如果存在實數(shù)x

1、關(guān)于方程根的存在性及個數(shù)的討論劉燦, 數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院摘 要：討論方程根的存在性及個數(shù)在數(shù)學(xué)分析和泛函分析中比較常見,也是比較難解決的問題.本文就連續(xù)函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)零點問題進(jìn)行討論,在討論方程根的存在性時,本文將介值定理進(jìn)行推廣并得到有用的結(jié)果,并且給出了利用積分中值定理,羅爾中值定理或者費馬定理等定理間接解決方程根的存在性的方法；在討論導(dǎo)函數(shù)零點時,本文給出構(gòu)造輔助函數(shù)的許多方法.這對解決導(dǎo)函數(shù)零點問題提供了許多方便,最后推廣到度量空間,得到微分方程、積分方程和線性方程根的存在性的一些證明方法,即通常把所求的解歸結(jié)為度量空間中映射的不動點,然后應(yīng)用壓縮映射定理來統(tǒng)一處理.關(guān)鍵詞：方程；存在性

2、；度量空間；不動點；壓縮映射定理The discussion on the existence and the numbers of the root of equation Liu Can, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract: The discussion on the existence and the numbers of the root of equation in mathematical analysis and functional analysis is common and hard to be solv

3、ed. In this paper, zeros of the continuous function and the derived function are discussed concretely. When the root of equation exists, the zero point theorems are extended and some useful results are obtained. And the methods which resolve the existence of the equation root indirectly are given by

4、 the mean value theorem of integrals and Rolle mean value theorem and Fermat theorem; when the zero point of the derived function is concerned, many methods by which the assistant function is structured are presented. It provides more conveniences for the settlement of the zero point of derived func

5、tion. At last, a few existence of the root of equation extending to metric space, getting proof method of differential equation, integral equation and linear equation, we usually resort the solution of equation to the fixed point of mapping in metric space. The contraction mapping principle can be u

6、sed to solve many problems.Key words: Equation; Existence; Metric space; Fixed point; The theorem of contraction mapping 1 引言關(guān)于方程的根在高數(shù)中我們也稱為函數(shù)的零點.在函數(shù)零點的存在性上,大家做的非常多,關(guān)于函數(shù)零點存在性證明的定理也較多,但都是從某一方面進(jìn)行討論,沒有系統(tǒng)總結(jié)過.在函數(shù)零點的個數(shù)方面,由于函數(shù)類型不同,討論也不盡相同,所以在這方面做的還不是很多.在多元方程方面涉及的更少了,但現(xiàn)實生活面對的問題更多是多元方程根的求解.首先我們先考慮一元方程根的存在性及個

7、數(shù),若是連續(xù)函數(shù),我們有連續(xù)函數(shù)的介值定理,介值定理是一大類方程根的存在性的理論根據(jù).有時使用連續(xù)函數(shù)的介值定理(零點定理)就可以直接求得結(jié)果,但在難以認(rèn)定正值點與負(fù)值點的存在性時,就需要改用其它方法間接求得,比如用積分中值定理,羅爾中值定理或者費馬定理等方法去求.依據(jù)異號函數(shù)值或駐點,劃分區(qū)間討論根的存在性及唯一性,是確定方程根的數(shù)量的基本方法之一. 在前人的基礎(chǔ)上將這一部分進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié).然后利用壓縮映射定理在局部范圍內(nèi)向度量空間進(jìn)行推廣.2 為連續(xù)函數(shù)方程根的存在性及其個數(shù) 在區(qū)間上連續(xù),討論方程根的存在性及其個數(shù).2.1 存在性(1) 定性考慮取,若 且, 則由的連續(xù)性及介值定理可以確定

8、存在,使,即方程有實根.(2) 定量考慮若能確定,使,則由的連續(xù)性及介值定理可以確定存在,使,即方程有實根.若函數(shù)值異號條件隱蔽時,確定,使是比較困難的,這時根據(jù)題設(shè)條件一般有如下方法去確定 (). 如果曲線凹凸性已確定（符號）,可以過定點作曲線的一條切線,得到切線與軸的交點,若曲線向上凹,則；若曲線向上凸,則. 將在定點展成泰勒公式,根據(jù)題設(shè)條件可以得到有關(guān)的不等式,借助此不等式可以確定,使或. 根據(jù)題設(shè)條件有時考慮的最大、最小值,往往也能確定,使或.2.2 唯一性 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性或者反證法均可奏效.2.3 根的個數(shù) 根據(jù)異號函數(shù)值或駐點,劃分區(qū)間討論方程根的存在性及唯一性是確定方程根個數(shù)

9、的基本方法之一.下面由例題具體討論方程根的存在性及個數(shù).例1 在上二階可微,則在內(nèi)只有一個實根.證明 已知,再尋求使,為此有兩種處理方法：(1)過定點作曲線的切線：,則切線與軸交點,由（向上凸）顯然有.(2)將在依一階泰勒展開且依題設(shè)條件有：得到即有,在連續(xù)及,由介值定理存在,使,即在內(nèi)有實根.唯一性：(1) 在上便有在單調(diào)遞減,因而當(dāng)便有,于是方程在單調(diào)遞減,故在上有唯一實根即只有一個實根.(2) 唯一性證明也可用反證法：若存在使,則由羅爾定理,存在使,這與是矛盾的.因而只有一點,使.證畢.注：例1在方程根的存在性的證明中是采取了定量的證明方法,也可采用定性的方法證明,即研究函數(shù)的漸近性態(tài),

10、具體如下：由拉格朗日中值定理,對任意有,于是就有,即肯定存在一點,使,又,由連續(xù)性,方程的根顯然存在.例2 設(shè)則在內(nèi)有且僅有兩個零點.我們給出本題的思路：該題是討論函數(shù)的零點個數(shù),因而將區(qū)間分成單調(diào)區(qū)間,然后在每個區(qū)間討論零點的存在性和唯一性證明 由題設(shè)于是,即（是駐點）,顯然在上,即在單調(diào)增加；在上,即在上單調(diào)減少. , （1） , （2）. （3）由(1),(2)式及函數(shù)單調(diào)性,在上僅有一個零點；由式(1),(3)及函數(shù)單調(diào)性,在也僅有一個零點,即在內(nèi)有且僅有兩個零點.證畢.3 當(dāng)為導(dǎo)函數(shù)方程=0根的存在性及個數(shù)將方程=0中的視為某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后運用羅爾定理討論有時很方便的,當(dāng)顯含導(dǎo)數(shù)

11、信息時,更應(yīng)如此,這里某函數(shù)為輔助函數(shù),下面給出構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.3.1 積分法（又稱找原函數(shù)方法）例3 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在,使證明 即證方程在內(nèi)有實根構(gòu)造輔助函數(shù)（用積分法）：,(令)顯然,（當(dāng)然輔助函數(shù)也可設(shè)）,顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理,使.證畢.例3中輔助函數(shù)的構(gòu)造是通過積分找到的,因而稱“找原函數(shù)法”,其一般步驟為：(1) 先將要證明的結(jié)果轉(zhuǎn)化為某個方程根的存在性；(2) 將(1)中方程積分,找出原函數(shù)（即輔助函數(shù)）.例4 設(shè)在上連續(xù),則存在使.略證 設(shè),顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,再用羅爾定理即可證明.注：在許多等式問題的證明上,很多都可以歸結(jié)到函數(shù)的零點問

12、題,因而再據(jù)零點問題的討論便有結(jié)果.3.2 指數(shù)因子法直接積分不能很快的找出輔助函數(shù),比如討論方程根的存在性,輔助函數(shù)是不能用積分方法得到的.下面選用例題介紹用指數(shù)因子法構(gòu)造輔助函數(shù).例5 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),.證明:(1) 對,使；(2) 使.證明 (1) 設(shè),顯然,且,由羅爾定理,對都有,即.(2) 設(shè),顯然且,由羅爾定理,使 , 證畢.注：通過例5,我們要對形式函數(shù)多一些關(guān)注,記住它在構(gòu)造輔助函數(shù)時的作用,這里我們主要用到這類函數(shù)兩點性質(zhì)：(1) ；(2) 求導(dǎo)之后仍有因子.例6 設(shè)在上連續(xù),在可導(dǎo),且滿足,證明使得.證明 設(shè)即,再設(shè)輔助函數(shù),顯然且,再由羅爾定理即得.證畢.3.3 常

13、數(shù)值法如果導(dǎo)函數(shù)零點問題中含相對常數(shù)的邊界點（如等）或的邊界函數(shù)值（如等）,則可將它們都移到等式一端,并記常數(shù),然后以端點函數(shù)值相等為突破口研究上述等式,則往往可得有效的輔助函數(shù).例7 設(shè),證明：存在,使.證明 由得到,設(shè),則有下面對稱式：,因此設(shè)輔助函數(shù) ,則且,由羅爾定理,使即.證畢.注：在應(yīng)用“常數(shù)值法”中,對稱式是關(guān)鍵,它決定某個函數(shù)在某兩點函數(shù)值相等,因而借助該對稱式構(gòu)造出輔助函數(shù).4 度量空間上微分方程和積分方程根的存在性及個數(shù)在微分方程和積分方程的理論中,根的存在性、唯一性是很重要的問題,有了度量空間就可以把解方程轉(zhuǎn)化為度量空間中求某一映射的不動點.壓縮映射原理可統(tǒng)一處理許多方程

14、根的存在性和唯一性問題.定義11 設(shè)是度量空間,是到中的映射,如果存在一個數(shù),使得對所有的,成立 , （4）則稱是壓縮映射.定理11 (壓縮映射定理) 設(shè)是度量空間,是上的壓縮映射,那么有且只有一個不動點(就是說,方程,有且只有一個解)4.1 壓縮映射原理在微分方程上的應(yīng)用例8 設(shè)有微分方程 , (5)其中在全平面上連續(xù),此外還設(shè)關(guān)于 y滿足條件: ,則通過點,微分方程(5)有一條且只有一條積分曲線.證明 問題(5)等價于求解下述積分方程, (6)取,使,用表示在區(qū)間上連續(xù)函數(shù)組成的空間,在其上定義映射為,則因為,故由壓縮映射原理知,存在惟一的連續(xù)函數(shù),滿足(6)式.由(6)式可以看出,是連續(xù)

15、可微的,于是便是(6)的惟一解.證畢.注意這里所得到的解只定義在區(qū)間上,重復(fù)應(yīng)用上述步驟,就可以把解延拓到全數(shù)軸上.例9 設(shè)在上連續(xù),且處處存在,同時存在常數(shù),使,則對于在上有唯一的連續(xù)解.證明 在完備空間上作映射,則也是上的連續(xù)函數(shù),所以是上的映射,又對任意,有其中,而,令,有,或.由于是上的壓縮映射,由不動點定理知,必有唯一的使,即.證畢.4.2 壓縮映射原理在積分方程上的應(yīng)用例10 積分方程解的存在性和惟一性.設(shè)在上連續(xù),是常數(shù),則積分方程,在上存在惟一的連續(xù)函數(shù)解.證明 映射.由下式確定,.以下證是壓縮映射.任取,其中.應(yīng)用歸納法可證得,.因為,故當(dāng)足夠大時,可使,因此滿足壓縮映射定理

16、的條件,所以在中有惟一的不動點,即積分方程在上存在惟一的連續(xù)解.證畢.4.3 壓縮映射原理在線性方程上的應(yīng)用例11 設(shè)有線性方程組.試證明此方程組有惟一解.證明 設(shè)，,且定義度量,則是完備的.由于所以是壓縮映射,由壓縮映射定理,存在惟一不動點,使得.證畢.結(jié)論在數(shù)學(xué)分析和泛函分析中我們會經(jīng)常遇到討論方程根的存在性及個數(shù)的問題,這在高等教學(xué)和考研也是比較難解決的問題.在討論方程根的存在性時,本文將介值定理進(jìn)行推廣并得到有用的結(jié)果；在討論導(dǎo)函數(shù)零點時,本文給出構(gòu)造輔助函數(shù)的許多方法.這對解決導(dǎo)函數(shù)零點問題提供了許多方便.最后推廣到度量空間,得到微分方程、積分方程和線性方程根的存在性的一些證明方法.

17、參考文獻(xiàn)：1 程其襄,張奠宙等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第二版）M.高等教育出版社,2003.2 張運章.壓縮映射原理及其應(yīng)用J.孝感學(xué)院學(xué)報,2005,25（6）：45-49.3 周麗馥,劉自新.函數(shù)零點問題J.大連大學(xué)學(xué)報,2003,24（4）：1-5.4 孫禮信,姜海洋.壓縮映射原理及其在數(shù)學(xué)分析中的作用J.白城師范學(xué)院學(xué)報,2004,18（4）：24-25.5 姜文英.壓縮映象原理的應(yīng)用J.衡水師專學(xué)報,2004,6（2）：8-9.6 何艷玲,戴立輝.任意區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理J.宜春學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)）,2006,28 (2):39-40.7 宋述剛,鄒健.連續(xù)函數(shù)的零點J.青海師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2005,4.8 孟趙玲,李秀淳.用微積分理論解決函數(shù)零點問題的幾種方法J.北京印刷學(xué)院學(xué)報,2003,11(1):45-46.9 李英.微積分中討論方程實數(shù)根的幾種方法J.內(nèi)蒙古財經(jīng)學(xué)院學(xué)報,2004,2(3):79-80.10 孫鋼鋼. 逐次逼近討論方程的根J.皖西學(xué)院學(xué)報,2005,21(5):8-9.11 Cao Jian-sheng, Robert Gardner, Lin Ai-guo, Huang Bing-jia. Some Results on the Location of Zeros of Analytic Funct