函數(shù)與導數(shù)專題(教師版)

1、專題七 函數(shù)與導數(shù)一、考綱要求1理解函數(shù)的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；了解函數(shù)奇偶性的含義； 會運用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質.2.理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念及其單調性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點，會畫底數(shù)為2，3，10，的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像 3.結合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).4.通過函數(shù)圖像直觀理解導數(shù)的幾何意義.了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.5.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)

2、一般不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.會用導數(shù)解決某些實際問題.二、考情分析年份題號分數(shù)涉及知識點20103112122函數(shù)在點處的切線方程分段函數(shù)中范圍問題指數(shù)型函數(shù)（1）求單調區(qū)間；（2）當函數(shù)值非負時求參數(shù)的取值范圍.201129122127基本函數(shù)的單調性定積分求曲線圍成圖形的面積兩個函數(shù)（反比例、正弦）交點橫坐標之和對數(shù)型函數(shù)，導數(shù)的幾何意義（1）求值；（2）用不等式求參數(shù)的取值范圍.201210122122函數(shù)的大致圖像互為反函數(shù)兩圖像上兩點的最短距離指數(shù)型函數(shù)（1）求解析式與單調區(qū)間；（2）不等式下求參數(shù)積的最大值.201311162

3、122分段函數(shù)（對數(shù)），含絕對值的不等式函數(shù)的對稱性，函數(shù)的最大值二次函數(shù)與指數(shù)型函數(shù)（1）求待定系數(shù)；（2）不等式下求參數(shù)積的取值范圍.20143112122抽象函數(shù)的奇偶性判斷三次函數(shù)有零點時參數(shù)的取值范圍指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)（1）求待定系數(shù)；（2）證明不等式.201512132122函數(shù)與導數(shù)，取值范圍函數(shù)的奇偶性判斷三次函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)（1）導數(shù)的幾何意義；（2）函數(shù)零點問題.三、知識網絡四、易混、易錯、易忘問題大盤點1函數(shù)的定義域與值域都是非空數(shù)集求函數(shù)相關問題易忽略“定義域優(yōu)先”原則或求錯函數(shù)的定義域如求f(x)ln(x23x2)的單調區(qū)間，只考慮tx23x2與函數(shù)yln t的單

4、調性，忽視t0的限制條件；求函數(shù)f(x)的定義域時，只考慮到x0，x0，而忽視ln x0的限制2注意函數(shù)奇偶性的定義，易忽視函數(shù)定義域關于坐標原點對稱的限制條件；求函數(shù)的單調區(qū)間，易盲目在多個單調區(qū)間之間添加符號“”3不能準確理解基本初等函數(shù)的定義和性質如函數(shù)yax(a0，a1)的單調性忽視字母a的取值討論，忽視ax0；對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，a1)忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件4易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化5不能準確理解導函數(shù)的幾何意義，易忽視切點(x0，f(x0)既在切線上，又在函數(shù)圖象上，導致某些求導數(shù)的問題不能正確解出6

5、易混淆函數(shù)的極值與最值的概念，錯以為f(x0)0是函數(shù)yf(x)在xx0處有極值的充分條件7易混淆求函數(shù)的單調區(qū)間與已知函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù)的取值范圍兩類問題，求解函數(shù)的單調區(qū)間直接轉化為f(x)0或f(x)0的解集；而已知函數(shù)在區(qū)間M上單調遞增(減)，則要轉化為f(x)0或f(x)0的恒成立問題五、實踐與總結第1講 函數(shù)的圖象與性質（一）典例對接例1已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足.(1)若，判斷函數(shù)的單調性；(2)若，求時的的取值范圍.嘗試解答 (1)當ab0時，a，b同號.若a0，b0，則a·2x與b·3x均單調遞增；f(x)a·2xb·3x在R上是增函數(shù).

6、若a0，b0時，則a·2x與b·3x是減函數(shù).f(x)a·2xb·3x在R上是減函數(shù).(2)由f(x1)f(x)，得f(x1)f(x)a·2x2b·3x0.(*)當a0，b0時，由(*)得.xlog.當a0，b0時，由(*)得.xlog.綜上，當a0，b0時，x的取值范圍是xlog；當a0，b0時，x的取值范圍是xlog.規(guī)律方法 1.求解本題的依據(jù)是指數(shù)的運算性質與指數(shù)函數(shù)的單調性.2.熟練應用二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質是解決這類問題的前提和關鍵.3.注意化歸思想與分類討論思想的應用.例2已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)

7、的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍.規(guī)范解答 (1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x).(2分)當x0時，x0，有(x)2mx(x22x)，即x2mxx22x.m2.(6分)(2)由(1)知f(x)當x0時，f(x)x22x(x1)21，x1，)時，f(x)單調遞減；x(0，1時，f(x)單調遞增.(8分)當x0時，f(x)x22x(x1)21，當x(，1時，f(x)單調遞減；x1，0)時，f(x)單調遞增.綜上知：函數(shù)f(x)在1，1上單調遞增，(10分)又函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調遞增.解之得1a3.故實數(shù)a的取值范圍是(1，3.(12分)規(guī)律方法 1.求m值時

8、，不是通過運算求m，而是想當然認為m2，從而出現(xiàn)錯誤，出現(xiàn)錯誤的原因是思維定勢. 解決本題要抓住分段函數(shù)奇偶性的定義，可設x0或x0，從而x0或x0，這樣可代入解析式求m.2.不能由分段函數(shù)求得f(x)在R上的單調遞增區(qū)間，從而導致求不出a或出現(xiàn)錯誤答案，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是對分段函數(shù)的單調性理解有偏差.有關分段函數(shù)的單調性問題，不但要注意每一段上的單調性，還應注意“接點”處函數(shù)值的大小.例3.已知函數(shù) (且為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調性；(2)是否存在實數(shù)t，使不等式對一切都成立？若存在，求出；若不存在，請說明理由.規(guī)范解答(1)f(x)ex，且yex是增函數(shù)，y是增函數(shù)

9、，所以f(x)是增函數(shù).由于f(x)的定義域為R，且f(x)exexf(x)，所以f(x)是奇函數(shù).(2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)，f(xt)f(x2t2)0對一切xR恒成立f(x2t2)f(tx)對一切xR恒成立x2t2tx對一切xR恒成立t2tx2x對一切xR恒成立min對一切xR恒成立0t.即存在實數(shù)t，使不等式f(xt)f(x2t2)0對一切x都成立.規(guī)律方法運用函數(shù)的單調性和奇偶性解決不等式（二）反饋練習1.設偶函數(shù)滿足，則（ ）A BC D解析：當時，則，由偶函數(shù)滿足可得，則，令，可解得.應選B.2列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調遞增的函數(shù)是（ ）A B C DB3.函數(shù)的圖

10、像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標之和等于（ ） A2 B4 C6 D8D4.已知函數(shù)；則的圖像大致為（ ）【解析】選 得：或均有 排除5.設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ） A. B. C. D.【解析】選 函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關于對稱 函數(shù)上的點到直線的距離為 設函數(shù) 由圖象關于對稱得：最小值為6.設函數(shù)，的定義域都為R，且時奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是( ).是偶函數(shù) .|是奇函數(shù).|是奇函數(shù) .|是奇函數(shù)B7.已知函數(shù)，若|，則的取值范圍是( )A B C DD8設函數(shù),( )A3 B6 C9 D12【解析】試題分析：由已知得，又，所以，故，故選C9如圖，長方形的邊，

11、是的中點，點沿著邊，與運動，記將動到、兩點距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為（ ）DPCB OAx【答案】B【解析】考點：函數(shù)的圖象和性質10設，則( ) A. B. C. D.D11已知函數(shù)若互不相等，且則的取值范圍是（ ）ABC D解析：作出函數(shù)的圖象如右圖，不妨設，則則.應選C.12.若函數(shù)=的圖像關于直線對稱，則的最大值是_. 1613.已知偶函數(shù)在單調遞減，.若，則的取值范圍是_. （）14若函數(shù)為偶函數(shù)，則 . 115設是上的奇函數(shù)，當時，.(1)求的值；(2)當4x4時，求的圖象與軸所圍成圖形的面積；(3)寫出 內函數(shù)的單調區(qū)間解：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x

12、2)2f(x2)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f()f(1×4)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)從而可知函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x1對稱又當0x1時，f(x)x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示設當4x4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S4SOAB4×4.(3)函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為4k1,4k1(kZ)，單調遞減區(qū)間為4k1,4k3(kZ)第2講 函數(shù)與方程、函數(shù)的應用（一）典例對接例1已知函數(shù)，.(1)若有零點，

13、求的取值范圍；(2)確定的取值范圍，使得有兩個相異實根. 嘗試解答 (1)g(x)x22e(x0)，當且僅當x取等號.當xe時，g(x)有最小值2e.因此g(x)m有零點，只需m2e.m2e，).(2)若g(x)f(x)0有兩個相異實根.則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點.如圖所示，作出函數(shù)g(x)x(x0)的大致圖象.f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其對稱軸xe，f(x)maxm1e2.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個交點，必須有m1e22e，即me22e1.即g(x)f(x)0有兩個相異實根.m的取值范圍是(e22e1，).規(guī)律方法 解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)

14、的值或取值范圍問題，關鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結合思想，構建關于參數(shù)的方程或不等式求解.例2.已知函數(shù) .(1)當為何值時，軸為曲線的切線；(2)用 表示中的最小值，設函數(shù) ，討論零點的個數(shù).解：（1）設曲線y=f(x)與x軸相切于點因此，當（2）當是的零點綜上，當，例3如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.(1)求炮的最大射程.(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理

15、由.解(1)在ykx(1k2)x2(k0)中，令y0，得kx(1k2)x20.由實際意義和題設條件，知x0，k0.x10，當且僅當k1時取等號.炮的最大射程是10千米.(2)a0，炮彈可以擊中目標等價于存在k0，使ka(1k2)a23.2成立，即關于k的方程a2k220aka2640有正根.由(20a)24a2(a264)0得a6.此時，k0(不考慮另一根).當a不超過6千米時，炮彈可以擊中目標.規(guī)律方法 解應用題首先要正確理解題意，將實際問題化為數(shù)學問題，再利用數(shù)學知識如函數(shù)、導數(shù)、不等式解決數(shù)學問題，最后回歸到實際問題的解決上.（二）反饋練習1.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ ）()

16、.A. B. C. D.解析顯然f(x)ex4x3的圖象連續(xù)不間斷.又f10，f20.由零點存在定理，在內存在零點.答案C2函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為().A.2 B.3 C.4 D.5解析令f(x)xcos 2x0.x0或cos 2x0.則x0或2xk，kZ.又0x2，x0或x，.答案D3設函數(shù)，若的圖象與的圖象有且僅有兩個不同的公共點，則下列判斷正確的是（ ）().A， B，C， D，解析設F(x)x3bx21，則F(x)0與f(x)g(x)同解.故F(x)0有且僅有兩個不同的實根 x1，x2.F(x)3x22bx，由F(x)0，得x0，或xb.易知x0，xb為F(x)的極值點.又F(0)1

17、.由題意F(x)的圖象與x軸有兩個公共點.因此，F(xiàn)0，從而b .不妨設x1x2，則x2b.所以F(x)(xx1)(x)2，比較F(x)的系數(shù).x11，x1.故x1x20，y1y20.答案B4設函數(shù)滿足，且當時，.又函數(shù)，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（ ）().A.5 B.6 C.7 D.8解析根據(jù)題意，函數(shù)yf(x)是周期為2的偶函數(shù)且0x1時，f(x)x3，則當1x0時，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，當x0時，f(x)g(x)；當x0時，若0x，則x3xcos(x)，即x2|cos x|.同理可以得到在區(qū)間，上的關系式都是上式，在同一個坐標系中作出所得關系式等號兩邊函數(shù)的圖象，如圖所

18、示，有5個根.所以總共有6個.答案B5已知函數(shù)f(x)log3x，若實數(shù)x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，則f(x1)的值().A.恒為負 B.等于零 C.恒為正 D.不大于零解析當x0時，f(x)log3x是減函數(shù)，又x0是方程f(x)0的根，即f(x0)0.當0x1x0時，f(x1)f(x0)0.答案C6已知函數(shù)=，若存在唯一的零點，且0，則的取值范圍為（ ）.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）B7函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)解析：選C由條件可知f(1)f(2)&l

19、t;0，即(22a)(41a)<0，即a(a3)<0，解得0<a<3.8.已知f(x)且關于x的方程f(x)xa0有且只有一個實根，則實數(shù)a的范圍是 .解析令g(x)xa，在同一坐標系中分別畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，如圖.從圖象可知，當a1時，兩圖象有且只有一個交點，故實數(shù)a的取值范圍是(1，).答案(1，)9已知f(x)則函數(shù)y2f2(x)3f(x)1的零點個數(shù)是_解析：方程2f2(x)3f(x)10的解為f(x)或1.作出yf(x)的圖象，由圖象知零點的個數(shù)為5.答案：510若函數(shù)變?yōu)閒(x)若函數(shù)yf(x)有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：令g(x)

20、h(x)a，則問題轉化為g(x)與h(x)的圖象有三個交點，g(x)圖象如圖由圖象知a1.答案：11“函數(shù)f(x)ax3在1,2上存在零點”的充要條件是_解析：函數(shù)f(x)ax3在1,2上存在零點等價于直線f(x)ax3在1,2上與x軸有交點，則，或答案：a3或a 12.已知函數(shù)f(x)ln x2x6.(1)證明：函數(shù)f(x)有且只有一個零點；(2)求該零點所在的一個區(qū)間，使這個區(qū)間的長度不超過.(1)證明f(x)的定義域為(0，)，且f(x)是增函數(shù).f(2)ln 220，f(3)ln 30，f(2)·f(3)0.f(x)在(2，3)上至少有一個零點.因f(x)在(0，)上是增函數(shù)

21、，從而f(x)在(0，)上有且只有一個零點.(2)解由(1)知f(2)0，f(3)0.f(x)的零點x0(2，3).取x1，fln 1ln ln e0，f·f(3)0，x0.取x2，fln ln ln e0，f·f0.x0且，即為符合條件的區(qū)間.13.某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1 000萬元的投資收益.現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過收益的20%.(1)請分析函數(shù)y2是否符合公司要求的獎勵函數(shù)模型，并說明原因；(2)若該公司采用函數(shù)模型y作為

22、獎勵函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值.解(1)對于模型yf(x)2，當x10，1 000時，f(x)是增函數(shù).f(x)maxf(1 000)229.f(x)9恒成立.但當x10時，f(10)2，不滿足f(x).故函數(shù)模型y2不符合公司要求.(2)對于模型yg(x)10.當3a200，即a時遞增，為使g(x)9對于x10，1 000恒成立，即要g(1 000)9，3a181 000，即a.為使g(x)對于x10，1 000恒成立，即要，即x248x15a0恒成立.即(x24)215a5760(x10，1 000)恒成立.又2410，1 000，故只需15a5760即可， 所以a.綜上，a，故最

23、小的正整數(shù)a的值為39.第3講導數(shù)及其應用（一）典例對接例1設函數(shù)（1）若，求的單調區(qū)間；（2）若當時，求的取值范圍解：（1）時，.當時，；當時，.故在單調減少，在單調增加（II）由（I）知，當且僅當時等號成立.故，從而當，即時，而，于是當時，.由可得.從而當時，故當時，而，于是當時，.綜合得的取值范圍為.命題意圖：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論、轉化與劃歸解題思想及其相應的運算能力.例2.已知函數(shù)滿足滿足.（1）求的解析式及單調區(qū)間；（2）若，求的最大值。解：（1） 令得： 得： 在上單調遞增 得：的解析式為 且單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)

24、間為 （2）得 當時，在上單調遞增 時，與矛盾當時，當時， 得：當時， 令；則 當時， 當時，的最大值為例3設函數(shù)，曲線在點（1，處的切線為. (1)求的值； （2）證明：.解： 5分 例4設函數(shù)(1)證明：在單調遞減，在單調遞增；（2）若對于任意，都有，求的取值范圍（二）反饋練習1. 已知函數(shù)，下列結論中錯誤的是（ ）AR， B函數(shù)的圖像是中心對稱圖形C若是的極小值點，則在區(qū)間上單調遞減D若是的極值點，則C2.設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D3設函數(shù).若存在的極值點滿足，則m的取值范圍是（ ） A.

25、B. C. D.C4.設函數(shù)f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f(x0)0，則a的取值范圍是( )A.，1) B. ) C. ) D. ，1)D5.設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，當時，則使得成立的的取值范圍是（ ）A BC D記函數(shù)，則，因為當時，故當時，所以在單調遞減；又因為函數(shù)是奇函數(shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，所以在單調遞減，且當時，則；當時，則，綜上所述，使得成立的的取值范圍是，故選A6已知f(x)x36x29xabc，a<b<c，且f(a)f(b)f(c)0.現(xiàn)給出如下結論：f(0)f(1)>0；f(0)f(1)<0；f(0)f(3)>0

26、；f(0)f(3)<0.其中正確結論的序號是_解析：f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)<0，得1<x<3，由f(x)>0，得x<1或x>3，f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間(，1)，(3，)上是增函數(shù)又a<b<c，f(a)f(b)f(c)0，y極大值f(1)4abc>0，y極小值f(3)abc<0.0<abc<4.a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x1，x3為函數(shù)f(x)的極值點，后一種情況不可能成立，如圖f(0)<0.f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.正