2010年高考試題——數(shù)學(xué)文（全國(guó)卷I）（解析版）

1、20102010 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)文科數(shù)學(xué)( (必修必修+ +選修選修) ) 解析版解析版本試卷分第 I 卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第 I 卷 1 至 2 頁(yè)。第卷 3 至 4 頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第第 I I 卷卷注意事項(xiàng)：1答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效。 3

2、第 I 卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式A、B ()( )( )P ABP AP B24SR如果事件相互獨(dú)立，那么 其中 R 表示球的半徑A、B 球的體積公式()( )( )P A BP A P B如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 p334VR次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中 R 表示球的半徑nAk( )(1)(0,1,2,)kkn knnP kC ppkn一、選擇題一、選擇題(1)cos300 (A) (B)- (C) (D) 321212321.C

3、【命題意圖】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識(shí)【解析】1cos300cos 36060cos602 (2)設(shè)全集，集合，則1,2,3,4,5U 1,4M 1,3,5N UNMA. B. C. D. 1,3 1,5 3,54,52.C【命題意圖】本小題主要考查集合的概念、集合運(yùn)算等集合有關(guān)知識(shí)【解析】，則=2,3,5UM 1,3,5N UNM1,3,52,3,5 3,5(3)若變量滿足約束條件則的最大值為, x y1,0,20,yxyxy2zxy(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力.【解析】畫出可行域（如

4、右圖） ，由圖可知,當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)11222zxyyxzA(1,-1)時(shí)，z 最大，且最大值為.max1 2 ( 1)3z （4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則=na123a a a789a a a456a a a(A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 24.A【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，31231322()5a a aa aaa10,所以,37897988()a a aa aaa132850a a 所以13336456465528()()(50 )5 2

5、a a aa aaaa a(5)的展開式的系數(shù)是43(1) (1)xx2x(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命題意圖】本小題主要考查了考生對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握情況，尤其是展開式的通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，以及能否區(qū)分展開式中項(xiàng)的系數(shù)與其二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)也考查了考生的一些基本運(yùn)算能力.【解析】134323422(1) (1)1 4641 33xxxxxxxxx0 xy1Oyxy20 xyxA0:20lxyL022A的系數(shù)是 -12+6=-62x(6)直三棱柱中，若，則異面直線111ABCA BC90BAC1ABACAA與所成的角等于1BA1AC(A)30 (B)45(C)60 (D)

6、906.C【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面111ABCA BC直線所成的角的求法. 【解析】延長(zhǎng) CA 到 D，使得，則為平行四邊形，就是異面直線ADAC11ADAC1DAB與所成的角，又三角形為等邊三角形，1BA1AC1ADB0160DAB(7)已知函數(shù).若且，則的取值范圍是( ) | lg|f xxab( )( )f af bab(A) (B)(C) (D) (1,)1,)(2,)2,)7.C【命題意圖】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的值域，考生在做本小題時(shí)極易忽視 a 的取值范圍，而利用均值不等式求得 a+b=,從而錯(cuò)選 D,這也是12a

7、a命題者的用苦良心之處.【解析 1】因?yàn)?f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+b=1ba1aa又 0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范圍是(2,+).【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：，利用線性規(guī)劃得：，化為求0111abab0111xyxy的取值范圍問題，過點(diǎn)zxyzxyyxz 2111yyxx 時(shí) z 最小為 2,(C) 1,1(2,)（8）已知、為雙曲線 C:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上，=，則1F2F221xy1FP2F06012| |PFPF (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8ABCD

8、A1B1C1D1O8.B【命題意圖】本小題主要考查雙曲線定義、幾何性質(zhì)、余弦定理，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過本題可以有效地考查考生的綜合運(yùn)用能力及運(yùn)算能力.【解析 1】.由余弦定理得cosP=1F2F222121212|2|PFPFFFPFPF22221212121201212222 221cos60222PF PFPFPFPF PFFFPF PFPF PF412| |PFPF 【解析 2】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：120220121260113cot1 cot3sin6022222F PFSbPF PFPF PF412| |PFPF （9）正方體-中，與平面所成角的余弦值為ABCD1111ABC

9、 D1BB1ACD（A） （B） （C） （D）233323639.D 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求出 D 到平面 AC的距離是解決本題的關(guān)鍵所在,這也是轉(zhuǎn)化思想的1D具體體現(xiàn).【解析 1】因?yàn)?BB1/DD1,所以B與平面 AC所成角和DD1與1B1D平面 AC所成角相等,設(shè) DO平面AC，由等體積法得1D1D,即.設(shè) DD1=a,11D ACDDACDVV111133ACDACDSDOSDD則,12211133sin60( 2 )2222ACDSAC ADaa.21122ACDSAD CDa所以,記 DD1與平面 AC所

10、成角為,則1312333ACDACDSDDaDOaSa1D,所以.13sin3DODD6cos3【解析 2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面AC所成角就是B與平面AC1,OO1O O1D1B所成角，1D111136cos1/32OOOODOD（10）設(shè)則123log 2,ln2,5abc（A）（B） (C) (D) abcbcacabcba10.C 【命題意圖】本小題以指數(shù)、對(duì)數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實(shí)數(shù)大小的比較、換底公式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用.【解析 1】 a=2=, b=In2=,而,所以 ab,3log21log 321log e22log 3log1ec=,而,

11、所以 ca,綜上 cab.125152252log 4log 3【解析 2】a=2=,b=ln2=, ，； c=3log321log21loge3221loglog2e32211112logloge，cab121115254（11）已知圓的半徑為 1，PA、PB 為該圓的兩條切線，A、B 為兩切點(diǎn)，那么的最OPA PB 小值為(A) (B) (C) (D)42 32 42 2 32 2 11.D【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長(zhǎng)定理，著重考查最值的求法判別式法,同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力.【解析 1】如圖所示：設(shè) PA=PB=,APO=,則x(0)

12、x APB=，PO=，221x21sin1x=| |cos2PA PBPAPB 22(1 2sin)x=，令，則，222(1)1xxx4221xxxPA PBy 4221xxyx即，由是實(shí)數(shù)，所以42(1)0 xy xy2x，解得或.故2 (1)4 1 ()0yy 2610yy 32 2y 32 2y .此時(shí).min()32 2PA PB 21x 【解析 2】設(shè)，,0APB2cos1/tancos2PA PBPAPB PABO換元：，2222221 sin1 2sincos2221 2sin2sinsin222sin,012xx11 21232 23xxPA PBxxx 【解析 3】建系：園的

13、方程為，設(shè)，221xy11110( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x 2211101110110,001AOPAx yxxyxx xyx x222222221100110110221232 23PA PBxx xxyxxxxx （12）已知在半徑為 2 的球面上有 A、B、C、D 四點(diǎn)，若 AB=CD=2,則四面體 ABCD 的體積的最大值為(A) (B) (C) (D) 2 334 332 38 3312.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力.【解析】過 CD 作平面 PCD，使 AB

14、平面 PCD,交 AB 與 P,設(shè)點(diǎn) P 到 CD 的距離為,則有h,當(dāng)直徑通過 AB 與 CD 的中點(diǎn)時(shí),故ABCD11222323Vhh 四面體22max2 212 3h.max4 33V第卷注意事項(xiàng)： 1答題前，考生先在答題卡上用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考 證號(hào)填寫清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。 2第卷共 2 頁(yè)，請(qǐng)用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域 內(nèi)作答，在試題卷上作答無效。 3.第卷共 10 小題，共 90 分。 22210110111001,2PA PBxxyxxyxx xxy 二填空題：本大題共

15、4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上 (注意：在試題卷上作答無效) (13)不等式的解集是 .22032xxx13. 【命題意圖】本小題主要考查不等式及其解法21,2xxx 或【解析】: ，數(shù)軸標(biāo)根得：22032xxx20221021xxxxxx21,2xxx 或(14)已知為第二象限的角，,則 .3sin5a tan214.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)值符號(hào)的判斷、同角三角函數(shù)關(guān)系、和角的247正切公式,同時(shí)考查了基本運(yùn)算能力及等價(jià)變換的解題技能.【解析】因?yàn)闉榈诙笙薜慕?又, 所以，,所3sin54cos5 sin3tancos4 22tan24tan(2 )

16、1tan7 (15)某學(xué)校開設(shè) A 類選修課 3 門，B 類選修課 4 門，一位同學(xué)從中共選 3 門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 種.(用數(shù)字作答)15. A【命題意圖】本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí),以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【解析 1】:可分以下 2 種情況:(1)A 類選修課選 1 門,B 類選修課選 2 門,有種不同的選法;(2)A 類選修課選 2 門,B 類選修課選 1 門,有種不1234C C2134C C同的選法.所以不同的選法共有+種.1234C C213418 1230C C 【解析 2】: 33373430CCC(16)已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的

17、一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)， FCBBFCD且，則的離心率為 .BF2FDuu ruurC16. 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，33考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)” ，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問題的捷徑.【解析 1】如圖，,22|BFbca作軸于點(diǎn) D1,則由，得1DDyBF2FDuu ruur,所以,1|2|3OFBFDDBD133|22DDOFc即,由橢圓的第二定義得32Dcx 2233|()22accFDeaca又由,得| 2|BFFD232,caaa33e【解析 2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)，F(xiàn)

18、分 BD 所成的比為 2，22221xyab22,D xy，代入22223022333 0;122212222ccccybxbybbxxxc yy ，222291144cbab33e三解答題：本大題共 6 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（17） （本小題滿分 10 分）(注意：在試題卷上作答無效)記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，且成等比數(shù)列，求. nannS312S 1232 ,1a a a nS(18)(本小題滿分 12 分)(注意：在試題卷上作答無效) 已知的內(nèi)角，及其對(duì)邊，滿足，求內(nèi)角ABCVABabcotcotabaAbBC(19)(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無效注意：在試題卷上作答無效) 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審若能通過兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用