有限元分析軸對(duì)稱問題

1、思考題5-1 軸對(duì)稱問題的定義 答：工程中又一類結(jié)構(gòu)，其幾何形狀、邊界條件、所受載荷都對(duì)稱于某一軸線，這種情況下結(jié)構(gòu)再載荷作用下位移、應(yīng)變和應(yīng)力也對(duì)稱于這個(gè)軸線，這種問題成為軸對(duì)稱問題。5-2 軸對(duì)稱問題一般采用的坐標(biāo)系？作圖說明每個(gè)坐標(biāo)分量的物理意義答：在描述軸對(duì)稱彈性體問題的應(yīng)力及變形時(shí)常采用圓柱坐標(biāo)r，z。5-3 軸對(duì)稱問題中每個(gè)點(diǎn)有幾個(gè)位移分量？ 各位移分量是那幾個(gè)自變量的函數(shù)？答：位移分量u, w,都只是rz的函數(shù)，與無關(guān)。5-4 軸對(duì)稱問題中的每個(gè)點(diǎn)有哪幾個(gè)應(yīng)力分量？是那幾個(gè)自變量的函數(shù)。答：4個(gè)應(yīng)力分量；5-5 軸對(duì)稱問題中的每個(gè)點(diǎn)有哪幾個(gè)應(yīng)變分量？是那幾個(gè)自變量的函數(shù)答：4個(gè)應(yīng)

2、變分量5-6 軸對(duì)稱問題是三維問題？二維問題？最簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱單元是哪種單元？作圖說明答：由于軸對(duì)稱，沿方向的環(huán)向（周向）位移v等于零。因此軸對(duì)稱問題是二維問題；三角形環(huán)單元。（三角形軸對(duì)稱單元，這些圓環(huán)單元與r z平面（子午面）正交的截面是三角形）5-7 寫出三角形環(huán)單元的位移函數(shù)。滿足完備性要求嗎？答：滿足完備性要求。5-8 三角形環(huán)單元形函數(shù)的表達(dá)式？指出形函數(shù)的性質(zhì)。5-9 三角形環(huán)單元的應(yīng)力和應(yīng)變的特點(diǎn)。其單元?jiǎng)偠染仃囀菐纂A的？答：應(yīng)力分量：剪應(yīng)力為常量，其他3個(gè)正應(yīng)力分量均隨位置變化；應(yīng)變分量：面內(nèi)（子五面）3個(gè)應(yīng)變分量為常量，環(huán)向應(yīng)變不是常應(yīng)變，而是與單元中各點(diǎn)的位置有關(guān)。單元?jiǎng)偠?/p>

3、矩陣為六階。5-10 有限元方法求解對(duì)稱問題的基本步驟？1.結(jié)構(gòu)離散化：對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將其分割成若干個(gè)單元，單元間彼此通過節(jié)點(diǎn)相連；2.求出各單元的剛度矩陣K(e)：K(e)是由單元節(jié)點(diǎn)位移量(e)求單元節(jié)點(diǎn)力向量F(e)的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為:F(e)= K(e) (e);3.集成總體剛度矩陣K并寫出總體平衡方程：總體剛度矩陣K是由整體節(jié)點(diǎn)位移向量求整體節(jié)點(diǎn)力向量 的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為F= K ，此即為總體平衡方程。4.引入支撐條件，求出各節(jié)點(diǎn)的位移：節(jié)點(diǎn)的支撐條件有兩種：一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為零，另一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為一給定值。5.求出各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變對(duì)于有

4、限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為:(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單

5、元中選取的，由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。(4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條

6、件和混合邊界條件，需按一定法 則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。5-11 與平面問題比較，有限元方法求解軸對(duì)稱問題，相同的地方？不同的地方？ 答：軸對(duì)稱問題簡(jiǎn)單三角形單元的形函數(shù)雖與平面問題簡(jiǎn)單三角形單元相同，但其應(yīng)變、應(yīng)力則是不相同的，這里不僅多出了一個(gè)環(huán)向應(yīng)變及環(huán)向應(yīng)力，而且單元應(yīng)變和應(yīng)力分布規(guī)律也是不相同的，對(duì)平面問題，此種單元內(nèi)應(yīng)變應(yīng)力均為常量，而對(duì)軸對(duì)稱問題，此種單元內(nèi)應(yīng)力、應(yīng)變非常值，是r、z的函數(shù)。5-12 軸對(duì)稱問題單元?jiǎng)偠染仃嚺c平面問題單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)過程及基本原理一樣嗎？ 答：一樣；虛功原理。 5-13 軸對(duì)稱問題和平面問題的單元?jiǎng)偠染仃嚬揭粯訂幔坑?jì)算過程有什么不同？ 答：與平面問題相同，仍用虛功原理來建立單元?jiǎng)偠染仃?，其積分式為：只要單元尺寸不太大，經(jīng)過這樣處理引起的誤