無窮級數(shù)答案

1、第十一章 無窮級數(shù)(一)1解：，(),原級數(shù)發(fā)散。2解：，()，原級數(shù)收斂且和為。3解： ，()，原級數(shù)收斂且和為。4解：，由比值判別法知原級數(shù)發(fā)散。5解：，由比值判別法知，原級數(shù)收斂。6解：，原級數(shù)發(fā)散。7解：，而發(fā)散，由比較判別法知原級數(shù)發(fā)散。8解：，由比值判別法知，原級數(shù)收斂。9解：，由比值判別法知，原級數(shù)收斂。10解：，而，故，由根值判別法知，原級數(shù)收斂。11解：，由正項級數(shù)的比值判別可知，此級數(shù)收斂，故原級數(shù)絕對收斂。12解：，而發(fā)散，故發(fā)散。因此原級數(shù)非絕對收斂，又，顯然，且，故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)條件收斂。13解：，原級數(shù)發(fā)散。14解：此為交錯級數(shù)，()而級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散，即

2、原級數(shù)非絕對收斂，顯然單調(diào)遞減且趨向于零，故原級數(shù)條件收斂。15解：，當時，級數(shù)為發(fā)散，當時，級數(shù)為收斂。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。16解：，收斂區(qū)間為。17解：，。18解：，。故當，即時收斂，當或時發(fā)散，當時，級數(shù)為，收斂；當時，級數(shù)為，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。19解：，當時，即時收斂，當，即或時發(fā)散，。當時原級數(shù)為，發(fā)散，故收斂區(qū)間為。20解：，當時，原級數(shù)，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。21解：設，。22解：設，則 ，即，。23解：，。24解： ，。25解：， 。26解：，即27解：為偶函數(shù)， ，令，得，且在上連續(xù)，。28解：由于是奇函數(shù)，故， 。29解： ，時，。 時， ，所以除上均成立。30解：1）正

3、弦級數(shù)，注意到，作奇延拓，使在上恒有。再將周期延拓得，是一個以為周期的連續(xù)函數(shù)，計算付氏系數(shù)如下：，() ,.2)余弦函數(shù)作偶延拓設，使在上恒有。再將周期延拓得，是一個以為周期的連續(xù)函數(shù)，計算付氏系數(shù)如下： ,.(二)1解：, ，原級數(shù)收斂且和為。2解：，原級數(shù)收斂且和為。3解：，原級數(shù)收斂且和為。4解：，由比值判別法知原級數(shù)收斂。5解：，由根值判別法知原級數(shù)收斂。6解：當充分大時有，而，故，由根值判別法知原級數(shù)收斂。7解：，當，即 時，原級數(shù)收斂；，即 ，原級數(shù)發(fā)散，當時不定。8解：當時，級數(shù)發(fā)散。 當時，()，而收斂，級數(shù)發(fā)散。9解：，收斂，由比較判別法知級數(shù)收斂。10解：，故也發(fā)散，故也

4、非條件收斂。11解：，而發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，即原級數(shù)非絕對收斂，原級數(shù)為交錯級數(shù)，顯然數(shù)列單調(diào)遞減且收斂于零，故由萊布尼茲判別法知，原級數(shù)條件收斂。12解：，而發(fā)散，發(fā)散，即原級數(shù)非絕對收斂。記原級數(shù)為為交錯級數(shù)，又，即，故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)收斂，故原級數(shù)條件收斂。13解：，故對，原級數(shù)收斂，所以收斂半徑為，收斂區(qū)間為。14，當時，原級數(shù)發(fā)散，故收斂區(qū)間為，其中。15解：，當，即時，原級數(shù)收斂，當，即或時，原級數(shù)發(fā)散，當，原級數(shù)收斂，當時原級數(shù)也收斂。故原級數(shù)收斂半徑為2，收斂區(qū)間為。16解：，當，即，原級數(shù)收斂。當時，原級數(shù)收斂，當時，原級數(shù)發(fā)散。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。17解：，但 ，故

5、有，。18解：，而 ，。19解：， ，故，。20證明：考慮級數(shù)，逐項微分得：，。，取，得。21解：， 。，。22解： ，()。23解： ，。25解： ，。由于對，有，所以。因此 以周期的周期函數(shù)，并且顯然只有當，時是及 第一類間斷點，所以符合狄利克雷收斂定理的條件，故付氏級數(shù)在處處收斂， ，有。26解：奇函數(shù)，所以。 所以，除均成立，()。27解： 又函數(shù)展成正弦級數(shù)為，又 展開成余弦級數(shù)為，。(三)1解： ,故原級數(shù)收斂，且和為。2證：，由比較判別法知原正項級數(shù)收斂。3解：，由比值判別法知，原級數(shù)發(fā)散。4解：考慮函數(shù)，由得，易知時的最大值，所以當?shù)?，但為收斂的幾何級?shù)，原級數(shù)也收斂。5解：，有；而當時，有，當時，而級九可判別其是收斂的，原級數(shù)收斂。6解：因為已知級數(shù) 條件收斂的級數(shù)。設其部分和數(shù)極限為，則有，而級數(shù)，取其前項，其和與的部分和相等且為，當時，故原級數(shù)收斂且和為。7解：，當，即時，收斂；當時發(fā)散。故，當時，級數(shù)為發(fā)散，故原級數(shù)收斂域為。8解：，由于，而當，故；當時，原級數(shù)為，由于通項不以零為極限，故發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂域為。9解：當時，級數(shù)收斂。設，則，兩邊積分得：，()；再積分一次 ，()；，即原級數(shù)的和。10解：， 因為當時，又當時，故展開式對所有的均成立，在展開式中令，得。11解：，()，故當，即當時級數(shù)收斂，當時級數(shù)