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1、數(shù)列通項(xiàng)與求和一、數(shù)列的通項(xiàng)方法總結(jié): 對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)的變形,除了常見的求通項(xiàng)的方法,還有一些是需要找規(guī)律的,算周期或者根據(jù)圖形進(jìn)行推理。其余形式我們一般遵循以下幾個(gè)原則:對(duì)于同時(shí)出現(xiàn),的式子,首先要對(duì)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)。常用的化簡(jiǎn)方法是因式分解,或者同除一個(gè)式子,同加,同減,取倒數(shù)等,如果出現(xiàn)分式,將分式化簡(jiǎn)成整式;利用關(guān)系消掉(或者),得到關(guān)于和的等式,然后用傳統(tǒng)的求通項(xiàng)方法求出通項(xiàng);根據(jù)問題在等式中構(gòu)造相應(yīng)的形式,使其變?yōu)槲覀兪煜さ牡炔顢?shù)列或等比數(shù)列;對(duì)于出現(xiàn)或(或更高次時(shí))應(yīng)考慮因式分解,最常見的為二次函數(shù)十字相乘法,提取公因式法;遇到時(shí)還會(huì)兩邊同除.1. 規(guī)律性形式求通項(xiàng)1-1.數(shù)列an滿
2、足an+1=,若a1=,則a2016的值是()ABCD1-2.分形幾何學(xué)是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家伯努瓦B曼德爾布羅特(Benoit BMandelbrot)在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科,它的創(chuàng)立,為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路下圖按照的分形規(guī)律生長(zhǎng)成一個(gè)樹形圖,則第12行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A55B89C144D2331-3.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為(n2),每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如,則第10行第4個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為()ABCD2.出現(xiàn),的式子1-4.正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和an滿足:(1)求數(shù)
3、列an的通項(xiàng)公式an;(2)令,數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.證明:對(duì)于任意的,都有.1-5.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.(1) 求的值;(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 1-6.已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列,滿足.(1) 令,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2) 若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.牛刀小試:1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,1,且,數(shù)列滿足,其前9項(xiàng)和為63. (1)求數(shù)列數(shù)列和的通項(xiàng)公式;2.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且 (1)求的通項(xiàng)公式;(2) 設(shè)恰有4個(gè)元素,求實(shí)數(shù)的取值范圍.3.需構(gòu)造的(證明題)1-7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,.(1) 求證:是等差數(shù)列;(2)求表達(dá)式;1-8.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且首項(xiàng)a1
4、3,an+1=Sn+3n(nN*)(1)求證:Sn3n是等比數(shù)列;(2)若an為遞增數(shù)列,求a1的取值范圍牛刀小試1已知數(shù)列中,(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為2.數(shù)列中,1, (1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列; 二、數(shù)列求和與放縮數(shù)列求和的考察無外乎錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消或者是分組求和等,但有一些通項(xiàng)公式需要化簡(jiǎn)才可以應(yīng)用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行求和。對(duì)于通項(xiàng)公式是分式形式的一般我們嘗試把“大”分式分解成次數(shù)(分母的次數(shù))相等的“小”分式,然后應(yīng)用裂項(xiàng)相消的方法進(jìn)項(xiàng)求和。放縮,怎么去放縮是重點(diǎn),一般我們不可求和的放縮為可求和的,分式形式,分母是主要化簡(jiǎn)對(duì)象。2-1. 數(shù)列滿足.(1)設(shè),求
5、數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,不等式對(duì)一切成立,求m的范圍.2-2.設(shè)數(shù)列滿足且(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)2-32-42-5牛刀小試:1.已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2) 令bn(1)n1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.三、數(shù)列與不等式問題在這類題目中一般是要證明,一般思路有兩種:1.若an可求和,則可直接求出其和,再轉(zhuǎn)化為 ,而后一般轉(zhuǎn)化為函數(shù),或單調(diào)性來比較大??;2.若an不可求和,則利用放縮法轉(zhuǎn)化為可求和數(shù)列,再重復(fù)1的過程。1.應(yīng)用放縮法證明,將不規(guī)則的數(shù)列變成規(guī)則的數(shù)列,將其放大或是縮小。但如果出
6、界了怎么辦(放的太大或縮的太?。?,一般情況下,我們從第二項(xiàng)開始再放縮,如果還大則在嘗試從第三項(xiàng)開始放縮。2.應(yīng)用數(shù)列單調(diào)性求數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)。我們一般將數(shù)列中的看做自變量,看做因變量,用函數(shù)部分求最值方法來求數(shù)列的最值;或者可以利用做商比較大?。ㄒ话愠霈F(xiàn)冪時(shí)采取這個(gè)方法);也可相減做差求單調(diào)性。3-1.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,.(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)證明:對(duì)一切正整數(shù),有.3-2記公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,成等比數(shù)列(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式及;(2) 若,n=1,2,3,問是否存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出的取值范圍;若不存在,
7、請(qǐng)說明理由牛刀小試:1.數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,().(1) 求;(2) 求數(shù)列的通項(xiàng);(3)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:().2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.(1) 求的值;(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3) 證明:對(duì)一切正整數(shù),有.3.數(shù)列作業(yè)1. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,(1) 求數(shù)列的通項(xiàng);(2) 設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.2.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且 (I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和。3.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),其前項(xiàng)和為,且滿足,N.(1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)是否存在正整數(shù), 使, , 成等比數(shù)列? 若存在, 求的值; 若不存在, 請(qǐng)說明理由.4. 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,(),且(1)求的值;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)設(shè)數(shù)列滿足,求證:.5. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2) 設(shè)數(shù)列滿足:,又,且數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.6.已知數(shù)列bn滿足3(n1)bnnbn1,且b13.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;(2)已知,求證:<1.7.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn2an1;
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