【中考數(shù)學壓軸題專題突破18】相似與旋轉

1、【中考壓軸題專題突破18】相似與旋轉已知ABC是等邊三角形，點D在BC邊上，點E在AB的延長線上，將DE繞D點順時針旋轉120°得到DF.(1)如圖1,若點F恰好落在AC邊上，求證：點D是BC的中點；(2)如圖2,在(1)的條件下，若/DFC=45°,連接AD,求證：BE+CF=AD;(3)如圖3,若BE=CD,連CF,當CF取最小值時，直接寫出旦L的值.CD2 .如圖，RtAABC中，/ACB=90°,AC=BC,D是線段AB上一點(0vADvAB).過點B作BELCD,垂足為E.將線段CE繞點C逆時針旋轉90°,得到線段CF,連接AF,EF.設/BC

2、E的度數(shù)為a.(1)依題意補全圖形.若a=60°,則/CAF=(2)用含a的式子表示EF與AB之間的數(shù)量關系，并證明.3 .綜合與實踐-探究正方形旋轉中的數(shù)學問題問題情境：已知正方形ABCD中，點O在BC邊上，且OB=2OC.將正方形ABCD繞點O順時針旋轉得到正方形A'B'C'D'（點A',B',C',D'分別是點A,B,C,D的對應點）.同學們通過小組合作，提出下列數(shù)學問題，請你解答.特例分析：（1）“樂思”小組提出問題：如圖1,當點B'落在正方形ABCD的對角線BD上時，設線段A'B'與CD

3、交于點M.求證：四邊形OB'MC是矩形；（2） “善學”小組提出問題：如圖2,當線段A'D'經(jīng)過點D時，猜想線段C'O與D'D滿足的數(shù)量關系，并說明理由；深入探究：（3）請從下面A,B兩題中任選一題作答.我選擇題.A.在圖2中連接AA'和BB',請直接寫出%的值.B.“好問”小組提出問題：如圖3,在正方形ABCD繞點O順時針旋轉的過程中，設直線BB'交線段AA'于點P.連接OP,并過點O作OQLBB'于點Q.請在圖3中補全圖形，并直接寫出史的值.0Q圖1網(wǎng)2圖34 .如圖，已知AC為正方形ABCD的對角線，點P是平

4、面內不與點A,B重合的任意一點，連接AP,將線段AP繞點P順時針旋轉90°得到線段PE,連接AE,BP,CE.(1)求證：APEAABC;(2)當線段BP與CE相交時，設交點為M,求配的值以及/BMC的度數(shù)；CE(3)若正方形ABCD的邊長為3,AP=1,當點P,C,E在同一直線上時，求線段BP的長.備用圖5 .在ABC中，CA=CB,/ACB=a(0°VaV180°).點P是平面內不與A,C重合的任意一點，連接AP,將線段AP繞點P逆時針旋轉a得到線段DP,連接AD,CP.點M是AB的中點，點N是AD的中點.(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,當a=60°時，嶇的值

5、是，直線MN與直線PC相交所成的較小角的度PC數(shù)是.(2)類比探究如圖2,當a=120°時，請寫出的幽值及直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數(shù)，PC并就圖2的情形說明理由.(3)解決問題如圖3,當a=90°時，若點E是CB的中點，點P在直線ME上，請直接寫出點B,P,6 .在4ABC中，ZABC=120°,線段AC繞點C順時針旋轉60°得到線段CD,連接BD.(1)如圖1,若AB=BC,求證：BD平分/ABC;(2)如圖2,若AB=2BC,求以L的值；雨連接AD,當SaABC=Y3時，直接寫出四邊形ABCD的面積為2【中考壓軸題專題突破18】相似與旋

6、轉參考答案與試題解析(1)證明：如圖1中，作DM±AB于M,DN，AC于N.ABC是等邊三角形，/A=60, ./AMD=/AND=90°, ./MDN=ZEDF=120°, ./EDM=ZFDN,./DME=/DNF=90°,DE=DF,DMEADNF(AAS), DM=DN,./DBM=/C=60°,/DNC=90°,DMBADNC(AAS),DB=DC, 點D是BC的中點.(2)證明：如圖2中，連接AD,作DM±AB于M,DNAC于N.圖2 DMBADNC,.CN=BM, DMEADNF,EM=FN,BE+CF=BE+

7、CN+FN=BE+BM+EM=2EM=2FN, ./DFN=45°,/DNF=90°,DN=FN, BD=CD,AB=AC,/BAC=60°,./DAN=A/BAC=30°,2AD=2DN=2FN=BE+CF.作ANXBC于N.(3)解：如圖3中，連接AF,AD,延長CB至UM,使得BM=2. ./ABC=/MBE=60°,BM=BE,.BEM是等邊三角形，.M=/ACD=60°,EM=BE=CD,DM=BC=AC,MDEACAD(SAS),DE=DA=DF, ./DAE=ZDEA,/DAF=ZDFA, ./EDF=120°

8、,.2ZDAE+2ZDAF=240°,./DAE+ZDAF=120°,./BAC=60°,./FAC=ZACB=60°,AF/BC,根據(jù)垂線段最短可知，當CFAF時，CF的值最小,AN±BC,CFXBC, .AN=CF,BN=CN,.DA=DF,ZAND=ZFCD=90°, RtAANDAFCD(HL),DN=DC,BD=3CD,BD.=3.CD解：(1)依題意補全圖1;BEXCD,/CEB=90°,a=60,CBE=30°,在RtABC中，AC=BC,.ac=2!a2B,./FCA=90°/ACE,/E

9、CB=90°一/ACE,./FCA=ZECB=a.在ACF和BCE中,AC=BC,/FCA=/ECB,FC=EC,ACFABCE(SAS),./AFC=/BEC=90°,/CAF=/CBE=30.-.cf=-1ac,由旋轉知，CF=CE,/ECF=90°,EF=.'：CF=.AC=AB,故答案為30,-1;(2) EF=ABcosa.證明： ./FCA=90°-/ACE,/ECB=90°-/ACE,./FCA=ZECB=a.同(1)的方法知，ACFABCE, ./AFC=ZBEC=90°,在RtAAFC中,cos/FCA= .

10、/ACB=90°,AC=BC,./CAB=ZCBA=45°. ./ECF=90°,CE=CF,./CFE=ZCEF=45°.在FCE和ACB中，ZFCE=ZACB=90°,/CFE=ZCAB=45°,.FCEAACB,KFFC'AB"ACcos/FCA=cosa,即EF=ABcosa.3. (1)證明：二.四邊形ABCD是正方形，BC=CD,/0=90°, ./CBD=ZCDB=45°由旋轉可知，OB=OB', ./OB'B=ZOBB'=45°, /B'O

11、C是ABOB'的一個外角， ./B'OC=/OB'B+/OBB'=45°+45°=90°, 四邊形A'B'CD'是正方形， ./OB'M=90°,，四邊形OB'MC是矩形；(2)解：D'D=2C'O,理由如下：如圖2，連接OD,OD',過點O作OED'D于點E,則/OED'=90°,由旋轉可知，OD=OD',則D'D=2D'E, 四邊形A'B'CD'是正方形， C'=/OED&#

12、39;=90°, 四邊形OC'D'E是矩形， ,.C'O=D'E, ,.D'D=2C'O; 3)解：A、如圖2，連接AA',BB',OA,OA', 將正方形ABCD繞點O順時針旋轉得到正方形A'B'C'D', .OB=OB',OA=OA',/BOB'=ZAOA',OA0AJ' .OBB's'OAA',.穌國BB'OB' .AB=BC,OB=2OC, ,設OC=x,則OB=2x,.-.AB=BC=3x,O

13、A=Jab2+（3工）2十（22=后孔 AA，|=0A=VT?h=a/L3.BBOB2k2'B、如圖3,連接OA,OA',將正方形ABCD繞點O順時針旋轉得到正方形A'B'C'D', .OB=OB',OA=OA',/BOB'=ZAOA./OBB'=ZOAA',.點A,B,O,P四點共圓， ./ABO+ZAPO=180°, ./APO=90°, .OQ±BB，,./BQO=/APO=90°,OAPAOBQ, OP3=舊,'.=-. QOB24.解：（1）.AC是

14、正方形ABCD的對角線，/ABC=90°,ZBAC=ZBCA=45°,由旋轉知，PA=PE,/APE=90°=/ABC,.ZPAE=ZPEA=45°=ZBAC,.APEsABC;（2）在RtAABC中，AB=CB,.AC=2AB,由（1）知，APEAABC,-M_AP AC缸./BAC=ZPAE=45°,./PAB=ZEAC,.PABAEAC,里迪=4=返，CEACV2AB2PABAEAC, ABP=/ACE,ACB+ZABC=/BCE+/CBM=/BCE+/ABP+/ABC=/BCE+/ACE+/ABC=/45°+90°=

15、135°,./BMC=180°(/BCE+/CBM)=45(3)如圖，在RtABC中，AB=BC=3,AC=3日點P,C,E在同一條線上，且/APE=90°,-CP=，.CE=CP-PE=Vi7-1或CE'=CP'+P'E=V17+1,由(2)知，旦E=返，CE2.BP=CE="或bp'=CE'3Y22222即：BP的長為叵亞或叵也225.月A/B解：（1）如圖1中，連接PC,BD,延長BD交PC于K,交AC于G.2 圖1,.CA=CB,/ACB=60°,ABC是等邊三角形，.ZCAB=ZPAD=60&#

16、176;,AC=AB,./FAC=ZDAB,AP=AD,PACADAB(SAS),3 PC=BD,/ACP=ZABD,AN=ND,AM=BM,BD=2MN, PC2./CGK=ZBGA,/GCK=ZGBA,./CKG=ZBAG=60°,BK與PC的較小的夾角為60°,MN/BK,MN與PC較小的夾角為60°.故答案為一,60°.2(2)如圖設MN交AC于F,延長MN交PC于E. ,.CA=CB,PA=PD,ZAPD=ZACB=120°,.PADACAB,.AP_AC, ACABAM=MB,AN=ND,ACAM'幽W通PCAC2ACPAA

17、MN,./ACP=ZAMN,./CFE=ZAFM,./FEC=ZFAM=30°PC=V2a,ME是ABC的中位線，/ACB=90°,.ME是線段BC的中垂線， PB=PC=V2a,MN是ADB的中位線，DB=2MN=2a,如圖3-1中，當點P在線段BD上時，PD=DB-PB=(2-2)a,a,如圖32中，PD=DB+PB=(2+&)=2+6.=2-MNPDMN6.(1)證明：連接AD,由題意知，/ACD=60°,CA=CD,.ACD是等邊三角形，.CD=AD,又AB=CB,BD=BD,ABDACBD(SSS,./CBD=ZABD,BD平分/ABC;(2)解：連接AD,作等邊三角形ACD的外接圓OO, ./ADC=60°,/ABC=120°, ./ADC+ZABC=180°,.點B在。O上， AD=CD,.加司 ./CBD=ZCAD=60°,在BD上截取BM,使BM=BC,則4BCM為等邊三角形， ./CMB=60°,./CMD=120°=ZCBA,又.CB=CM,/BAC=/BDC,CBAACMD(AAS),MD=AB,設BC=BM=1,貝UAB=MD=2,BD=3,過點C作CNXBD