【中考數(shù)學(xué)壓軸題專題突破18】相似與旋轉(zhuǎn)

1、【中考?jí)狠S題專題突破18】相似與旋轉(zhuǎn)已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，將DE繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DF.(1)如圖1,若點(diǎn)F恰好落在AC邊上，求證：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；(2)如圖2,在(1)的條件下，若/DFC=45°,連接AD,求證：BE+CF=AD;(3)如圖3,若BE=CD,連CF,當(dāng)CF取最小值時(shí)，直接寫(xiě)出旦L的值.CD2 .如圖，RtAABC中，/ACB=90°,AC=BC,D是線段AB上一點(diǎn)(0vADvAB).過(guò)點(diǎn)B作BELCD,垂足為E.將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CF,連接AF,EF.設(shè)/BC

2、E的度數(shù)為a.(1)依題意補(bǔ)全圖形.若a=60°,則/CAF=(2)用含a的式子表示EF與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.3 .綜合與實(shí)踐-探究正方形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題情境：已知正方形ABCD中，點(diǎn)O在BC邊上，且OB=2OC.將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形A'B'C'D'（點(diǎn)A',B',C',D'分別是點(diǎn)A,B,C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.同學(xué)們通過(guò)小組合作，提出下列數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你解答.特例分析：（1）“樂(lè)思”小組提出問(wèn)題：如圖1,當(dāng)點(diǎn)B'落在正方形ABCD的對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)線段A'B'與CD

3、交于點(diǎn)M.求證：四邊形OB'MC是矩形；（2） “善學(xué)”小組提出問(wèn)題：如圖2,當(dāng)線段A'D'經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，猜想線段C'O與D'D滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；深入探究：（3）請(qǐng)從下面A,B兩題中任選一題作答.我選擇題.A.在圖2中連接AA'和BB',請(qǐng)直接寫(xiě)出%的值.B.“好問(wèn)”小組提出問(wèn)題：如圖3,在正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，設(shè)直線BB'交線段AA'于點(diǎn)P.連接OP,并過(guò)點(diǎn)O作OQLBB'于點(diǎn)Q.請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出史的值.0Q圖1網(wǎng)2圖34 .如圖，已知AC為正方形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)P是平

4、面內(nèi)不與點(diǎn)A,B重合的任意一點(diǎn)，連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,連接AE,BP,CE.(1)求證：APEAABC;(2)當(dāng)線段BP與CE相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為M,求配的值以及/BMC的度數(shù)；CE(3)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,AP=1,當(dāng)點(diǎn)P,C,E在同一直線上時(shí)，求線段BP的長(zhǎng).備用圖5 .在ABC中，CA=CB,/ACB=a(0°VaV180°).點(diǎn)P是平面內(nèi)不與A,C重合的任意一點(diǎn)，連接AP,將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段DP,連接AD,CP.點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AD的中點(diǎn).(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,當(dāng)a=60°時(shí)，嶇的值

5、是，直線MN與直線PC相交所成的較小角的度PC數(shù)是.(2)類比探究如圖2,當(dāng)a=120°時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出的幽值及直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù)，PC并就圖2的情形說(shuō)明理由.(3)解決問(wèn)題如圖3,當(dāng)a=90°時(shí)，若點(diǎn)E是CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線ME上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B,P,6 .在4ABC中，ZABC=120°,線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD,連接BD.(1)如圖1,若AB=BC,求證：BD平分/ABC;(2)如圖2,若AB=2BC,求以L的值；雨連接AD,當(dāng)SaABC=Y3時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形ABCD的面積為2【中考?jí)狠S題專題突破18】相似與旋

6、轉(zhuǎn)參考答案與試題解析(1)證明：如圖1中，作DM±AB于M,DN，AC于N.ABC是等邊三角形，/A=60, ./AMD=/AND=90°, ./MDN=ZEDF=120°, ./EDM=ZFDN,./DME=/DNF=90°,DE=DF,DMEADNF(AAS), DM=DN,./DBM=/C=60°,/DNC=90°,DMBADNC(AAS),DB=DC, 點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).(2)證明：如圖2中，連接AD,作DM±AB于M,DNAC于N.圖2 DMBADNC,.CN=BM, DMEADNF,EM=FN,BE+CF=BE+

7、CN+FN=BE+BM+EM=2EM=2FN, ./DFN=45°,/DNF=90°,DN=FN, BD=CD,AB=AC,/BAC=60°,./DAN=A/BAC=30°,2AD=2DN=2FN=BE+CF.作ANXBC于N.(3)解：如圖3中，連接AF,AD,延長(zhǎng)CB至UM,使得BM=2. ./ABC=/MBE=60°,BM=BE,.BEM是等邊三角形，.M=/ACD=60°,EM=BE=CD,DM=BC=AC,MDEACAD(SAS),DE=DA=DF, ./DAE=ZDEA,/DAF=ZDFA, ./EDF=120°

8、,.2ZDAE+2ZDAF=240°,./DAE+ZDAF=120°,./BAC=60°,./FAC=ZACB=60°,AF/BC,根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)CFAF時(shí)，CF的值最小,AN±BC,CFXBC, .AN=CF,BN=CN,.DA=DF,ZAND=ZFCD=90°, RtAANDAFCD(HL),DN=DC,BD=3CD,BD.=3.CD解：(1)依題意補(bǔ)全圖1;BEXCD,/CEB=90°,a=60,CBE=30°,在RtABC中，AC=BC,.ac=2!a2B,./FCA=90°/ACE,/E

9、CB=90°一/ACE,./FCA=ZECB=a.在ACF和BCE中,AC=BC,/FCA=/ECB,FC=EC,ACFABCE(SAS),./AFC=/BEC=90°,/CAF=/CBE=30.-.cf=-1ac,由旋轉(zhuǎn)知，CF=CE,/ECF=90°,EF=.'：CF=.AC=AB,故答案為30,-1;(2) EF=ABcosa.證明： ./FCA=90°-/ACE,/ECB=90°-/ACE,./FCA=ZECB=a.同(1)的方法知，ACFABCE, ./AFC=ZBEC=90°,在RtAAFC中,cos/FCA= .

10、/ACB=90°,AC=BC,./CAB=ZCBA=45°. ./ECF=90°,CE=CF,./CFE=ZCEF=45°.在FCE和ACB中，ZFCE=ZACB=90°,/CFE=ZCAB=45°,.FCEAACB,KFFC'AB"ACcos/FCA=cosa,即EF=ABcosa.3. (1)證明：二.四邊形ABCD是正方形，BC=CD,/0=90°, ./CBD=ZCDB=45°由旋轉(zhuǎn)可知，OB=OB', ./OB'B=ZOBB'=45°, /B'O

11、C是ABOB'的一個(gè)外角， ./B'OC=/OB'B+/OBB'=45°+45°=90°, 四邊形A'B'CD'是正方形， ./OB'M=90°,，四邊形OB'MC是矩形；(2)解：D'D=2C'O,理由如下：如圖2，連接OD,OD',過(guò)點(diǎn)O作OED'D于點(diǎn)E,則/OED'=90°,由旋轉(zhuǎn)可知，OD=OD',則D'D=2D'E, 四邊形A'B'CD'是正方形， C'=/OED&#

12、39;=90°, 四邊形OC'D'E是矩形， ,.C'O=D'E, ,.D'D=2C'O; 3)解：A、如圖2，連接AA',BB',OA,OA', 將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形A'B'C'D', .OB=OB',OA=OA',/BOB'=ZAOA',OA0AJ' .OBB's'OAA',.穌國(guó)BB'OB' .AB=BC,OB=2OC, ,設(shè)OC=x,則OB=2x,.-.AB=BC=3x,O

13、A=Jab2+（3工）2十（22=后孔 AA，|=0A=VT?h=a/L3.BBOB2k2'B、如圖3,連接OA,OA',將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到正方形A'B'C'D', .OB=OB',OA=OA',/BOB'=ZAOA./OBB'=ZOAA',.點(diǎn)A,B,O,P四點(diǎn)共圓， ./ABO+ZAPO=180°, ./APO=90°, .OQ±BB，,./BQO=/APO=90°,OAPAOBQ, OP3=舊,'.=-. QOB24.解：（1）.AC是

14、正方形ABCD的對(duì)角線，/ABC=90°,ZBAC=ZBCA=45°,由旋轉(zhuǎn)知，PA=PE,/APE=90°=/ABC,.ZPAE=ZPEA=45°=ZBAC,.APEsABC;（2）在RtAABC中，AB=CB,.AC=2AB,由（1）知，APEAABC,-M_AP AC缸./BAC=ZPAE=45°,./PAB=ZEAC,.PABAEAC,里迪=4=返，CEACV2AB2PABAEAC, ABP=/ACE,ACB+ZABC=/BCE+/CBM=/BCE+/ABP+/ABC=/BCE+/ACE+/ABC=/45°+90°=

15、135°,./BMC=180°(/BCE+/CBM)=45(3)如圖，在RtABC中，AB=BC=3,AC=3日點(diǎn)P,C,E在同一條線上，且/APE=90°,-CP=，.CE=CP-PE=Vi7-1或CE'=CP'+P'E=V17+1,由(2)知，旦E=返，CE2.BP=CE="或bp'=CE'3Y22222即：BP的長(zhǎng)為叵亞或叵也225.月A/B解：（1）如圖1中，連接PC,BD,延長(zhǎng)BD交PC于K,交AC于G.2 圖1,.CA=CB,/ACB=60°,ABC是等邊三角形，.ZCAB=ZPAD=60&#

16、176;,AC=AB,./FAC=ZDAB,AP=AD,PACADAB(SAS),3 PC=BD,/ACP=ZABD,AN=ND,AM=BM,BD=2MN, PC2./CGK=ZBGA,/GCK=ZGBA,./CKG=ZBAG=60°,BK與PC的較小的夾角為60°,MN/BK,MN與PC較小的夾角為60°.故答案為一,60°.2(2)如圖設(shè)MN交AC于F,延長(zhǎng)MN交PC于E. ,.CA=CB,PA=PD,ZAPD=ZACB=120°,.PADACAB,.AP_AC, ACABAM=MB,AN=ND,ACAM'幽W通PCAC2ACPAA

17、MN,./ACP=ZAMN,./CFE=ZAFM,./FEC=ZFAM=30°PC=V2a,ME是ABC的中位線，/ACB=90°,.ME是線段BC的中垂線， PB=PC=V2a,MN是ADB的中位線，DB=2MN=2a,如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，PD=DB-PB=(2-2)a,a,如圖32中，PD=DB+PB=(2+&)=2+6.=2-MNPDMN6.(1)證明：連接AD,由題意知，/ACD=60°,CA=CD,.ACD是等邊三角形，.CD=AD,又AB=CB,BD=BD,ABDACBD(SSS,./CBD=ZABD,BD平分/ABC;(2)解：連接AD,作等邊三角形ACD的外接圓OO, ./ADC=60°,/ABC=120°, ./ADC+ZABC=180°,.點(diǎn)B在。O上， AD=CD,.加司 ./CBD=ZCAD=60°,在BD上截取BM,使BM=BC,則4BCM為等邊三角形， ./CMB=60°,./CMD=120°=ZCBA,又.CB=CM,/BAC=/BDC,CBAACMD(AAS),MD=AB,設(shè)BC=BM=1,貝UAB=MD=2,BD=3,過(guò)點(diǎn)C作CNXBD