用平面法向量求空間距離-

1、應(yīng)用空間向量解立體幾何之用平面法向量求空間距離 空間中距離的求法是歷年高考考查的重點(diǎn),其中以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到線、點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ),求其他幾種距離一般化歸為這三種距離 重難點(diǎn)歸納 .空間中的距離主要指以下七種(1兩點(diǎn)之間的距離 (2點(diǎn)到直線的距離 (3點(diǎn)到平面的距離 (4兩條平行線間的距離 (5兩條異面直線間的距離(6平面的平行直線與平面之間的距離 (7兩個(gè)平行平面之間的距離七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離 七種距離之間有密切聯(lián)系,有些可以相互轉(zhuǎn)化,如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離,平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離在七種距離中,求點(diǎn)

2、到平面的距離是重點(diǎn),求兩條異面直線間的距離是難點(diǎn)求點(diǎn)到平面的距離 (1直接法,即直接由點(diǎn)作垂線,求垂線段的長 (2轉(zhuǎn)移法,轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離 (3體積法 (3向量法求異面直線的距離 (1定義法,即求公垂線段的長 (2轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離 (3函數(shù)極值法,依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離中最小的本節(jié)課重點(diǎn)來學(xué)習(xí)如何用面法向量來求空間距離 一、復(fù)習(xí)1、向量的射影定義2、平面的法向量的定義二、新課講解(一平面法向量的求法一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平面的法向量,進(jìn)而就可以利用平面的法向量解決相關(guān) 立體幾何問題推導(dǎo)平面法向量的方法如下:在給定的空間直角坐標(biāo)系中,

3、設(shè)平面的法向量(,1n x y = 或(,1,n x z =,或 (1,n y z = ,在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量,a b。由n ,得0n a = 且 0n b = ,由此得到關(guān)于,x y 的方程組,解此方程組即可得到n。有時(shí)為了需要,也求法向量n 上的單位法向量0n ,則0n = 圖1 例1 在棱長為1的正方體1111ABC D A B C D -中,求平面1A C D 的法向量n和單位法向量0n(二用平面法向量求空間距離 1、異面直線之間距離方法指導(dǎo):作直線a 、b 的方向向量a 、b ,求a 、b 的法向量n ,即此異面直線a 、b 的公垂線的方向向量;在直線a 、b 上各取一點(diǎn)A

4、、B ,作向量AB ;求向量AB 在n 上的射影d ,則異面直線a 、b 間的距離為|AB n d n = ,其中,n a n b A a B b 例2、已知正方體ABCD -A 1B 1C 1D 1棱長為1,求異面直線DA 1與AC 的距離練習(xí):如圖ABCD 是正方形,SB 面ABCD ,且SA 與面ABCD 所成的角為45o ,點(diǎn)S 到平面ABCD 的距離為1,求AC 與SD 的距離A BCD A 1B 1C 1D 1ABCDS2、點(diǎn)到平面的距離方法指導(dǎo):若點(diǎn)P 為平面外一點(diǎn),點(diǎn)A 為平面內(nèi)任一點(diǎn),平面的法向量為n ,則點(diǎn)P 到平面 的距離公式為d = 例3、已知正方形ABCD 的邊長為4

5、,CG 平面ABCD ,CG=2,E 、F 分別是AB 、AD 的中點(diǎn),求點(diǎn)B 到平面GEF 的距離 練習(xí):已知SA 平面ABCD ,DAB=ABC=90o,SA=AB=BC=a ,AD=2a ,求A 到平面SAD 的距離ACSDABDA 1B 1M N EF D 1 C 13、直線與平面間的距離學(xué)法指導(dǎo):直線a 與平面之間的距離:|AB n d n =,其中,A a B 。n是平面的法向量 例4、已知正方形ABCD 的邊長為4,CG 平面ABCD ,CG=2,E 、F 分別是AB 、AD 的中點(diǎn),求點(diǎn)BD 到平面GEF 的距離4、平面與平面間的距離學(xué)法指導(dǎo):兩平行平面,之間的距離:|AB n d n =,其中,A B 。n是平面的法向量 例5(備用在邊長為1的正方體ABCD-A 1B 1