平面向量的線性運算以及坐標運算

1、一、同步知識梳理1、向量：既有大小，又有方向的量(注意零向量，單位向量)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量有向線段的三要素：起點、方向、長度平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量零向量與任一向量平行相等向量：長度相等且方向相同的向量2、向量加（減）法運算：三角形法則的特點：首尾相連平行四邊形法則的特點：共起點三角形不等式： 運算性質(zhì)：交換律：；結合律：；3、向量數(shù)乘運算：實數(shù)與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作；當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，運算律：；二、同步例題分析例1、判斷下列命題的真假。（1）零向量是沒有方向的；（2）零向量與任一向量共線；（3）零

2、向量的方向是任意的；（4）單位向量都是相等的向量；（5）向量與向量的長度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若兩個單位向量共線，則必相等；（8）向量就是有向線段；（9）非零向量的單位向量是；（10）若，則；（11）若，則；（12）若，則；（13）若，則。例2、給出下列幾個命題：（1） 若，則；（2） 若，則A、B、C、D四點是平行四邊形的四個頂點；（3） 在平行四邊形ABCD中，一定有；（4） 若，則。其中不正確命題的個數(shù)為（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5例3、如圖，在中，M為BC的中點，則=_。（用表示）變式：1、化簡下列各式：（1）； （2）；（3）。 2、已知P，A，B

3、，C是平面內(nèi)四點，且，那么一定有（ ） A B C D3、已知，則在以下各命題中，正確的命題共有 （ ）（1）時，與的方向一定相反；（2）時，與的方向一定相同；（3）時，與是共線向量；（4）時，與的方向一定相同；（5）時，與的方向一定相反。A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個4、已知任意平面四邊形ABCD中，EF分別為AD、BC的中點。求證：5、如圖，在五邊形ABCDE中，若ACDE是平行四邊形，且，試用表示向量及。例8、設兩個非零向量不共線，（1）若，求證：A、B、D三點共線。（2）試確定實數(shù)k使得與共線。變式：如圖，平行四邊形ABCD中，E是DC中點，AE交BD于M，試用向量的方

4、法證明：M是BD的一個三等分點。三、課后作業(yè)1、若有以下命題： 兩個相等向量的模相等； 若和都是單位向量，則； 相等的兩個向量一定是共線向量； ，則； 零向量是唯一沒有方向的向量； 兩個非零向量的和可以是零。其中正確的命題序號是 。2、已知下列各式：； 其中結果為零向量的個數(shù)為 （ ）A1 B2 C3 D43、在ABCD中，設，則下列等式中不正確的是（ ）AB CD4、若a與b的方向相反，且，則a+b的方向與a的方向 ；此時 5、若則的取值范圍是 圖16、（廣東卷）如圖1所示，是的邊上的中點，則向量( )A. B. C. D. 7、在四邊形ABCD中，若,則四邊形ABCD的形狀_ 8、設為兩個

5、不共線的向量，若與共線，則=_9、設是兩不共線的向量，若，試證三點共線10、如圖，在任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD，BC的中點，求證：思考題：設點O在ABC內(nèi)部，且有，求三角形ABC與三角形OBC的面積之比。平面向量的基本定理及坐標表示一、知識點梳理1、如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1e2。稱不共線的向量e1、e2叫做一組基底。2、已知兩個非零向量a和b，做，則叫做向量a與b的夾角。如果a與b的夾角是90°，則稱a與b ，記作 。3、向量的正交分解：4、平面向量的坐標運算（1）平面向量的坐標：設是與x軸、y

6、軸方向相同的兩個單位向量，對于平面上任一向量a，有且只有一對實數(shù)，使得，記作。（2）平面向量的坐標運算 ，則有 ， ， ， 設，則有 ； 向量共線的坐標表示： 設，則有a與b共線， ； 中點公式 設，P為的中點，則對任一點O，有 ，所以點P的坐標是 。二、專題經(jīng)典講練例1、設是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是（ ）A. B. C. D. 例2、已知，向量，若，求向量。變式：1、已知，求。2、若，則=_。3、設向量a=(1,3),b=(2,4),若表示向量4a、3b2a,c的有向線段首尾相接能構成三角形，則向量c為（ ）(A)（1，1） (B)（1， 1） (C) （4

7、，6） (D) （4，6）4、已知過點A(2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y1=0平行，則m的值為（ ）A0 B8 C2 D10例2、已知點，設的平分線AE與BC相交于E，且，則 等于（ ）A.2 B. C.-3 D. 變式：1、是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足的軌跡一定通過的（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心2、平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點，若點滿足，其中有且，則點的軌跡方程為( )例3、已知點A(1, 2),若向量與=2,3同向, =2,則點B的坐標為 .變式：1、已知向量a=（2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是（ ）A

8、4，6B6，4C6，2D2，62、已知向量,向量則的最大值，最小值分別是（ ）ABC16，0D4，03、若平面向量與向量的夾角是，且，則 A. B. C. D. 4、若向量，滿足，則與所成角的大小為_例4、若向量，且，求的值。變式：1、已知向量且，則= （A） （B） （C） （D）2、向量，當為何值時，A、B、C三點共線。3、的三內(nèi)角所對邊的長分別為設向量,若,則角的大小為（ ）(A) (B) (C) (D) 例5、已知三點，點P滿足（1）為何值時，點P在正比例函數(shù)的圖像上？（2）設點P在第三象限，求的取值范圍。課后作業(yè)1、下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）A ，B ，C ，D ，2、已知點（）ABCD3、已知，若，則等于（ ）A B C D 4、若將向量圍繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量,則向量的坐標為 6、在直角坐標系xOy中，已