學(xué)案遞推數(shù)列通項(xiàng)公式常用方法

1、遞推數(shù)列通項(xiàng)公式常用方法 求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，高考也往往通過(guò)考查遞推數(shù)列來(lái)考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索能力，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項(xiàng)的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問(wèn)題化為中學(xué)中所研究的等差或等比數(shù)列，下面就求遞推數(shù)列通向公式的常用方法舉例供參考：一 公式法：利用熟知的的公式求通項(xiàng)公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。即與消去 或與消去進(jìn)行求解。例1 已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且，求的通項(xiàng)公式？跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足關(guān)系.試證數(shù)列是等比數(shù)列.二 歸納法：由數(shù)列

2、前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例2 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練2.設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，并且對(duì)于所有自然數(shù)，與1的等差中項(xiàng)等于與1的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.三 累加法：利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）. 即類型 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例3 已知無(wú)窮數(shù)列的的通項(xiàng)公式是，若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練3.已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.四 累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如: 的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方

3、法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).即類型 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4 已知,求數(shù)列通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列滿足,.則的通項(xiàng)公式是.五 構(gòu)造新數(shù)列（也叫待定系數(shù)法）: 將遞推公式（為常數(shù)，）通過(guò)與原遞推公式恒等變成的方法叫構(gòu)造新數(shù)列.即類型 （其中p，q均為常數(shù)，）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例5 已知數(shù)列中, ,求的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練5.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.六 倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成 的形式的方法叫倒數(shù)變換.例6 已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練6.已知數(shù)列中, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公

4、式.七、取對(duì)數(shù)法例7 若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=（2002年上海高考題）.八、平方（開(kāi)方）法例8 若數(shù)列中，=2且（n），求它的通項(xiàng)公式是.九 類型 （其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)） 。 解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再待定系數(shù)法解決。例9:已知數(shù)列中，,，求。十. 類型 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解 (特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A

5、，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例10: 數(shù)列：， ,求變式:（2006，福建,文,22）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；十一 類型 解法：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例11：已知數(shù)列中，求數(shù)列十 二 類型 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例12：已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式:（2006，江西,理,22）已知數(shù)列an滿足：a1，且an 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；十三 類型 周期型 解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例13：若數(shù)列滿足，若，則的值為_(kāi)。課后練習(xí)題1:已知數(shù)列滿足，求。2:已知數(shù)列滿足，求。3:已知， ，求。4:（2004，全國(guó)I,理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項(xiàng) 5:已知數(shù)列中，求.6:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)_7:已知數(shù)列中，,，求。8: 數(shù)列：， ,求9:（2006，福建