平行四邊形知識(shí)點(diǎn)與例題2

1、 平行四邊形一、 基礎(chǔ)知識(shí)平行四邊形 平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形定義有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形。兩腰相等的梯形是等腰梯形。性質(zhì)1、對(duì)邊平行且相等。2、對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。3、對(duì)角線互相平分1、四個(gè)角都是直角。2、對(duì)角線相等。1、四條邊都相等。2、兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。具有平行四邊形、矩形、菱形的所有特征。1、兩腰相等兩底平行2、同一底上的兩角相等3、兩條對(duì)角線相等判定1、定義：2、判定定理：（1）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（2

2、）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（4）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。1、定義：2、判定定理：（1）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。1、定義：2、判定定理：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2）對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形。1、先證明是矩形再證明一組鄰邊相等。2、先證明是菱形再證一個(gè)角是直角。1、定義：先判斷是梯形在證明兩腰相等。2、同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。3、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。對(duì)稱性軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形二、1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角

3、形的第三邊，且等于第三遍的一半。 2、由矩形的性質(zhì)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、例題（圖1）CABDEF例1、如圖1，平行四邊形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分別為E、F. 求證：BAE =DCF.OABCDEF（圖2）例2、如圖2，矩形ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，BEAC于E，CFBD于F.求證：BE = CF. 例3、已知：如圖3，在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求證：BEC =CFB.ABCD圖3EF 例4、如圖6，E、F分別是 平行四邊形ABCD的AD、BC邊

4、上的點(diǎn)，且AE = CF.ADBCEF(圖6)MN（1）求證：ABECDF；（2）若 M、N分別是BE、DF的中點(diǎn)，連結(jié)MF、EN，試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論. 例5、如圖7 的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).，求證：四邊形AFCE是菱形.圖7ABCDEFO例6、如圖8，四邊形ABCD是平行四邊形，O是它的中心，E、F是對(duì)角線AC上的點(diǎn).（1）如果 ，則DECBFA（請(qǐng)你填上一個(gè)能使結(jié)論成立的一個(gè)條件）；（2）證明你的結(jié)論.圖8BCDAEFABCD圖9EGOF例7、如圖9，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O

5、，E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C兩點(diǎn)重合），EFBD交AC于點(diǎn)F，EGAC交BD于點(diǎn)C.（1）求證：四邊形EFOG的周長(zhǎng)等于2OB；（2）請(qǐng)你將上述題目的條件“梯形ABCD中，ADBC，AB = DC”改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結(jié)論，“四邊形EFOG的周長(zhǎng)等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證、不必證明. 備用圖（1）備用圖（2）圖13例8、有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個(gè)農(nóng)戶種植（即將梯形的面積兩等分），試設(shè)計(jì)兩種方案（平分方案畫(huà)在備用圖13(1)、(2)上），并給予合理的解釋. 四、練習(xí) 一、選擇題 1.下列命題正確的是（ ）(A)、一組對(duì)邊相等

6、，另一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平行四邊形 (B)、對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形(C)、兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形一定是菱形 (D)、在兩條對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形2. 已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)32, 5AB=3BC,則AC的取值范圍為( )A. 6<AC<10； B. 6<AC<16； C. 10<AC<16； D. 4<AC<163.兩個(gè)全等的三角形（不等邊）可拼成不同的平形四邊形的個(gè)數(shù)是（）（A）1（B）2（C）3（D）44延長(zhǎng)平形四邊形ABCD的一邊AB到E，使BEBD，連結(jié)DE交BC于F，若DAB120°

7、,CFE135°，AB1，則AC 的長(zhǎng)為（ ）（A）1（B）1.2（C）（D）1.55若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE1cm，則BD的長(zhǎng)是（ ）（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）4cm6.若順次連結(jié)一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的圖形是矩形，那么這個(gè)四邊形的對(duì)角線()（A）互相垂直（B）相等 （C）互相平分（D）互相垂直且相等7. 如圖，等腰ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，DEAC，DFAB，AB=5那么四邊形AFDE的周長(zhǎng)是（ ）（A）5 （B）10 （C）15 （D）20 (第7題） （第8題） （第9題） （第10題）8.如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD折疊，

8、使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段CN的長(zhǎng)是（ ） （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm9. 如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AC將梯形分成兩個(gè)三角形，其中ACD是周長(zhǎng)為18 cm的等邊三角形，則該梯形的中位線的長(zhǎng)是( ) (A)9 cm (B)12cm (c)cm (D)18 cm10.如圖，在周長(zhǎng)為20cm的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于點(diǎn)O，OEBD交AD于E，則ABE的周長(zhǎng)為（） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cmABCDEF圖 2RPDCBAEF第12題圖11. 如圖2，四邊形ABC

9、D為矩形紙片把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF若CD6，則AF等于 （）（A）（B）（C）（D） 12.如圖，已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是 （ )A、線段EF的長(zhǎng)逐漸增大 B、線段EF的長(zhǎng)逐漸減小 C、線段EF的長(zhǎng)不變 D、線段EF的長(zhǎng)與點(diǎn)P13. 在梯形ABCD中，AD/BC，對(duì)角線ACBD，且，BD=12c m，則梯形中位線的長(zhǎng)等于（ ）黃藍(lán)紫橙紅綠AGEDHCFB第14題A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm14. 國(guó)家級(jí)歷史文化

10、名城金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢某廣場(chǎng)上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花如果有，那么下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）A紅花、綠花種植面積一定相等 B紫花、橙花種植面積一定相等C紅花、藍(lán)花種植面積一定相等 D藍(lán)花、黃花種植面積一定相等2、 填空題1.如果四邊形四個(gè)內(nèi)角之比1：2：3：4，則這四邊形為形。 2.若正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2cm，則正方形的面積為。3.若矩形一個(gè)內(nèi)角的平分線，把另一邊分為4cm,5cm兩部分，則這個(gè)矩形周長(zhǎng)是4.已知：平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是30cm，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AOB的周長(zhǎng)比BOC的周長(zhǎng)長(zhǎng)5cm ，則這個(gè)平行四邊形的各邊

11、長(zhǎng)為。5. 已知：平行四邊形ABCD中， AEBC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AFCD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，ABBCCDDA32cm，BCAB，EAF2C，則BE長(zhǎng)為，則C.6. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A(2，5)，B(3，1)，C(1，1)，在第一象限內(nèi)找一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是平行四邊形，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)是 第10題圖DABCPMNCFDBEAP（第9題）ABCDEFO圖87.已知：如圖8，正方形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，若AE4cm，DF3cm，且OEOF，則EF的長(zhǎng)為 。（1）（2）圖98 如圖9（1)是一個(gè)等腰梯形，由6個(gè)

12、這樣的等腰梯形恰好可以拼出如圖10(2)所示的一個(gè)菱形對(duì)于圖10(1)中的等腰梯形，請(qǐng)寫(xiě)出它的內(nèi)角的度數(shù)或腰與底邊長(zhǎng)度之間關(guān)系的一個(gè)正確結(jié)論： 9如圖，在四邊形中，是對(duì)角線的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，則的度數(shù)是 10如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線分別長(zhǎng)6和8，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是_11. 如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個(gè)條件是 。 （12題） （13題） （14題）12、 如圖所示，O為矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，DF平分ADC交AC于E，

13、BC于F，BDF=15°，則COF=_13. 如圖，矩形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交和于點(diǎn)E、F，則圖中陰影部分的面積為14、如圖，矩形的面積為，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到四邊形，再順次連結(jié)四邊形四邊中點(diǎn)得到四邊形，依此類推，求四邊形的面積是。ADBCFE15、如圖已知O是ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，AC24，BD38，AD14，那么OBC的周長(zhǎng)等于。ABDCOABDCEABDCO16、在平行四邊形ABCD中，CB+D,則A，D。17、一個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)為70cm，兩邊的差是10cm，則平行四邊形各邊長(zhǎng)為cm。18、已知菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為12cm，面積為30cm2，則這個(gè)菱形的另一條

14、對(duì)角線長(zhǎng)為_(kāi)cm。19、菱形ABCD中，A60o，對(duì)角線BD長(zhǎng)為7cm，則此菱形周長(zhǎng)cm。20、如果一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，那么它的面積。21、如圖2矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O,AOB60o,AB8,則矩形對(duì)角線的長(zhǎng)。22、如圖3,等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDE，BC8，AB6，AD5則CDE周長(zhǎng)。21、正方形的對(duì)稱軸有條22、如圖4，BD是ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需增加的一個(gè)條件是23、要從一張長(zhǎng)為40cm，寬為20cm的矩形紙片中，剪出長(zhǎng)為18cm，寬為12cm的矩形紙片，最多能剪出張。3、 解答題1.如圖，在四邊形ABCD中，A

15、=60°,B=D=90°,BC=2,CD=3,求AB的長(zhǎng)。2.如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=2,BAD=120°,對(duì)角線AC平分BCD，求等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)。ABCDEFD3.將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D 處，折痕為EF（1）求證：ABEADF；（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論4已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，ADB=60°，BD=10，BEED=41，求梯形ABCD的腰長(zhǎng).5. 如圖，菱形ABCD，E，F(xiàn)分別是B

16、C，CD上的點(diǎn)，BEAF60°，BAE18°求CEF的度數(shù)。ABCDMNE(第6題)6.已知：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點(diǎn)D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點(diǎn)E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明7. 如圖，四邊形ABCD中，一組對(duì)邊AB=DC=4，另一組對(duì)邊ADBC，對(duì)角線BD與邊DC互相垂直，M、N、H分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，且ABD=30°求：（1）MH的長(zhǎng)（2）MN的長(zhǎng)。8. 如圖所示，在ABC中，BAC=90°,ADB,BE平分ABC

17、,EFBC,那么AE=CF嗎？證明你的結(jié)論。9. 如圖，ABCD是正方形，CEBD，BEBD，BE交DC于點(diǎn)F，求證：（1）BEC30°（2）DEDF 10.如圖，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEBC，垂足為E， PFCD，垂足為F，求證：EFAP11. 如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF（1）求證：PA=PC;（2）若AD=12,AB=15,DAB=60°,求四邊形ABCD的面積.10如圖所示，已知在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，求證：MNBC11已知：如

18、圖，E為ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CEDC，連結(jié)AE分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OF求證：AB2OF12.如圖，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，點(diǎn)A處有一動(dòng)點(diǎn)E以1cms的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)C處也有一動(dòng)點(diǎn)F以2cms的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），四邊形EBFD的面積為y（cm2），求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍。21，如圖16，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BCD的平分線CF交邊AB于F，ADC的平分線DG交邊AB于G.（1）線段AF與GB相等嗎？ 圖16（2）請(qǐng)你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個(gè)條件，使得EF

19、G為等腰直角三角形,并說(shuō)明理由.圖17OFDBECA·圖1822，如圖17，已知ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）試說(shuō)明線段CD與FA相等的理由； （2）若使FBCF，ABCD的邊長(zhǎng)之間還需再添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)你補(bǔ)上這個(gè)條件，并說(shuō)明你的理由(不要再增添輔助線).23，如圖，已知平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且是等邊三角形（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求證：四邊形是正方形ECDBAO24，已知：如圖19，四邊形ABCD是菱形，E是BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是DB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DEBF.請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一

20、條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須證明一組線段相等即可）.（1）連結(jié)_；（2）猜想：_=_；（3）證明：25，如圖20，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，過(guò)點(diǎn)A作AMBE，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)F.(1)試說(shuō)明OEOF；OC圖19DABEF圖21EFOCMDAB圖20EMFCODBA(2)如圖21，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AMBE于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OEOF”還成立嗎?如果成立，請(qǐng)給出說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.13.如圖在直角梯形ABCD中, ADBC, B=90°AD=24cm,

21、AB=8cm,BC=26cm,動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CB向B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng),P,Q分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t,t分別為何值時(shí),四邊形PQCD為平行四邊形,等腰梯形?A B Q C D P 14APBDDQC已知：如圖，在直角梯形ABCD中，B90o,ADBC，AD24cm，BC26cm，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿AD邊向D以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)開(kāi)始沿CB邊向B以3cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其一點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，t分別為何值時(shí)

22、，四邊形PQCD是平行四邊形？等腰梯形？.在ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF，沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的AEF和四邊形EBCF可以拼接成平行四邊形EBCP，接切線與拼圖過(guò)程如圖所示，依照上述方法，安要求完成下列操作設(shè)計(jì)，并畫(huà)出圖形說(shuō)明。（1）在ABC中，增加條件 ，沿著 一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在ABC中，增加條件 ，沿著 一刀剪切后可以拼成菱形。（3）在ABC中，增加條件 ，沿著 一刀剪切后可以拼成正方形。（4）在ABC（ABAC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，畫(huà)出切線與拼圖示意圖。15如圖把一個(gè)正方形割去四分之一，將余下的部分分成3個(gè)全等的圖形（圖甲）；將余下的

23、部分分成4個(gè)全等的圖形（圖已）仿照示例，請(qǐng)你將一個(gè)正三角形割去四分之一后余下的部分。（1）分成3個(gè)全等的圖形（在圖一中畫(huà)出示意圖）；（2）分成四個(gè)全等的圖形（在圖二中畫(huà)出示意圖）；（3）你還能利用所得的4個(gè)全等的圖形拼成一個(gè)平行四邊形嗎？若能，畫(huà)出大致的示意圖。16.如圖是 王大爺?shù)囊粔K四邊形菜地，在A處有一口井，王大爺要想從A處引一條筆直的水渠，且這條筆直的水渠將四邊形菜地分成面積相等的兩部分.請(qǐng)你為王大爺設(shè)計(jì)一條引水渠的方案，畫(huà)出圖形,并簡(jiǎn)要寫(xiě)出作圖的主要步驟.解:作圖步驟：17. (1)如圖25-1，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD.求證:EFBEFD; (2) 如圖25-2在四邊形ABCD中，ABAD，B+D180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且EAF=BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明. (3) 如圖25-3在四邊形ABCD中，ABAD，B+ADC180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EAF=BAD, (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它