模糊數(shù)空間中幾種距離的比較

1、模糊數(shù)空間中幾種距離的比較關鍵詞模糊數(shù);距離;模糊距離;模糊回歸 作者簡介伍思敏,茂名學院理學院講師,研究方向:概率論與數(shù)理統(tǒng)計,廣東茂名,525000;廣州大學數(shù)學與信息科學學院,廣東廣州,510006;許若寧,廣州大學數(shù)學與信息科學學院,廣東廣州,510006 中圖分類號 D159 文獻標識碼 A 文章編號 1007-7723(2010)02-0034-0003 模糊距離在模糊數(shù)學的分析理論和實際應用中都起著重要的作用。為了使模糊距離適合不同的模糊現(xiàn)象和研究需要,人們相繼提出了不少的模糊距離公式。文獻5、6、7基于模糊距離,研究了模糊數(shù)序列的極限、有界性、單調收斂性及閉區(qū)間套定理等分析理論

2、。文獻2、3、4、8、9、10基于模糊距離,研究了不同類型的模糊回歸問題等,具有較強的應用背景。這些不同的模糊數(shù)距離各有自己的優(yōu)缺點和適用范圍,人們可根據(jù)具體問題的特性和研究目的選擇使用。本文將介紹幾種常用的模糊距離,并通過例子來說明各公式的區(qū)別聯(lián)系。 一、預備知識 設R為實數(shù)集, F(R)為R上全體模糊集的集合。下面給出幾個基本概念及相應性質12。 定義1設 ,如果滿足: (i)是正規(guī)的,即 使得 ; (ii)的 截集是R上的一個閉區(qū)間,記為;則稱 為上R的模糊數(shù),記R上的全體模糊數(shù)為 。 由模糊集的分解定理可知,有 。 如果我們定義 對于任何的 ,則 ,且 。 由多元擴展原理可以得到有關模

3、糊數(shù)的線性運算結論: 定理1設記 ,有 (i); (ii); 。 定義2設 ,如果 和, 則稱 。如果 使得 和 至少一個成立,則稱 。如果 ,又 ,則稱 。 定義3設 ,對于任何正實數(shù),如果 使得 或 , 則稱為模糊無窮大,記為。 二、幾種模糊距離 定義4 映射稱為一個模糊距離,如果滿足: (i)且; (ii); (iii)。 如果是模糊數(shù)的模糊距離,則稱 是一個模糊度量空間。 下面將介紹幾個模糊數(shù)的模糊距離。 (一)對稱三角模糊數(shù)的距離3 文獻3 基于對稱三角模糊數(shù),給出了對稱三角模糊數(shù)的距離公式,并在此基礎上研究了輸入輸出數(shù)據(jù)均為模糊數(shù),而回歸系數(shù)非模糊的線性回歸模型。 定義5 設 為對

4、稱三角形模糊數(shù),其中 m為的對稱軸,也即的中心,w是的支撐區(qū)間的一半。設都是對稱三角模糊數(shù), 的為距離 , 則 (1) 可以證明(1)式滿足定義2的三個條件,因此,(1)式是一個模糊距離公式。該公式形式簡單,計算方便,得到的是一個實數(shù)距離,在應用上也很方便。但是該公式只適用于對稱三角模糊數(shù),對于其他的模糊數(shù)則不能使用,使用范圍非常小,這是該公式的極大局限。 (二)三角模糊數(shù)的距離4 文獻4基于三角模糊數(shù),給出了三角模糊數(shù)空間上的距離,并依據(jù)這一距離,研究了三角模糊數(shù)觀測數(shù)據(jù)的線性回歸問題。 定義6設 為三角模糊數(shù),其中為 的均值, 為 的左右擴展,三角模糊數(shù) 的截集左右端點可表示為: 定義7

5、設是三角模糊數(shù), 的距離為 ,則 (2) 同樣可以證明(2)式滿足定義2的三個條件,因此,(2)式是一個模糊距離公式。該公式形式簡單,計算方便,容易理解,在應用上也很方便。但是該公式只適用于三角模糊數(shù),對于其他的模糊數(shù)則不能使用,使用范圍非常小;而且對于三角模糊數(shù),其頂點是隸屬度為1的點,而三角形底邊兩個端點則隸屬度為0,在距離公式(2)中,這三個點所起的作用是一樣的,沒有區(qū)別,這也不太合理。 (三)一般模糊數(shù)距離(一) 文獻2在文獻4的基礎上,考慮三角模糊數(shù)的局限性和距離的合理性,從更一般的角度出發(fā),給出了模糊距離,并以此距離為基礎,建立了從模糊數(shù)空間到模糊數(shù)空間的線性回歸模型。 定義8設記

6、其 截集為 , 則 距離為: (3) 其中。 進一步,在積分號下引進單調函數(shù) ,則 距離還可以定義為: (4) 在積分號下引進單調函數(shù) ,這相當于對 的每一個 截集的距離進行加權,可以使隸屬度高的截集在距離的確定中起到較為重要的作用。距離公式(1)、(2)、(3)都是這一距離的特例。但如何選取 也是一個需要繼續(xù)探討的問題。 (四)一般模糊數(shù)距離(二) 文獻5在定義了模糊數(shù)集 的稠密性和模糊數(shù)的上確界之后,給出了一個模糊數(shù)的距離,討論了該距離的性質,并在此基礎上,研究了模糊數(shù)序列的模糊極限的定義和性質。 定義9設,如果滿足條件:(i)有 ; (ii) 至少存在一個 ,使得 , 則稱為的上確界,記

7、為。 定理2設,如果有上確界,則 。 定義10 設 記其 截集為 , 則 距離為: 同樣可以證明(5)式滿足定義2的三個條件,因此,(5)式是一個模糊距離公式。容易看到,當 為實數(shù)時, 此時 為一個非負實數(shù),即是 之差的絕對值。因此模糊距離公式(5)是實數(shù)絕對值概念的推廣。該距離是一個模糊數(shù)。但在應用此距離公式研究模糊數(shù)序列的收斂性時,要求必須滿足水平收斂,以致單調收斂性受到極大約束6。 (五)一般模糊數(shù)距離(三) 為消除公式(5)中對水平收斂的要求,文獻7給出新的模糊距離,并在此距離基礎上,給出相應定理。 定義11設 記其 截集為 , 則 距離為: 同樣可以證明(6)和(7)式滿足定義2的三

8、個條件,因此,(6)和(7)式都是模糊距離公式。該距離是一個模糊數(shù),改進了距離(5)的約束,在模糊數(shù)的單調性和收斂性方面作出了有益的貢獻。 三、應用舉例 為更好理解以上幾個距離公式,特給出以下例子。 例1設模糊數(shù)為,求 的距離。 解:因為 為對稱三角模糊數(shù),所以可由距離公式(1)計算 的距離。 。 注:亦可由距離公式(2)計算 的距離。 例2設模糊數(shù)為,求 的距離。 解:法1 因為 為三角模糊數(shù),所以可由距離公式(2)計算 的距離。 ; 法2由定義4,模糊數(shù) 的 截集左右端點可表示為: , 本例亦可利用距離公式(3)、(4)來計算 的距離。 由距離公式(3),得 如果取水平截集距離的全函數(shù)為

9、,則由距離公式(4),得 例31設模糊數(shù)為,求 的距離。 解: 又可表示為: , 的截集可表示為: , 則由距離公式(5),得 由距離公式(6),得 由距離公式(7),得 四、結論 模糊數(shù)距離是模糊度量空間的一個基本概念。本文給出了5種常用的模糊距離公式,并通過比較得到了幾種常用模糊數(shù)距離的異同及各公式的應用范圍,最后給出具體算例,增強了實用性。 參考文獻 1楊綸標,高英儀. 模糊數(shù)學原理及應用:第4版M. 廣州:華南理工大學出版社,2005. 2許若寧.擬合模糊數(shù)據(jù)的線性回歸模型J.純粹數(shù)學與應用數(shù)學,1997,13(2). 3胡良劍,宗云南.模糊數(shù)據(jù)的線性回歸模型J.模糊系統(tǒng)與數(shù)學,200

10、2,16(1). 4Phil Diamond. Fuzzy least squares J. Information Science,46(1988). 5張廣全.Fuzzy數(shù)的Fuzzy距離和Fuzzy極限J.模糊系統(tǒng)與數(shù)學,1992,6(1). 6劉慧林,馮汝鵬.一種新的模糊數(shù)距離定義J.模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2003,17(3). 7劉慧林,馮汝鵬.新的模糊數(shù)的模糊距離J.模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2005,19(2). 8Xu Ruoning. A linear regression model in fuzzy environment, Advances in Modeling Simulation, 1991,Vol.27(4). 9Xu Ruoning. S-curve regression in fuzzy environment, Fuz