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1、姓名 學(xué)號 學(xué)院 專業(yè) 座位號 ( 密 封 線 內(nèi) 不 答 題 )密封線線_ _ 誠信應(yīng)考,考試作弊將帶來嚴(yán)重后果! 華南理工大學(xué)2011年期末考試試卷(A)卷彈性力學(xué)注意事項:1. 考前請將密封線內(nèi)各項信息填寫清楚; 2. 所有答案請直接答在答題紙上; 3考試形式:閉卷; 4. 本試卷共三大題,滿分100分,考試時間120分鐘。題 號一二三總分得 分評卷人一、簡答題(共20分)1、五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么用途?(10分)答:1、連續(xù)性假定:引用這一假定后,物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的,因此,建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化
2、規(guī)律。 (2分)2、完全彈性假定:引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng)力成正比的含義,亦即二者成線性的關(guān)系,符合胡克定律,從而使物理方程成為線性的方程。 (4分)3、均勻性假定:在該假定下,所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此,反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)(如彈性模量E和泊松比等)就不隨位置坐標(biāo)而變化。 (6分)4、各向同性假定:所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是相同的。進(jìn)一步地說,就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。 (8分)5、小變形假定:我們研究物體受力后的平衡問題時,不用考慮物體尺寸的改變而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)行計算。同時,在研究物體的變形
3、和位移時,可以將他們的二次冪或乘積略去不計,使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性微分方程。 在上述假定下,彈性力學(xué)問題都化為線性問題,從而可以應(yīng)用疊加原理。 (10分)2、試分析簡支梁受均布荷載時,平面截面假設(shè)是否成立?(5分)解:彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別,是由于各自解法不同。簡言之,彈性力學(xué)的解法,是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程,幾何方程和物理方程,以及邊界上的邊界條件而求解的,因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學(xué)中沒有嚴(yán)格考慮上述條件,因而得出的是近似解答。例如,材料力學(xué)中引用了平面假設(shè)而簡化了幾何關(guān)系,但這個假設(shè)對一般的梁是近似的。所以,嚴(yán)格來說,不成立。3、為什么在主要邊界
4、(占邊界絕大部分)上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件,教材中式(2-15),而在次要邊界(占邊界很小部分)上可以應(yīng)用圣維南原理,用三個積分的應(yīng)力邊界條件(即主矢量、主矩的條件)來代替?如果在主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式(2-15),將會發(fā)生什么問題?(5分)解:彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題,而要邊界條件完全得到滿足,往往遇到很大的困難。這時,圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同,但靜力等效的面力(主矢、主矩均相同),只影響近處的應(yīng)力分布,對遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個應(yīng)力邊
5、界條件來代替精確的邊界條件。教材中式(2-15),就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布,會使問題的解答具有的近似性。三、計算題(80分)2.1 已知薄板有下列形變關(guān)系:式中A,B,C,D皆為常數(shù),試檢查在形變過程中是否符合連續(xù)條件,若滿足并列出應(yīng)力分量表達(dá)式。(10分)1、 相容條件:將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程(相容方程)其中 所以滿足相容方程,符合連續(xù)性條件。 (4分)2、 在平面應(yīng)力問題中,用形變分量表示的應(yīng)力分量為 (10分)2.2如圖所示水壩,試寫出其邊界條件。(10分)左側(cè)面: (2分)由應(yīng)力邊界條件公式,有 (4分) (6分)右側(cè)面: (8分) (10分)2.3 圖示懸臂梁,梁的橫截面為矩
6、形,其長度為L,寬度取為1,高度為2h,右端固定、左端自由,荷載分布在其右端上,其合力為P(不計體力),求梁的應(yīng)力分量。(20分)解:這是一個平面應(yīng)力問題,采用半逆解法求解。(1)選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知,懸臂梁任一截面上的彎矩方程M(x)與截面位置坐標(biāo)x成正比,而該截面上某點處的正應(yīng)力又與該點的坐標(biāo)y成正比,因此可設(shè) (a) (3分)式中的為待定常數(shù)。將式(a)對y積分兩次,得 (b)式中的,為x的待定函數(shù),可由相容方程確定。將式(b)代入相容方程, 得 (5分)上式是y的一次方程,梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿足它,可見它的系數(shù)和自由項都必須為零,即,積分上二式,得式中為待定的積分常數(shù)。將,代
7、入式(b),得應(yīng)力函數(shù)為.(c) (8分)(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式 (10分)(3)考察應(yīng)力邊界條件:以確定各系數(shù),自由端無水平力;上、下部無荷載;自由端的剪力之和為P,得邊界條件 ,自然滿足; ,得; (12分)上式對x的任何值均應(yīng)滿足,因此得,即 (14分),得X取任何值均應(yīng)滿足,因此得. (16分)將式(e)代入上式積分,得計算得 , (18分)其中,橫截面對Z軸的慣性矩。最后得應(yīng)力分量為 (20分)2.4 如題下圖所示的懸臂梁,長度為l,高度為h, l>>h,在上邊界受均布荷載q,試檢驗應(yīng)力函數(shù)能否成為此問題的解?如可以,試求出應(yīng)力分量。 (10分)解 (1)相容條件將代入相
8、容方程,得,若滿足相容方程,有 (2分) (2)應(yīng)力分量表達(dá)式 (4分)(3)考察邊界條件;主要邊界上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(6分)在次要邊界上x=0上,主矢和主矩為零,應(yīng)用圣維南原理,用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替 (e) 聯(lián)立求解式(a),(b),(c),(d)和(e),得 (8分)將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式,得 (10分)2.5楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如下圖所示,試求其應(yīng)力分量。(10分) 【解】(1)應(yīng)用應(yīng)力函數(shù),進(jìn)行求解。由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量 (2分)(2)考察邊界條件:根據(jù)對稱性,得 (a) (b) (c) (d) (4分)同式(a)得 (e)同式(b)得 (f)同式(c)
9、得 (g)同式(d)得 (h) (6分)式(e) 、(f) 、(g)、 (h)聯(lián)立求解,得 (8分)將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量,得 (10分)2.6 設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶,單位寬度上力偶矩為M,如下圖所示,試求應(yīng)力分量。 (20分) 【解】應(yīng)用半逆解法求解。(1) 按量綱分析方法,單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。應(yīng)力應(yīng)與有關(guān),由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力,即L-1MT-2,應(yīng)力只能以形勢組合。 (2分)(2) 應(yīng)比應(yīng)力的長度量綱高二次冪,可假設(shè)。(3) 將代入相容方程,得 (4分)刪去因子,得一個關(guān)于的常微分方程。令其解為,代入上式,可得到一個關(guān)于的特征方程, (a)(6分)其解為,于是得到的四個解;前兩項又可以組合為正弦、余弦函數(shù)。由此得 (b)(8分)本題中結(jié)構(gòu)對稱于的x軸,而M是反對稱荷載,因此,應(yīng)力應(yīng)反對稱于x軸,為的奇函數(shù),從而得A=D=0。 (c)(10分)(4)由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式 (12分)(5)考察邊界條件。由于原點O有集中力偶作用,應(yīng)分別考察大邊界上的條件和原點附近的條件。
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