第2章§3 3.2　數學歸納法的應用

1、.3.2數學歸納法的應用1會利用數學歸納法證明一些簡單的不等式及綜合問題2理解貝努利不等式及其應用的條件，會用數學歸納法證明貝努利不等式難點根底·初探教材整理貝努利不等式定理閱讀教材P38P39“練習以上部分，完成以下問題定理對任何實數x1和任何正整數n，有1xn1nx.在貝努利不等式中當x0時，n為大于1的自然數，不等式形式將有何變化？【解】當x0時，不等式將變成等式，即1xn1nx. 質疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型貝努利不等式的簡單應用設b>a>0，nN，證明：

2、ba1.【精彩點撥】由b>a>0，令1xx>0，利用貝努利不等式證明【自主解答】由b>a>0，知>1，令1xx>0，那么x1，由貝努利不等式1xn1nx，1xn1nx1n，故ba1.利用1x代換，為利用貝努利不等式創(chuàng)造條件.再練一題1試證明>1與>nN【證明】由nN，n12.由貝努利不等式，得1>11.2由1得>1，故>.用數學歸納法證明不等式試證明：2n2>n2nN【精彩點撥】【自主解答】1當n1時，左邊2124，右邊1，左邊>右邊；當n2時，左邊2226，右邊224，所以左邊>右邊；當n3時，左邊23

3、210，右邊329，所以左邊>右邊因此當n1,2,3時，不等式成立2假設當nkk3且kN時，不等式成立當nk1時，2k122·2k222k22>2k22k22k1k22k3k22k1k1k3因k3，那么k30，k1>0k22k1k12.所以2k12>k12.故當nk1時，原不等式也成立根據12知，原不等式對于任何nN都成立通過本例可知，在證明nk1時命題成立的過程中，針對目的k22k1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍(k1)太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟(把驗證n1擴大到驗證n1，2，3)的方法，使假設中k的取值范圍適當縮小到k3，促使放縮成功，

4、到達目的.再練一題2Sn1n>1，nN，求證：S2n>1n2，nN. 【導學號：94910039】【證明】1當n2時，S221>1，即n2時命題成立2假設nk時命題成立，即S2k1>1.當nk1時，S2k11>111.故當nk1時，命題也成立由12知，對nN，n2，S2n>1都成立.探究性問題設fn1，由f11>，f3>1，f7>，f15>2，.1你能得到怎樣的結論？并證明；2是否存在一個正數T，使對任意的正整數n，恒有fn<T成立？并說明理由【精彩點撥】找出數列1,3,7,15，的通項公式，再利用數列，1，2，的通項公式，猜測

5、一般性的結論，然后用數學歸納法證明【自主解答】1數列1,3,7,15，的通項公式為an2n1；數列，1，2，的通項公式為an，猜測：f2n1>.下面用數學歸納法證明：當n1時，f211f11>，不等式成立假設當nkk1，kN時不等式成立，即f2k1>，那么f2k11f2k1>f2k1>f2k1>.當nk1時不等式也成立據知，對任何nN原不等式均成立2對任意給定的正數T，設它的整數部分為T，記mT1，那么m>T.由1知，f22m1>m，f22m1>T，這說明，對任意給定的正數T，總能找到正整數n如可取假設中n為2m，使得fnT，不存在正數T，

6、使得對任意的正整數n，總有fn<T成立利用數學歸納法解決探究型不等式的思想是先通過觀察、判斷，猜測出結論，然后用數學歸納法證明，否認一個命題，只需找出一個反例即可.再練一題3假設不等式>對一切正整數n都成立，求正整數a的最大值，并證明你的結論【解】當n1時，>，那么>，a<26，又aN，取a25.下面用數學歸納法證明>.1n1時，已證2假設當nk時，>.當nk1時，>.>，>0，>也成立由1，2可知，對一切nN，都有>，a的最大值為25.構建·體系1用數學歸納法證明2nn2n5，nN成立時第二步歸納假設的正確寫法

7、是A假設nk時命題成立B假設nkkN時命題成立C假設nkk5時命題成立D假設nkk>5時命題成立【解析】由題意知n5，nN，應假設nkk5時命題成立【答案】C2利用數學歸納法證明不等式1<fnn2，nN的過程，由nk到nk1時，左邊增加了A1項Bk項C2k1項D2k項【解析】1.共增加2k項【答案】D3用數學歸納法證不等式1成立，起始值至少取A7B8C9D10【解析】左邊等比數列求和Sn2，即1，.n7，n取8，選B.【答案】B4用數學歸納法證明1<nnN，n>1時，第一步即證明不等式_成立. 【導學號：94910040】【解析】因為n>1，所以第一步n2，即證明1<2成立【答案】1<25證明：1<2nN