軸為三條兩兩垂

9、直的異面直線,而異面直線的距離都為2,則所求球的半徑為 .6,D .7, 設(shè)E是上的點,過E作EH于H,所以EH面ABCD,過H在面ABCD內(nèi)作HF,連接EF,所以EFBD,令,所以EF=.8,5 因各側(cè)面為全等的等腰三角形.在內(nèi)作高AE,則CE也是的高,故 .設(shè)則,=.,得.9, ; 將三棱錐的側(cè)棱PA剪開,當?shù)闹荛L最小時,其展開圖如圖ABCDEAP的周長即是展開圖中線段的長.易證,又PA=2AB=,故,.中,DE上的高.于是; 從P向底面作高PO.則PO=.于是.又,得.設(shè)P到截面的距離ABCDEFO為,則,于是.10, 設(shè)半徑為3的球心為A,B,半徑為2的球心為C,D.則易知AB=6,C

10、D=4,AC=AD=BC=BD=5.設(shè)小球中心為O,半徑為,則O在四面體ABCD內(nèi)且AO=BO=3+,CO=DO=2+.取AB中點E,連結(jié)CE,DE,則CEAB,DEAB,故平面CDE為線段AB的垂直平分面,所以O(shè)在平面CDE內(nèi),又由OC=OD=2+知O在CD的垂直平分面內(nèi),故O在等腰底邊CD上的高EF上(F為CD中點),易算出ED=EC=,得為等邊三角形.于是EF=.而=.OE=,代入OE+OF=EF=2得,解得.11,864 將幾何體補成一個棱長為12的正方體,幾何體的體積為正方體體積的一半,為.12, 作AD于D,易證AD平面,所以.設(shè),則,故.易證BC平面,故,從而,即,于是,又,得.

11、13,證明:設(shè)D,分別為AB,的中點.連結(jié)CD,及,.因為,所以四邊形為平行四邊形,得/.因AC=BC,于是.又D, 分別為AB,的中點,故CDAB,而在平面ABC(或)內(nèi)的射影為AB(或),得CD,又已知,所以平面B,從而,又/,所以.又,得平面CD,從而得證.ABCA1B1C1SHH114,解:為了建立V與原四棱錐的關(guān)系.我們先引用下面的事實:(如圖)設(shè)分別在三棱錐的側(cè)棱SA,SB,SC上,又與的體積分別是和V,則.事實上,設(shè)C,在平面SAB的射影分別是H,.則,又,所以.下面回到原題.設(shè),因的體積為.于是由上面的事實有.得=,于是,而由,得.則,().又得.所以(1)當時,V為減函數(shù),(2)當時,V為增函數(shù).所以得,又,得.15,解:由題意,得.(1)當時,由,則,矛盾!(2)當時,矛盾!(3)當時,則,即.所以的最大值為130;(4)當時,則,即.所以的最大值為54;(5)當時,得.綜上所述:的最大值為130.