大學課程設計直線一級倒立擺控制系統(tǒng)設計

1、摘 要倒立擺系統(tǒng)是一個典型的快速、多變量、非線性、不穩(wěn)定系統(tǒng)，對倒立擺的控制研究無論在理論上和方法上都有深遠的意義。本論文以實驗室原有的直線一級倒立擺實驗裝置為平臺，重點研究其PID控制方法，設計出相應的PID控制器，并將控制過程在MATLAB上加以仿真。本文主要研究內(nèi)容是：首先概述自動控制的發(fā)展和倒立擺系統(tǒng)研究的現(xiàn)狀；介紹倒立擺系統(tǒng)硬件組成，對單級倒立擺模型進行建模，并分析其穩(wěn)定性；研究倒立擺系統(tǒng)的幾種控制策略，分別設計了相應的控制器，以MATLAB為基礎，做了大量的仿真研究，比較了各種控制方法的效果；借助固高科技MATLAB實時控制軟件實驗平臺；利用設計的控制方法對單級倒立擺系統(tǒng)進行實時控

2、制，通過在線調(diào)整參數(shù)和突加干擾等，研究其實時性和抗千擾等性能；對本論文進行總結(jié)，對下一步研究作一些展望。關鍵詞：一級倒立擺，PID，MATLAB仿真目 錄第1章 MATLAB仿真軟件的應用91.1 MATLAB的基本介紹91.2 MATLAB的仿真91.3 控制系統(tǒng)的動態(tài)仿真101.4 小結(jié)12第2章 直線一級倒立擺系統(tǒng)及其數(shù)學模型132.1 系統(tǒng)組成132.1.1 倒立擺的組成142.1.2 電控箱142.1.3 其它部件圖142.1.4 倒立擺特性152.2 模型的建立152.2.1 微分方程的推導162.2.2 傳遞函數(shù)172.2.3 狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)方程182.2.4 實際系統(tǒng)模型202.

3、2.5 采用MATLAB語句形式進行仿真21第3章 直線一級倒立擺的PID控制器設計與調(diào)節(jié)343.1 PID控制器的設計343.2 PID控制器設計MATLAB仿真36結(jié) 論41致 謝42參考文獻43第1章 MATLAB仿真軟件的應用1.1 MATLAB的基本介紹MTALAB系統(tǒng)由五個主要部分組成，下面分別加以介紹。 (1)MATALB語言體系：MATLAB是高層次的矩陣數(shù)組語言具有條件控制、函數(shù)調(diào)用、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入輸出、面向?qū)ο蟮瘸绦蛘Z言特性。利用它既可以進行小規(guī)模編程，完成算法設計和算法實驗的基本任務，也可以進行大規(guī)模編程，開發(fā)復雜的應用程序。 (2)MATLAB工作環(huán)境：這是對MATLA

4、B提供給用戶使用的管理功能的總稱包括管理工作空間中的變量據(jù)輸入輸出的方式和方法，以及開發(fā)、調(diào)試、管理M文件的各種工具。 (3)圖形句相系統(tǒng)：這是MATLAB圖形系統(tǒng)的基礎，包括完成2D和3D數(shù)據(jù)圖示、圖像處理、動畫生成、圖形顯示等功能的高層MATLAB命令，也包括用戶對圖形圖像等對象進行特性控制的低層MATLAB命令，以及開發(fā)GUI應用程序的各種工具。 (4)MATLAB數(shù)學函數(shù)庫：這是對MATLAB使用的各種數(shù)學算法的總稱包括各種初等函數(shù)的算法，也包括矩陣運算、矩陣分析等高層次數(shù)學算法。 (5)MATLAB應用程序接口(API)：這是MATLAB為用戶提供的一個函數(shù)庫，使得用戶能夠在MATL

5、AB環(huán)境中使用c程序或FORTRAN程序，包括從MATLAB中調(diào)用于程序(動態(tài)鏈接)，讀寫MAT文件的功能。 可以看出MATLAB是一個功能十分強大的系統(tǒng)，是集數(shù)值計算、圖形管理、程序開發(fā)為一體的環(huán)境。除此之外，MA丁LAB還具有根強的功能擴展能力，與它的主系統(tǒng)一起，可以配備各種各樣的工具箱，以完成一些特定的任務。MATLAB有幾種在不同電腦作業(yè)系統(tǒng)的版本，例如在視窗3.1上的MATLAB for Windows, SIMULINK，在麥金塔上的MATLAB for Macintch，另外還有在Unix上的各種工作站版本?；旧线@些版本主要是提供方便的操作環(huán)境，采用圖形介面6。1.2 MATL

6、AB的仿真工具SIMULINKMATLAB的SIMULINK子庫是一個建模、分析各種物理和數(shù)學系統(tǒng)的軟件。由于在WINDOWS界面下工作,所以對控制系統(tǒng)的方塊圖編輯、繪制很方便。MATLAB命令窗口啟動SIMULINK程序后,出現(xiàn)的界面如下。分別為信號源、輸出、離散系統(tǒng)庫、線性系統(tǒng)庫、非線性系統(tǒng)庫、系統(tǒng)連接及擴展系統(tǒng)。下面分別介紹: （1）信號源程序提供了八種信號源,分別為階躍信號、正弦波信號、白噪聲、時鐘、常值信號、文件、信號發(fā)生器等可直接使用。而信號發(fā)生器(singal gein)可產(chǎn)生正弦波、方波、鋸齒波、隨機信號等。（2）信號輸出程序提供了三種輸出方式,可將仿真結(jié)果通過三種方式之一如仿

7、真窗口、文件等形式輸出。 （3）離散系統(tǒng)程序提供了五種標準模式,延遲、零-極點、濾波器、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間等。并且每種標準模式都可方便地改變參數(shù)以符合被仿真系統(tǒng)。 （4）線性系統(tǒng)程序提供了七種標準模式,加法器、比例、積分器、微分、傳遞函數(shù)、零-極點、狀態(tài)空間等。同離散系統(tǒng)一樣,每種標準模式都可方便地改變參數(shù)以符合被仿真系統(tǒng)。 （5）非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)庫提供了十三種常用標準模式,如絕對值、乘法、函數(shù)、回環(huán)特性、死區(qū)特性、斜率、繼電器特性、飽和特性、開關特性等。 （6）系統(tǒng)連接系統(tǒng)連接庫提供了四種模式,輸入、輸出、多路轉(zhuǎn)換等。 （7）系統(tǒng)擴展考慮到各種復雜系統(tǒng)的要求,另外提供了十二種類型的擴展系

8、統(tǒng)庫,每一種又有不同的選擇模式。1.3 控制系統(tǒng)的動態(tài)仿真由于SIMULINK提供了豐富的數(shù)學模型,且兼容于WINDOWS,所以用WINDOWS提供的簡單命令即形成各種復雜的系統(tǒng)模型。下面分別介紹。連續(xù)系統(tǒng)某一位置隨動系統(tǒng)的方塊圖如下所示圖1.1傳遞函數(shù)圖根據(jù)SIMULINK提供的方框圖,轉(zhuǎn)換為符合仿真要求的圖形:圖1.2傳遞函數(shù)方塊圖輸入仿真時間、仿真步長,選擇數(shù)值計算方法即得到系統(tǒng)的階躍響應。圖1.3K4系統(tǒng)階躍響應圖1.4 校正系統(tǒng)階躍響應如果系統(tǒng)的動態(tài)響應特性不好,可以調(diào)出擴展庫中的各種調(diào)節(jié)器,以改善系統(tǒng)的動態(tài)響應。比如引入典型的PID調(diào)節(jié)器,加入調(diào)節(jié)器后的系統(tǒng)響應如上圖所示。（2）非

9、線性系統(tǒng)某一帶有死區(qū)的隨動系統(tǒng)如下圖所示。死區(qū)范圍±0.5,從系統(tǒng)的階躍響應可以看出,由于系統(tǒng)的非線性,使得原來無差系統(tǒng)變?yōu)橛胁钕到y(tǒng),同樣可以引入各種調(diào)節(jié)器來校正系統(tǒng),改善系統(tǒng)的動態(tài)響應。圖1.5非線性系統(tǒng)方框圖（3）離散系統(tǒng)從離散系統(tǒng)庫調(diào)出離散模型,得到系統(tǒng)的方框圖和系統(tǒng)的階躍響應如圖所示。圖1.6離散系統(tǒng)圖圖1.7非線性系統(tǒng)階躍響應圖1.8 離散系統(tǒng)階躍響應1.4 小結(jié)MATLAB的SIMULINK對控制系統(tǒng)可以方便地進行仿真計算,分析控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及穩(wěn)態(tài)指標,同時仿真結(jié)果可以用圖形和數(shù)據(jù)文件輸出,數(shù)據(jù)文件可以在別的系統(tǒng)中應用。不僅對單變量,而且對多變量及狀態(tài)空間均可仿真計算

10、,確實是一種方便、有效的工具。限于篇幅,MATLAB的其它功能,如控制系統(tǒng)的頻域、時域分析另文介紹。第2章 直線一級倒立擺系統(tǒng)及其數(shù)學模型GIP 系列倒立擺系統(tǒng)是固高科技有限公司為全方位滿足各類電機拖動和自動控制課程的教學需要而研制、開發(fā)的實驗教學平臺。GIP 系列的主導產(chǎn)品由直線運動型、旋轉(zhuǎn)運動型和平面運動型三個子系列組成。直線運動倒立擺的基本模塊為直線運動控制模塊，該模塊由交流/直流伺服電機驅(qū)動滑動小車沿直線軸承滑動，完成定位控制和速度跟蹤的任務。在滑動小車上加裝一個單擺系統(tǒng)，構(gòu)成經(jīng)典的控制教學產(chǎn)品：單節(jié)倒立擺系統(tǒng)，可完成各類控制課程的教學實驗，讓學生具有一個可供實驗驗證的平臺。該系統(tǒng)可用

11、測試、研究和開發(fā)各類新的控制算法7。2.1 系統(tǒng)組成倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、電控箱及由運動控制卡和普通PC機組成的控制平臺等三大部分。系統(tǒng)組成框圖如圖 3.1。圖2.1 倒立擺系統(tǒng)框圖2.1.1 倒立擺的組成圖2.2 一級倒立擺的模型示意圖小車由電機通過同步帶驅(qū)動在滑桿上來回運動，保持擺桿平衡。電機編碼器和角編碼器向運動卡反饋小車和擺桿位置（線位移和角位移），如圖3.2 。2.1.2 電控箱電控箱內(nèi)安裝有如下主要部件： 交流伺服驅(qū)動器I/O 接口板開關電源 開關、指示燈等電氣元件 2.1.3 其它部件圖 2.3 電氣控制箱電機倒立擺使用的電機是由日本松下公司提供的小型小慣量電機（MSMA系列

12、，200W）。電機配有專門的驅(qū)動器。編碼器倒立擺系統(tǒng)使用的是光電編碼器，其工作原理是：利用一塊特制的光柵板作為位移檢測元件，光柵板上方格之間的距離為0.5mm左右。編碼器內(nèi)部有一個發(fā)光元件和兩個聚焦透鏡，發(fā)射光經(jīng)過透鏡聚焦后從底部的小孔向下射出，照在編碼器下面的光柵板上，再反射回編碼器器內(nèi)。當在光柵板上轉(zhuǎn)動編碼器時，由于光柵板上明暗相間的條紋反射光有強弱變化，編碼器內(nèi)部將強弱變化的反射光變成電脈沖，對電脈沖進行計數(shù)即可測出移動的距離?？刂瓶ǖ沽[還使用了由固高提供的控制卡，型號是GT-400-SV卡。SV卡的特點是輸出類型可以是模擬量或者是脈沖量，它還采用了PID濾波器，外加速度和加速度前饋。

13、通過調(diào)節(jié)，設置合適的參數(shù)，可提高控制系統(tǒng)的速度和精度。2.1.4 倒立擺特性雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性:非線性 倒立擺是一個典型的非線性復雜系統(tǒng)，實際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進行控制，也可以利用非線性控制理論對其進行控制，倒立擺的非線性控制正成為一個研究的熱點。不確定性 主要是模型誤差以及機械傳動間隙，各種阻力等，實際控制中一般通過減少各種誤差，如通過施加預緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。耦合性 倒立擺的各級擺桿之間，以及和運動模塊之間都有很強的耦合關系，倒立擺的控制中一般都在平衡點附近進行解耦計算，

14、忽略一些次要的耦合量。 開環(huán)不穩(wěn)定性 倒立擺的穩(wěn)定狀態(tài)只有兩個，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點，垂直向下為穩(wěn)定的平衡點。 約束限制由于機構(gòu)的限制，如運動模塊行程限制，電機力矩限制等。為制造方便和降低成本，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機功率都盡量要求最小，行程限制對于倒立擺的擺起尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。2.2 模型的建立系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應用數(shù)學手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關系。這里面包括輸入信號的設計選取，輸出信號的精確檢測，

15、數(shù)學算法的研究等等內(nèi)容。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關系。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。但是經(jīng)過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內(nèi)應用經(jīng)典力學理論建立系統(tǒng)的動力學方程。下面我們采用其中的牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。2.2.1 微分方程的推導在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖3.4所示 我們不妨做以下假設：M小車質(zhì)量、m擺桿質(zhì)量、b小車摩擦系數(shù)、l擺桿轉(zhuǎn)動

16、軸心到桿質(zhì)心的長度、I 擺桿慣、F加在小車上的力、x 小車位置、擺桿與垂直向上方向的夾角、擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）。圖3.5是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向： 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （2.1）由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： 即 ： （2.2）把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程： （2.3）為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向

17、上的合力進行分析，可以得到下面方程： 即： (2.4) 力矩平衡方程如下： （2.5)方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程： (2.6)設（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設與1（單位是弧度）相比很小，即1，則可以進行近似處理： 。用u 代表被控對象的輸入力F ，線性化后兩個運動方程如下： (2.7)3.2.2 傳遞函數(shù)對方程組(3.7)進行拉普拉斯變換，得到 (2.8)注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為0。由于輸出為角度，求解方程組(3.8)的第一個方程，可以得到： (2.9)把上式代入方程組(3.8)的第二個方程，得到： (2.10)

18、整理后得到傳遞函數(shù)： (2.11) 其中：3.2.3 狀態(tài)空間結(jié)構(gòu)方程系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為 (2.12)方程組（3.12）對解代數(shù)方程，得到解如下： (2.13)整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程： （2.14） （2.15）由公式(3.7)的第一個方程為： (2.16)對于質(zhì)量均勻分布的擺桿有： (2.17)于是可以得到： (2.18)化簡得到： (2.19)設，則有： (2.20)實際的系統(tǒng)模型如下：M 小車質(zhì)量 1.096 Kg m 擺桿質(zhì)量 0.109 Kg b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/sec l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.2 5m I 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m T 采樣

19、頻率 0.005秒 注意：在進行實際系統(tǒng)的MATLAB仿真時，我們將采樣頻率改為實際系統(tǒng)的采樣頻率。我們的在實際操作中自行檢查系統(tǒng)參數(shù)是否與實際系統(tǒng)相符，否則的改用實際參數(shù)進行實驗。 2.2.4 實際系統(tǒng)模型把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實際模型 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： (2.21)擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： (2.22)擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： (2.23)以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： (2.24)以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： （2.25）需要說明的是，在固高科技所有提供的控制器設計和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果、用

20、戶需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。2.2.5 采用MATLAB語句形式進行仿真仿真程序如圖2.6所示圖2.6 系統(tǒng)數(shù)學模型仿真程序可得仿真曲線和結(jié)果如圖2.7和2.8所示圖2.7系統(tǒng)數(shù)學模型仿真曲線圖2.8系統(tǒng)仿真系數(shù)第3章 直線一級倒立擺的PID控制器設計與調(diào)節(jié)3.1 PID控制器的設計首先，對于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度，它的平衡位置為垂直向上。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖如下： 圖3.1倒立擺系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖中KD（s）是控制器傳遞函數(shù)，G（s）是被控對象傳遞函數(shù)?？紤]到輸入r（S）=0，結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成：圖3.2 倒立擺系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)該系統(tǒng)的輸出為： (3.1

21、)其中，NUM被控對象傳遞函數(shù)的分子項 den被控對象傳遞函數(shù)的分母項 numpid PID控制器傳遞函數(shù)的分子項 denpid PID控制器傳遞函數(shù)的分母項 被控對象的傳遞函數(shù)是： (3.2)其中, PID控制器的傳遞函數(shù)為: (3.3)需仔細調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，以得到滿意的控制效果。 前面的討論只考慮了擺桿角度，那么，在我們施加控制的過程中，小車位置如何變化呢考慮小車位置，得到改進的系統(tǒng)框圖如下：圖3.3改進型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖其中，G是擺桿傳遞函數(shù)，G是小車傳遞函數(shù)。由于輸入信號，所以可以把結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成：圖3.4 改進型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖其中，反饋環(huán)代表我們前面設計的控制器。 小車位置輸出為：

22、(3.4)其中，分別代表被控對象1和被控對象2傳遞函數(shù)的分子和分母。和代表PID控制器傳遞函數(shù)的分子和分母。下面我們來求，根據(jù)前面的推導： (3.5)可以推出小車位置的傳遞函數(shù)為： (3.6)其中, 可以看出，小車的傳遞函數(shù)可以簡化成： (3.7)根據(jù)建模結(jié)果仔細計算并尋找合適的理論PID控制參數(shù)。進入matlab command窗口，鍵入pl1-pid.m，進行仿真實驗,仔細檢查系統(tǒng)硬件連接。通過調(diào)整參數(shù)可以控制擺桿豎直向上，此時可能需用手輕輕扶一下擺桿，以避免小車“撞墻”。 如果控制效果不理想，調(diào)整控制器參數(shù)，直到獲得較好的控制效果9。3.2 PID控制器設計MATLAB仿真仿真中倒立擺的

23、參數(shù)為：M 小車質(zhì)量 1.096 Kg 、m 擺桿質(zhì)量 0.109 Kg 、b 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/sec 、l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.2 5m 、I 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m 、T 采樣頻率 0.005秒。我們設計的技術要求：設計PID控制器，使得當在小車上施加1N的脈沖信號時，閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：1.穩(wěn)定時間小于5秒，2.穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度，所以MATLAB仿真如圖5.5所示。圖3.5 PID系統(tǒng)控制器MATLAB仿真圖3.6求兩個多項式之和函數(shù)polyadd.m 圖3.7 PID控制脈沖響應仿真曲線圖3.8 PID系統(tǒng)MATLAB仿真系數(shù)結(jié)果對仿真曲線的分析：經(jīng)過模擬仿真，可以得到如圖5.7的曲線，由圖可以看出曲線在5秒之內(nèi)就進入了穩(wěn)態(tài)，達到了設計要求的指標結(jié) 論本次畢業(yè)設計的內(nèi)容主要是關于直線一級倒立擺系統(tǒng)的PID控制設計，其中涉及了關于自動控制方面的很多知識，尤其是PID控制。也有關于數(shù)學建摸方面的知識以及MATLAB軟