思維特訓(xùn)(七)　建“反比”模型解實(shí)際問題

1、.思維特訓(xùn)七建“反比模型解實(shí)際問題方法點(diǎn)津 ·通過數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題，它既符合素質(zhì)教育提出的“培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)的新要求，同時(shí)也有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的才能，解這類數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是通過對(duì)問題原始形態(tài)的分析、聯(lián)想和抽象，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，即構(gòu)建一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決問題典題精練 ·類型一根據(jù)給定的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型此類問題一般題中已明確給出變量間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)給定的關(guān)系，用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量，建立等量關(guān)系，從而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題1水產(chǎn)公司有一種海產(chǎn)品，為尋求適宜的銷售價(jià)格，進(jìn)展了一周的試銷，通過試銷發(fā)現(xiàn)這

2、種海產(chǎn)品每天的銷售量y千克是銷售價(jià)格x元/千克的反比例函數(shù)，且當(dāng)銷售價(jià)格定為120元/千克時(shí)，銷售量為100千克1求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；2試銷后，公司決定把這種海產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為150元/千克，并且每天都按這個(gè)價(jià)格銷售，那么庫存的2019千克的海產(chǎn)品預(yù)計(jì)再用多少天可以全部售出？2一輛汽車勻速通過某段公路，所需時(shí)間t單位：h與行駛速度v單位：km/h滿足函數(shù)關(guān)系t，其圖象為圖7Y1中的一段曲線，端點(diǎn)為A40，1和Bm，0.51求k和m的值；2假設(shè)行駛速度不得超過60 km/h，那么汽車通過該路段最少需要多長時(shí)間？圖7Y13某地上一年度電價(jià)為每度0.8元，年用電量為1億度，本年度方案將電價(jià)調(diào)至

3、每度0.550.75元之間，經(jīng)測(cè)算，假設(shè)電價(jià)調(diào)至每度x元，那么本年度新增用電量y億度與x0.4元成反比例又知當(dāng)x0.65時(shí)，y0.8.1求y與x之間的函數(shù)解析式；2假設(shè)每度電的本錢價(jià)為0.3元，電價(jià)調(diào)至每度0.6元，請(qǐng)你預(yù)算一下本年度電力部門的收入是多少收入售價(jià)本錢類型二根據(jù)題目中的隱性等量關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型此類題需要先根據(jù)題意判斷出要解決的問題屬于哪類實(shí)際問題，然后根據(jù)不同類型的實(shí)際問題比方工程問題、行程問題、銷售問題等中蘊(yùn)含的根本相等關(guān)系及題目中提供的條件，找到可以表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系，根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出兩個(gè)變量之間的關(guān)系式4某項(xiàng)工程需要沙石料2×106 m3

4、，陽光公司承擔(dān)了該工程運(yùn)送沙石料的任務(wù)1在這項(xiàng)任務(wù)中平均每天的工作量vm3/天與完成任務(wù)所需要的時(shí)間t天之間具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？寫出這個(gè)函數(shù)解析式；2陽光公司方案投入A型卡車200輛，每天一共可以運(yùn)送沙石料2×104 m3，那么完成全部運(yùn)送任務(wù)需要多少天？假如工作了25天后，由于工程進(jìn)度的需要，公司準(zhǔn)備再投入A型卡車120輛，在保持每輛車每天工作量不變的前提下，是否能提早28天完成任務(wù)？5某機(jī)床加工一批機(jī)器零件，假如每小時(shí)加工30個(gè)，那么12小時(shí)可以完成1設(shè)每小時(shí)加工x個(gè)零件，所需時(shí)間為y小時(shí)，寫出y與x之間的函數(shù)解析式，并畫出其圖象；2假設(shè)要在一個(gè)工作日8小時(shí)內(nèi)完成，那么每小時(shí)要比

5、原來多加工幾個(gè)零件？6小王騎自行車以15 km/h的平均速度從甲地到乙地用了4 h.1他坐出租車沿原路返回，求出租車的平均速度vkm/h與時(shí)間th之間的函數(shù)解析式；2假如小王必須在40 min之內(nèi)趕回甲地，那么返程時(shí)的平均速度至少為多少？類型三根據(jù)表格或圖象中變量之間的規(guī)律特點(diǎn)，建立反比例函數(shù)模型此類題通過表格或圖象的形式給出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，應(yīng)注意運(yùn)用“由數(shù)想形，以形助數(shù)的策略，要可以從圖表中讀出有用的信息，從而建立相應(yīng)的函數(shù)模型7如圖7Y2是某一蓄水池的排水速度vm3/h與排完水池中的水所用的時(shí)間th之間的函數(shù)關(guān)系圖象1直接寫出此函數(shù)的解析式和自變量t的取值范圍；2假如要6 h排完水池中

6、的水，那么每小時(shí)的排水量應(yīng)該是多少？3假如每小時(shí)的排水量是5 m3，那么水池中的水要用多少小時(shí)才能排完？圖7Y28.某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動(dòng)物試驗(yàn)，首次用于臨床人體試驗(yàn)，測(cè)得成人服藥后血液中藥物濃度y微克/毫升與服藥時(shí)間x時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系如圖7Y3所示當(dāng)4x10時(shí)，y與x成反比例1根據(jù)圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數(shù)解析式；2血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時(shí)間為多少小時(shí)？圖7Y39某中學(xué)組織學(xué)生參加社會(huì)理論活動(dòng)，他們參與了某種品牌運(yùn)動(dòng)鞋的銷售工作，該運(yùn)動(dòng)鞋每雙的進(jìn)價(jià)為120元，為尋求適宜的銷售價(jià)格進(jìn)展了4天的試銷，試銷情況如下表所示：第1天第2天第

7、3天第4天售價(jià)x元/雙150200250300銷售量y雙403024201觀察表中數(shù)據(jù)，x，y滿足什么函數(shù)關(guān)系？懇求出這個(gè)函數(shù)解析式；2假設(shè)商場(chǎng)方案每天的銷售利潤為3000元，那么其售價(jià)應(yīng)定為多少？10某同學(xué)在做電學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)電壓一定時(shí)，記錄下電流yA與電阻x有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：y/A12345x/2010541請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中通過描點(diǎn)、連線畫出圖象，觀察并求出y與x之間的函數(shù)解析式；2當(dāng)電流是0.5 A時(shí)，電阻是多少歐姆？11某化工廠2019年1月的利潤為200萬元設(shè)2019年1月為第1個(gè)月，第x個(gè)月的利潤為y萬元由于排污超標(biāo)，該廠決定從2019年1月底起適當(dāng)限產(chǎn)，并投入資金進(jìn)展治污改造，導(dǎo)

8、致月利潤明顯下降，從1月到5月，y與x成反比例到5月底，治污改造工程順利完工，從這時(shí)起，該廠每月的利潤比前一個(gè)月增加20萬元圖象如圖7Y4所示1分別求該化工廠治污期間及治污改造工程完工后y與x之間的函數(shù)解析式；2治污改造工程完工后經(jīng)過幾個(gè)月，該廠月利潤才能到達(dá)2019年1月的程度？3當(dāng)月利潤少于100萬元時(shí)為該廠資金緊張期，那么該廠資金緊張期共有幾個(gè)月？圖7Y412.某商場(chǎng)出售一批進(jìn)價(jià)為2元/張的賀卡，在商場(chǎng)營銷中發(fā)現(xiàn)此商品的部分日銷售價(jià)x元/張與銷售量y張之間有如下關(guān)系：x元/張3456y張201512101根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描出實(shí)數(shù)對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；2猜測(cè)并確定y與x之間的函

9、數(shù)解析式，并畫出圖象；3當(dāng)日銷售價(jià)為每張10元時(shí)，賀卡的日銷售量是多少張？4設(shè)此賀卡的銷售利潤為W元，試求出W與x之間的函數(shù)解析式，假設(shè)物價(jià)部門規(guī)定此賀卡的日銷售價(jià)最高不能超過10元/張，試求出當(dāng)日銷售價(jià)定為多少時(shí)，能使每天獲得最大利潤13近年來，我國煤礦平安事故頻頻發(fā)生，其中危害最大的是瓦斯，其中含有CO.在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：從零時(shí)起，井內(nèi)空氣中CO的濃度到達(dá)4 mg/L，此后濃度呈直線增加，在第7小時(shí)到達(dá)最高值46 mg/L，發(fā)生爆炸；爆炸后，空氣中的CO濃度成反比例下降如圖7Y5，根據(jù)題中相關(guān)信息答復(fù)以下問題：1求爆炸前后空氣中CO濃度y與時(shí)間x間的函數(shù)解析式，并寫出相應(yīng)自變量的

10、取值范圍；2當(dāng)空氣中的CO濃度到達(dá)34 mg/L時(shí)，井下3 km的礦工接到自動(dòng)報(bào)警信號(hào)，這時(shí)他們至少要以多大的速度撤離才能在爆炸前逃生？3礦工只有在空氣中的CO濃度降到4 mg/L及以下時(shí)，才能回到礦井開展自救，求礦工至少在爆炸后多少小時(shí)才能下井圖7Y5詳解詳析1解：1設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為yk0，把x120，y100代入y，可得100，解得k12019，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y.2當(dāng)x150時(shí)，y80.2019÷8025天即庫存的2019千克的海產(chǎn)品預(yù)計(jì)再用25天可以全部售出2解：1將40，1代入t，得1，解得k40，所以t與v之間的函數(shù)解析式為t.當(dāng)t0.5時(shí)，0.5，解得m8

11、0.所以k40，m80.2令v60，那么t.結(jié)合函數(shù)圖象可知，汽車通過該路段最少需要 h.3解：1y與x0.4成反比例，設(shè)yk0把x0.65，y0.8代入y，得0.8，解得k0.2，y，y與x之間的函數(shù)解析式為y.2當(dāng)x0.6時(shí)，y1.根據(jù)題意，本年度電力部門的收入為0.60.3×1y0.3×20.6億元答：本年度電力部門的收入是0.6億元4解：1反比例函數(shù)關(guān)系，vt>02當(dāng)v2×104 時(shí)，2×104，解得t100，完成全部運(yùn)送任務(wù)需要100天當(dāng)公司再投入A型卡車120輛時(shí)，平均每天的工作量v×2001203.2×104，完成

12、任務(wù)所需的總時(shí)間t2571.875，10071.87528.125天>28天，能提早28天完成任務(wù)5解：1需加工的零件數(shù)為30×12360個(gè)，故y與x之間的函數(shù)解析式為yx0，圖象如圖2當(dāng)y8時(shí)，x360÷845，453015個(gè)假設(shè)要在一個(gè)工作日8小時(shí)內(nèi)完成，那么每小時(shí)要比原來多加工15個(gè)零件6解：1設(shè)甲、乙兩地的路程為s km.由題意，得s15×460，所以v與t之間的函數(shù)解析式為vt0240 min h，把t代入v，得v90.即假如小王必須在40 min之內(nèi)趕回甲地，那么返程時(shí)的平均速度至少為90 km/h.7解：1設(shè)此函數(shù)的解析式為v，點(diǎn)12，4在此函

13、數(shù)圖象上，4，解得k48，此函數(shù)的解析式為v.t表示排水所用的時(shí)間，t0.2當(dāng)t6時(shí)，v8，故假如要6 h排完水池中的水，那么每小時(shí)的排水量應(yīng)該是8 m3.3當(dāng)v5時(shí)，5，t9.6.故假如每小時(shí)的排水量是5 m3，那么水池中的水要用9.6 h才能排完8解：1當(dāng)0x4時(shí)，設(shè)直線的函數(shù)解析式為ykx，將4，8代入ykx，得84k，解得k2，故血液中藥物濃度上升階段y與x之間的函數(shù)解析式為y2x0x4當(dāng)4x10時(shí)，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y，將4，8代入y，得8，解得a32，故血液中藥物濃度下降階段y與x之間的函數(shù)解析式為y4x102在y2x中，當(dāng)y4時(shí)，42x，解得x2；在y中，當(dāng)y4時(shí)，4，解得x

14、8.826時(shí)，血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時(shí)間為6小時(shí)9解：1由表中數(shù)據(jù)，得xy6000，所以y是x的反比例函數(shù)，其函數(shù)解析式為y.2由題意，得x120y3000，將y 代入，得x120·3000，解得x240.經(jīng)檢驗(yàn)，x240是原方程的解且符合題意答：假設(shè)商場(chǎng)方案每天的銷售利潤為3000元，那么其售價(jià)應(yīng)定為每雙240元10解：1描點(diǎn)畫圖如下圖： 通過觀察圖象，知y是x的反比例函數(shù)設(shè)yk0，由表知，當(dāng)x20時(shí)，y1，代入y，得1，解得k20，所以y與x之間的函數(shù)解析式是yx>02當(dāng)y0.5時(shí)，有0.5，解得x40.即當(dāng)電流是0.5 A時(shí)，電阻是40 .11解：1當(dāng)1x

15、5時(shí)，設(shè)y，把1，200代入y，得k200，即y；因?yàn)楫?dāng)x5時(shí)，y40，所以當(dāng)x5時(shí)，y4020x520x60.2當(dāng)y200時(shí)，20x60200，解得x13，所以治污改造工程完工后經(jīng)過1358個(gè)月，該廠月利潤才能到達(dá)2019年1月的程度3對(duì)于y，當(dāng)y100時(shí)，x2；對(duì)于y20x60，當(dāng)y100時(shí)，x8，所以該廠資金緊張期共有826個(gè)月12解：1在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)，如下圖2圖象如下圖根據(jù)圖象猜測(cè)y與x是反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)yk0，把3，20代入y，得k60，所以yx2把4，15，5，12，6，10分別代入y中均成立，所以y與x之間的函數(shù)解析式是yx23當(dāng)x10時(shí)，y6，即當(dāng)日銷售價(jià)為每張10元時(shí)，賀卡的日銷售量是6張4Wx2yx2×60x2因?yàn)槲飪r(jià)部門規(guī)定此賀卡的日銷售價(jià)最高不能超過10元/張，所以當(dāng)x取10時(shí)，W有最大值即當(dāng)日銷售價(jià)定為10元/張時(shí)，能使每天獲得最大利潤13解：1爆炸前CO濃度呈直線增加，可設(shè)y與x間的函數(shù)解析式為yk1xb. 由圖象知yk1xb的圖象