有限元作業(yè)第二次作業(yè)

1、 土木工程專(zhuān)業(yè)有限元第二次作業(yè)姓 名：班 級(jí)：學(xué) 號(hào)：指導(dǎo)教師：二 一 五年 6月12日習(xí) 題：平面應(yīng)力問(wèn)題的八節(jié)點(diǎn)等參元，已給定8個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。試查資料并論述： 1、單元中位移函數(shù)u（，），v（，）和單元節(jié)點(diǎn)位移e 的關(guān)系式；2、 B 矩陣的計(jì)算步驟和計(jì)算式；3、單元?jiǎng)偠染仃?k e 的一般計(jì)算方法和計(jì)算步驟；4、論述相鄰單元間公共邊界上位移的連續(xù)性；5、如果給定母單元中點(diǎn)A，（，），怎樣求實(shí)際單元中與A，相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A（x，y）；反之，如果給定實(shí)際單元中的點(diǎn)A（x，y），怎樣求其在母單元中對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，（，）？6、如果已經(jīng)求解得到單元8個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移值e 怎樣求單元中某一點(diǎn)B（x，y）的應(yīng)力？解：

2、圖1：在總坐標(biāo)系中具有二次曲邊的四邊形單元1、此題分兩步進(jìn)行：Ø 單元位移場(chǎng)的表達(dá)：圖2：在自然坐標(biāo)系中的曲邊四邊形的基本單元如圖1所示,在任意四邊形的每邊中間設(shè)一附加節(jié)點(diǎn)，則單元邊界就變成二次曲線的了。如果直接在整體坐標(biāo)系下，像八節(jié)點(diǎn)矩形元那樣，構(gòu)造雙二次多項(xiàng)式的位移插值函數(shù)，則因曲邊四邊形單元邊界是二次曲線，故邊界上的位移是的五次多項(xiàng)式，它不能由曲邊上三個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移分量唯一地決定，從而不能保證相鄰兩個(gè)單元在公共邊上位移的協(xié)調(diào)條件，所以在整體坐標(biāo)系下構(gòu)造完全協(xié)調(diào)的位移插值函數(shù)是很困難的，利用坐標(biāo)變換，可將曲邊四邊形單元變換成基本單元，如圖2所示的在自然坐標(biāo)下具有邊長(zhǎng)為2的八節(jié)點(diǎn)正方

3、形單元，自然坐標(biāo)系是外節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值為±1的局部坐標(biāo)系。在自然坐標(biāo)系的單元上構(gòu)造協(xié)調(diào)的位移插值函數(shù)，其形狀函數(shù)是較普通的，取位移分量為的雙二次多項(xiàng)式, 即： （1-1）利用8 個(gè)節(jié)點(diǎn)的16 個(gè)位移分量可唯一確定16 個(gè)待定常數(shù)，若代入8個(gè)節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值，得： （1-2） （1-3）將解出的16 個(gè)待定常數(shù)代入式（1-1）即得: （1-4a）也即： （1-4b）其中為二階單元矩陣，為等參元節(jié)點(diǎn)位移列陣，為形狀函數(shù)矩陣。Ø 形狀函數(shù)的建立：按等參元思想，在整體坐標(biāo)系下, 任何形狀歪斜四邊形單元都將變換到局部坐標(biāo)系下的正方形單元。 對(duì)8節(jié)點(diǎn)等參元, 其移模式為： （1-5）式中,

4、為歪斜單元8節(jié)點(diǎn)的位移，為形狀函數(shù)。查閱相關(guān)資料，得形函數(shù)公式公式為： （1-6）又由形狀函數(shù)的性質(zhì)可具體地求出的表達(dá)式為： （1-7）2、根據(jù)平面問(wèn)題的幾何方程，單元應(yīng)變可用節(jié)點(diǎn)位移表示如下： （2-1）其中： （2-2）即要求出矩陣中的元素，。另根據(jù)符合函數(shù)求導(dǎo)法則，可知： （2-3）其中，為二維坐標(biāo)變化下的Jacobi矩陣，即： （2-4）其元素計(jì)算式為：， ， （2-5）又根據(jù)式（2-3），有 （2-6）根據(jù)公式（2-2）即可得出矩陣，其中可由問(wèn)題1方法求出。3、單元?jiǎng)偠染仃嚢雌毡楣接?jì)算，公式如下： （3-1）其中為單元體積域，為16×16的方陣（具體形式見(jiàn)下文），為材料的

5、彈性系數(shù)矩陣，各向同性材料的彈性系數(shù)矩陣為： （3-2）上述積分應(yīng)在局部坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，因此面積元素需表示成.如圖3所示為子單元內(nèi)任一點(diǎn)處的微小正方形，它是由局部坐標(biāo)系中點(diǎn)處的微元體變換而成的。以表示軸的單位基矢量，分別由變換而成，則： （3-3）圖3：子單元內(nèi)任一點(diǎn)處的微小正方形上述2個(gè)矢量的叉積表示它們所構(gòu)成的平行四邊形面積，故： （3-4）其中，為矩陣的行列式，即 將上式帶入式（3-1），并寫(xiě)成分塊形式： （3-5）其中子矩陣的計(jì)算公式為： （3-6）其中是板的厚度。由于被積函數(shù)極為復(fù)雜,很難得到明顯的解析式,必須利用數(shù)值積分。程序中采用高斯求積法,對(duì)于二維問(wèn)題的等參元,高斯求積公式為:

6、（3-7）式中，為一維求積點(diǎn)的積分系數(shù)，為沿一維編號(hào)的求積積分點(diǎn)的橫坐標(biāo)。對(duì)于8節(jié)點(diǎn)等參元取三個(gè)積分點(diǎn)，即n=3已足夠精確。4、證明：局部坐標(biāo)系下的單元是規(guī)則的正方形，單元邊界上的三個(gè)節(jié)點(diǎn)按線性變化的位移形式，單元變形后這三個(gè)節(jié)點(diǎn)確定了位移的單元直線邊界。所以，局部坐標(biāo)系下單元是協(xié)調(diào)的。又由位移插值函數(shù)在局部坐標(biāo)系下的協(xié)調(diào)性，即可推知坐標(biāo)變換的協(xié)調(diào)性（即兩個(gè)相鄰曲邊四邊形在公共邊界上經(jīng)坐標(biāo)變換后仍保持連續(xù)，不會(huì)出現(xiàn)重疊和破缺現(xiàn)象），這也就保證了位移插值函數(shù)在整體坐標(biāo)系下的協(xié)調(diào)性。即在相鄰單元公共邊界上位移是連續(xù)的。5、這里，是的函數(shù)，在下面的計(jì)算中還需知道和的關(guān)系，因此必須寫(xiě)出和之間的坐標(biāo)變換式，這個(gè)坐標(biāo)變換并不難，因?yàn)樵趩卧?個(gè)節(jié)點(diǎn)上應(yīng)取值，而單元四條邊應(yīng)為二次曲線，這與的要求完全類(lèi)同，因此可沿用和位移插值函數(shù)完全相同的式子作為坐標(biāo)變換式，即： （5-1）式中為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，形狀函數(shù)與前面相同。由上可見(jiàn)，在整體坐標(biāo)系下的曲邊四邊形單元和自然坐標(biāo)系下的正方形單元存在著一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系，只要已知后，由（5-1）式，利用自然坐標(biāo)系下的形狀函數(shù)，即可完全確定。即：如果給定母單元中點(diǎn)，通過(guò)求出形狀函數(shù)，利用式（5-1），可求出實(shí)際單元中與相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；同理，如果給定實(shí)際單元中的點(diǎn)，利用式（5-1