數(shù)學(xué)分析反常積分自測(cè)題解答

1、數(shù)學(xué)分析第十二章反常積分自測(cè)題解答一、判斷題 (每小題2分,共12分)( )1. 若無(wú)窮積分收斂, 則無(wú)窮積分也收斂.( × )2. .( )3. 無(wú)窮積分發(fā)散.( × )4. 設(shè)是非負(fù)函數(shù)的瑕點(diǎn),且,則瑕積分收斂.( )5在收斂的條件下，可能發(fā)散. ( × )6. 若無(wú)窮積分收斂，則無(wú)窮積分也收斂.注：2. 當(dāng)時(shí)，0是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，且瑕積分發(fā)散.4. 當(dāng)是的瑕點(diǎn)時(shí),判別瑕積分的斂散性要考慮極限.二、選擇題 (每小題2分, 共10分).下列結(jié)論或運(yùn)算正確的是（ C ）.A. B. 由于是奇函數(shù),故.C. D. 由于是偶函數(shù),故.注：無(wú)窮積分 ，均發(fā)散；而，.收斂

2、是與都收斂的( A ).A.充要條件B.必要條件C.充分條件D.無(wú)關(guān)條件.下列廣義積分中發(fā)散的是( D ).A. B. C. D. 4. ( D ).A. B. C. D. 不存在5. ( B ).A. B. C. D. 不存在注:.三、填空題 (每小題2分,共10分)1. 是函數(shù)的瑕點(diǎn)在點(diǎn)的任意鄰域無(wú)界.2. 無(wú)窮積分發(fā)散,與之一發(fā)散. 3. 瑕積分 當(dāng) 滿足時(shí)收斂.4. 當(dāng)時(shí), 無(wú)窮積分發(fā)散.5. 無(wú)窮積分 當(dāng) 滿足時(shí)條件收斂, 當(dāng) 滿足時(shí)絕對(duì)收斂.四、求下列反常積分(每小題5分,共30分)1. .解: 由定義 , 故 .2. .解: .3 .解: ,故.4.解: 是被積函數(shù)的瑕點(diǎn),分別考

3、慮瑕積分與,有,故.5. .解: 是被積函數(shù)的瑕點(diǎn),有 .6. .解: 是被積函數(shù)的瑕點(diǎn),有.五、判斷下列反常積分的斂散性(每小題5分,共30分)1. 解: 是被積函數(shù)的瑕點(diǎn). 由 ,有,故瑕積分收斂.2.解: 是被積函數(shù)的瑕點(diǎn).由于不存在，故瑕積分發(fā)散,從而瑕積分發(fā)散.3. 解: 由,有,故無(wú)窮積分收斂.注:由于,故不是的瑕點(diǎn). 補(bǔ)充定義,則被積函數(shù)在區(qū)間連續(xù).4. .解:是被積函數(shù)的瑕點(diǎn), 分別考慮瑕積分與無(wú)窮積分, 由 , 有, , 故瑕積分收斂；由, 有, , 故無(wú)窮積分收斂. 綜上, 反常積分收斂.5. . 解: 是被積函數(shù)()的瑕點(diǎn)，分別考慮瑕積分與無(wú)窮積分.（）由 ,即有,于是，

4、當(dāng)時(shí),瑕積分發(fā)散；當(dāng)時(shí),瑕積分收斂.（）由, 有,于是，無(wú)窮積分收斂.綜上, 反常積分當(dāng)時(shí)收斂， 當(dāng)時(shí)發(fā)散6. .解: 是被積函數(shù)()的瑕點(diǎn)，分別考慮瑕積分與無(wú)窮積分.（）由 ,即有,于是，瑕積分當(dāng)時(shí)發(fā)散；當(dāng)時(shí)收斂.（）, 于是，無(wú)窮積分當(dāng)時(shí)發(fā)散；當(dāng)時(shí)收斂.綜上, 反常積分發(fā)散六、證明:反常積分 （1）當(dāng)時(shí)條件收斂(注:此時(shí)0不是被積函數(shù)的瑕點(diǎn))；（2）當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂； （3）當(dāng)時(shí)發(fā)散. (8分)證：(1) 當(dāng)時(shí), 由,知不是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，所以為無(wú)窮積分首先，證明無(wú)窮積分收斂取，有）在區(qū)間單調(diào)減少且；），即有界由狄利克雷判別法，無(wú)窮積分收斂，從而無(wú)窮積分收斂其次，證明無(wú)窮積分發(fā)散已知，有，從而無(wú)窮積分收斂，但無(wú)窮積分發(fā)散，故無(wú)窮積分發(fā)散，從而無(wú)窮積分發(fā)散于是，當(dāng)時(shí)，無(wú)窮積分條件收斂（）（） 當(dāng)時(shí), 由,知是被積函數(shù)的瑕點(diǎn),所以要分別考慮無(wú)窮積分與瑕積分.由于, 已知無(wú)窮積分收斂(),故