高考數(shù)學一輪復習總教案：14.1　合情推理與演繹推理

1、.第十四章推理與證明高考導航考試要求重難點擊命題展望1.理解合情推理的含義.2.能利用歸納與類比等進展簡單的推理.3.體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.4.理解演繹推理的重要性.5.掌握演繹推理的根本形式：“三段論.6.能運用演繹推理進展簡單的推理.7.理解演繹推理、合情推理的聯(lián)絡與區(qū)別.8.理解直接證明的兩種根本方法：分析法與綜合法.9.理解分析法與綜合法的思維過程、特點.10.理解反證法是間接證明的一種根本方法及反證法的思維過程、特點.11.理解數(shù)學歸納法的原理.12.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的與自然數(shù)有關的數(shù)學命題.本章重點：1.利用歸納與類比進展推理；2.利用“三段論進展推理與證

2、明；3.運用直接證明分析法、綜合法與間接證明反證法的方法證明一些簡單的命題；4.數(shù)學歸納法的根本思想與證明步驟；運用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)nnN*有關的數(shù)學命題.本章難點：1.利用歸納與類比的推理來發(fā)現(xiàn)結論并形成猜測命題；2.根據(jù)綜合法、分析法及反證法的思維過程與特點選取適當?shù)淖C明方法證明命題；3.理解數(shù)學歸納法的思維本質，特別是在第二個步驟要根據(jù)歸納假設進展推理與證明.“推理與證明是數(shù)學的根本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式.本章要求考生通過對已有知識的回憶與總結，進一步體會直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構等

3、數(shù)學思維過程以及合情推理、演繹推理之間的聯(lián)絡與差異，體會數(shù)學證明的特點，理解數(shù)學證明的根本方法.本章是新課程考綱中新增的內容，考察的范圍寬，內容多，涉及數(shù)學知識的方方面面，與舊考綱相比，增加了合情推理等知識點，這為創(chuàng)新性試題的命制提供了空間.知識網絡14.1合情推理與演繹推理典例精析題型一運用歸納推理發(fā)現(xiàn)一般性結論 【例1】 通過觀察以下等式，猜測出一個一般性的結論，并證明結論的真假.sin215sin275sin2135；sin230sin290sin2150；sin245sin2105sin2165；sin260sin2120sin2180.【解析】猜測：sin260sin2sin260.

4、左邊sin cos 60cos sin 602sin2sin cos 60cos sin 602sin2cos2右邊.【點撥】先猜后證是一種常見題型；歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型，二是“遞推型，三是“循環(huán)型周期性.【變式訓練1】設直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，那么有abch成立，某同學通過類比得到如下四個結論：a2b2c2h2；a3b3c3h3；a4b4c4h4；a5b5c5h5.其中正確結論的序號是；進一步類比得到的一般結論是 .【解析】；anbncnhnnN*.題型二運用類比推理拓展新知識 【例2】 請用類比推理完成下表：平面空間三角形兩

5、邊之和大于第三邊三棱錐任意三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的面積等于任意一邊的長度與這邊上的高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個底面的面積與該底面上的高的乘積的三分之一三角形的面積等于其內切圓半徑與三角形周長的乘積的一半【解析】 此題由的前兩組類比可得到如下信息：平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象；三角形各邊的邊長與三棱錐各面的面積是類比對象；三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對象；三角形的面積與三棱錐的體積是類比對象；三角形的面積公式中的“二分之一與三棱錐的體積公式中的“三分之一是類比對象.由以上分析可知：故第三行空格應填：三棱錐的體積等于其內切球半徑與三棱錐外表積的乘積的

6、三分之一.此題結論可以用等體積法，將三棱錐分割成四個小的三棱錐去證明，此處從略.【點撥】類比推理的關鍵是找到適宜的類比對象.平面幾何中的一些定理、公式、結論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比列表如下：平面空間點線線面圓球三角形三棱錐角二面角面積體積周長外表積【變式訓練2】面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為aii1,2,3,4，此四邊形內任一點P到第i條邊的間隔 為hii1,2,3,4，1假設k，那么；2類比以上性質，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Sii1,2,3,4，此三棱錐內任一點Q到第i個面的間隔 記為Hii1,2,3,4，

7、假設K，那么.【解析】；.題型三運用“三段論進展演繹推理【例3】函數(shù)fxln axa0.1求此函數(shù)的單調區(qū)間及最值；2求證：對于任意正整數(shù)n，均有1ln .【解析】1由題意fx.當a0時，函數(shù)fx的定義域為0，此時函數(shù)在0，a上是減函數(shù)，在a，上是增函數(shù)，fminxfaln a2，無最大值.當a0時，函數(shù)fx的定義域為，0，此時函數(shù)在，a上是減函數(shù)，在a,0上是增函數(shù)，fminxfaln a2，無最大值.2取a1，由1知，fxln xf10，故1ln xln ，取x1,2,3，n，那么1ln eln ln ln .【點撥】演繹推理是推理證明的主要途徑，而“三段論是演繹推理的一種重要的推理形式，

8、在高考中以證明題出現(xiàn)的頻率較大.【變式訓練3】函數(shù)fxegx，gxe是自然對數(shù)的底數(shù)，1假設對任意的x0，都有fxx1，求滿足條件的最大整數(shù)k的值；2求證：ln112ln123ln1nn12n3nN*.【解析】1由條件得到f122k2ln 213，猜測最大整數(shù)k2，如今證明x1對任意x0恒成立：x1等價于2lnx1lnx12，設hxlnx1，那么hx.故x0,2時，hx0，當x2，時，hx0.所以對任意的x0都有hxh2ln 312，即x1對任意x0恒成立，所以整數(shù)k的最大值為2.2由1得到不等式2lnx1，所以ln1kk122，ln112ln123ln1nn12222n32n32n3，所以原不等式成立.總結進步合情推理與演繹推理是兩種根本的思維推理方式.盡管合情推理歸納、類比得到的結論未必正確，但歸納推理與類比推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)新結論、探究和提供證明的新思路的重要作用，特別在數(shù)學學習中，我們可以由熟悉的、的知識領域運用歸納、類比思維獲取發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的靈感去探究陌生的、未知的知識領域.演繹推理是數(shù)學邏輯思維的主要形式，擔負著判斷命題真假的重要使命.假如說合情推理是以感性思維為主，只需有感而發(fā)；那么演繹推理那么是以理性思維為主，要求言必有據(jù).在近幾年高考中一道合情推理的試題往往