曲面積分精解

1、第一節(jié) 第一類曲面積分內(nèi)容要點(diǎn) 一、 第一類曲面積分的概念與性質(zhì)定義1 設(shè)曲面是光滑的, 函數(shù)在上有界, 把任意分成n小塊(同時(shí)也表示第i小塊曲面的面積),在上任取一點(diǎn)作乘積并作和 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值時(shí), 這和式的極限存在, 則稱此極限值為在上第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分，記為 (4.2)其中稱為被積函數(shù)，稱為積分曲面.二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 (4.3)例題選講例1 計(jì)算曲面積分 其中是球面被平面截出的頂部.解 的方程為在面上的投影區(qū)域又利用極坐標(biāo)故有 例2（E01）計(jì)算 其中為平面被柱面所截得的部分.解 積分曲面其投影域故 例3（E02）計(jì)算其中是由平面及所圍四面體的整

2、個(gè)邊界曲面.解 如圖(見(jiàn)系統(tǒng)演示)，注意到在上，被積函數(shù)故上式右端前三項(xiàng)積分等于零.在上，所以從而其中是在面上的投影區(qū)域.例4計(jì)算 其中為拋物面解 根據(jù)拋物面對(duì)稱性,及函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)面對(duì)稱,有例5 計(jì)算 其中是圓柱面平面及所圍成的空間立體的表面.解 在面上得投影域于是 將投影到面上，得投影域 所以 例6（E03）計(jì)算 為內(nèi)接于球面的八面體表面.解 被積函數(shù)關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面和原點(diǎn)均對(duì)稱.積分曲面也具有對(duì)稱性,故原積分其中在面上的投影為而所以例7（E04）求球面含在圓柱體內(nèi)部的那部分面積.解 由對(duì)稱性知，所求曲面面積是第一卦限上面積的4倍.的投影區(qū)域曲面方程故所以 例8 設(shè)有一顆地球同步軌道衛(wèi)星, 距

3、地面的高度為km，運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同. 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑km).解 取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)，地心到通訊衛(wèi)星重心的連線為軸，建立如圖坐標(biāo)系.衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面倍半頂角為的圓錐面所截得的部分. 的方程為它在面上的投影區(qū)域于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為將代入上式得 由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為 由以上結(jié)果可知，衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積，故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面.課堂練習(xí)1.當(dāng)是面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí), 曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?2.計(jì)算, 其中為錐面被平面和所截得的部分. 3. 求半徑為的球的表面

4、積.第二節(jié) 第二類曲面積分二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì) 定義1 設(shè)為光滑的有向曲面, 其上任一點(diǎn)處的單位法向量 又設(shè)其中函數(shù)在上有界, 則函數(shù) 則上的第一類曲面積分 (5.5)稱為函數(shù)在有向曲面上的第二類曲面積分. 三、第二類曲面積分的計(jì)算法設(shè)光滑曲面：，與平行于軸的直線至多交于一點(diǎn)，它在面上的投影區(qū)域?yàn)? 則. (5.9)上式右端取“+”號(hào)或“-”號(hào)要根據(jù)是銳角還是鈍角而定.例題選講第二類曲面積分的計(jì)算法例1 (E01) 計(jì)算曲面積分 其中是長(zhǎng)方體的整個(gè)表面的外側(cè).解 如圖(見(jiàn)系統(tǒng)演示), 把有向曲面分成六部分.除外，其余四片曲面在面上的投影值為零,因此類似地可得于是所求曲面積分為例2 (

5、E02) 計(jì)算其中是球面外側(cè)在的部分.解 把分成和兩部分利用極坐標(biāo)例3 (E03) 計(jì)算其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面及之間的部分的下側(cè).解 在曲面上，有 課堂練習(xí)1.當(dāng)是面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí), 曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?2.計(jì)算曲面積分其中為平面所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).第三節(jié) 高斯公式 通量與散度內(nèi)容要點(diǎn) 一、高斯公式定理1設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面圍成，函數(shù)、在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有公式 (6.1)這里是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè), 是上點(diǎn)處的法向量的方向余弦. (6.1)式稱為高斯公式.若曲面與平行于坐標(biāo)軸的直線的交點(diǎn)多余兩個(gè)，可用光滑曲面將有界閉區(qū)域分割成若干個(gè)小區(qū)域，使得

6、圍成每個(gè)小區(qū)域的閉曲面滿足定理的條件，從而高斯公式仍是成立的.此外，根據(jù)兩類曲面積分之間的關(guān)系，高斯公式也可表為 二、通量與散度一般地，設(shè)有向量場(chǎng),其中函數(shù)、有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是場(chǎng)內(nèi)的一片有向曲面，是曲面的單位法向量. 則沿曲面的第二類曲面積分稱為向量場(chǎng)通過(guò)曲面流向指定側(cè)的通量. 而稱為向量場(chǎng)的散度，記為，即. (6.5)例題選講利用高斯公式計(jì)算例1（E01）計(jì)算曲面積分其中為柱面及平面所圍成的空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)（圖10-6-2）.解 利用高斯公式，得原式=（利用柱面坐標(biāo)）例2（E02）計(jì)算 其中為旋轉(zhuǎn)拋物面在部分的外側(cè).解 作輔助平面 則平面與曲面圍成空間有界閉區(qū)域由高斯公式得例

7、3（E03）計(jì)算 其中為錐面, 為此曲面外法線向量的方向余弦.解 補(bǔ)充平面取的上側(cè)，則構(gòu)成封閉曲面，設(shè)其所圍成空間區(qū)域?yàn)?于是而 故 例4（E04）證明: 若為包圍有界域的光滑曲面, 則其中為函數(shù)沿曲面的外法線方向的方向?qū)?shù)，,在上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，符號(hào)稱為拉普拉斯算子. 這個(gè)公式稱為格林第一公式.證 因?yàn)椋渲惺窃邳c(diǎn)處的外法線的方向余弦，于是將上式右端移至左端即得所要證明的等式.通量與散度例5（E05）求向量場(chǎng)的流量(1) 穿過(guò)圓錐的底(向上);(2) 穿過(guò)此圓錐的側(cè)表面（向外）.解 設(shè)及分別為此圓錐的面，側(cè)面及全表面，則穿過(guò)全表面向外的流量(1) 穿過(guò)底面向上的流量(2) 穿過(guò)側(cè)表

8、面向外的流量課堂練習(xí)1.利用高斯公式計(jì)算其中為球面的外側(cè).第四節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度斯托克斯公式是格林公式的推廣，格林公式建立了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的聯(lián)系，而斯托克斯公式則建立了沿空間曲面的曲面積分與沿的邊界曲線的曲線積分之間的聯(lián)系.分布圖示 斯托克斯公式 例1 例2 例3 空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 三元函數(shù)的全微分求積 環(huán)流量與旋度 例4 例5 例6 斯托克斯公式的向量形式 向量微分算子 內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí) 習(xí)題11-7返回內(nèi)容要點(diǎn)一、斯托克斯公式定理1 設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)在包含曲

9、面在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有公式 (7.1)公式(7.1)稱為斯托克斯公式.為了便于記憶，斯托克斯公式常寫(xiě)成如下形式：利用兩類曲面積分之間的關(guān)系，斯托克斯公式也可寫(xiě)成 二、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件三、環(huán)流量與旋度設(shè)向量場(chǎng)則沿場(chǎng)中某一封閉的有向曲線C上的曲線積分稱為向量場(chǎng)沿曲線C按所取方向的環(huán)流量. 而向量函數(shù) 稱為向量場(chǎng)的旋度，記為，即旋度也可以寫(xiě)成如下便于記憶的形式：. 四、向量微分算子：例題選講利用斯托克斯公式計(jì)算例1（E01）計(jì)算曲線積分 其中是平面被三坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界, 它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則.解 按斯托克斯公式，有由于的法向量的三個(gè)方向余弦都為正，再由對(duì)稱性知:所以 例2 計(jì)算曲線積分 其中是平面截立方體：的表面所得的接痕，從軸的正向看法，取逆時(shí)針?lè)较?解 取為題設(shè)平面的上側(cè)被所圍成部分，則該平面的法向量即原式例3（E02）計(jì)算 式中是此曲線是順著如下方向前進(jìn)的: 由它所包圍在球面上的最小區(qū)域保持在左方.解 由斯托克斯公式，有原式(利用對(duì)稱性)例4 求矢量場(chǎng)在點(diǎn)處的散度及旋度. 解 故 故例5（E03）設(shè) 求gradu； div(gradu)；rot(gradu).解 因?yàn)橛卸A連續(xù)導(dǎo)數(shù),故二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān),故注：一般地，如果是一單值函數(shù)，我們稱向量場(chǎng)=gradu 為勢(shì)量場(chǎng)或保守場(chǎng)