考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)強(qiáng)化習(xí)題-相似與相似對(duì)角化

1、 點(diǎn)這里，看更多數(shù)學(xué)資料 2017考研已經(jīng)拉開序幕，很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復(fù)習(xí)資料。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【線性代數(shù)-相似與相似對(duì)角化知識(shí)點(diǎn)講解和習(xí)題】，希望可以助考生一臂之力。同時(shí)中公考研特為廣大學(xué)子推出考研集訓(xùn)營(yíng)、專業(yè)課輔導(dǎo)、精品網(wǎng)課、vip1對(duì)1等課程，針對(duì)每一個(gè)科目要點(diǎn)進(jìn)行深入的指導(dǎo)分析，歡迎各位考生了解咨詢。模塊九 相似與相似對(duì)角化經(jīng)典習(xí)題一相似矩陣1、下列矩陣中，和相似的是（ ）（A） （B） （C） （D）2、設(shè)均為階矩陣，可逆且AB，則下列命題中ABBA A2B2 ATBT A-1B-1正確的有（ ）個(gè). （A） （B） （C） （D）二相似對(duì)角化的條件3、

2、下列矩陣中，不能相似對(duì)角化的是（ ）（A） （B） （C） （D）4、已知三階矩陣的特征值為，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） （A）矩陣是不可逆的 （B）矩陣的主對(duì)角元素之和為 （C）所對(duì)應(yīng)的特征向量正交 （D）的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量構(gòu)成5、設(shè)階方陣，且對(duì)，則（ ） （A） （B）相似（C）合同 （D）同時(shí)可相似對(duì)角化或不可相似對(duì)角化6、設(shè)為階方陣，滿足，證明：（1）；（2）矩陣可以相似對(duì)角化.7、設(shè)為三階方陣，為三維線性無(wú)關(guān)列向量組，且有，.（1）求的全部特征值；（2）是否可對(duì)角化？8、已知三階矩陣的特征值為，設(shè)（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）不能確定三相似對(duì)角化中與的計(jì)算9、已知是

3、矩陣屬于特征值的特征向量，是矩陣屬于特征值的特征向量，那么矩陣不能是（ ） （A） （B）（C） （D）10、已知，其中，求_.11、已知矩陣與相似:（1）求與；（2）求一個(gè)滿足的可逆矩陣12、設(shè)矩陣.問(wèn)當(dāng)為何值時(shí),存在可逆矩陣,使得為對(duì)角矩陣?并求出和相應(yīng)的對(duì)角矩陣.13、設(shè)矩陣,已知有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,是的二重特征值.試求可逆矩陣,使得為對(duì)角矩陣.14、設(shè)矩陣與相似,其中.（1）求和的值; （2）求可逆矩陣,使.四的計(jì)算15、已知、為三階矩陣，滿足，齊次方程組有非零解，（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣；（3）求秩；（4）計(jì)算行列式；（5）求五對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣性質(zhì)的考查16、設(shè)

4、階實(shí)對(duì)稱矩陣，則( )（A）個(gè)特征向量?jī)蓛烧唬˙）個(gè)特征向量組成單位正交向量組（C）重特征值（D）重特征值17、設(shè)二階實(shí)對(duì)稱矩陣的一個(gè)特征值，屬于的特征向量為，若，則_.18、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為,對(duì)應(yīng)于的特征向量為,求.六實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化19、設(shè)是階矩陣，且有個(gè)相互正交的特征向量，證明是實(shí)對(duì)稱矩陣20、設(shè)三階對(duì)稱矩陣A的特征值為，是A的屬于特征值的特征向量，記（1）驗(yàn)證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與其對(duì)應(yīng)的特征向量；（2）求矩陣B七綜合21、階實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足條件.（1）求的全部特征值.（2）當(dāng)為何值時(shí)，矩陣為正定矩陣，其中階單位矩陣.參考答案一相似矩陣1、【答

5、案】（C）【解析】：（A）中，故和不相似.（B）中，故和不相似.（D）中，的特征值為，的特征值為，故和不相似.由排除法可知：只有（C）中矩陣和可能相似.事實(shí)上，在（C）中，和的特征值均為，由于和均可相似對(duì)角化，也即和均相似于，故和相似.故選（C）2、【答案】（D）【解析】：由于，可知：存在可逆矩陣，使得.故，可知、.又由于可逆，可知，故.故正確的命題有個(gè)，選（D）二相似對(duì)角化的條件3、【答案】（D）【解析】：（A）中矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣，可以相似對(duì)角化.（B）中矩陣有三個(gè)互不相同的特征值：，可以相似對(duì)角化.（C）中矩陣特征值為，由于該矩陣秩為，可知其二重特征值有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故可以相似對(duì)

6、角化.（D）矩陣特征值為，令該矩陣為，可知其二重特征值只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故不可以相似對(duì)角化.故選（D）.4、【答案】：（C）【分析】 ：注意本題是找不正確的答案.根據(jù)特征值與行列式的關(guān)系及特征值的性質(zhì)應(yīng)知A，B正確，而的非零解對(duì)應(yīng)的是零特征值的特征向量.【解析】： 根據(jù)，知（A），（B）正確；而是單根，因此，即的基礎(chǔ)解系只由一個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量構(gòu)成，可知（D）也正確.因此唯一可能不正確的選項(xiàng)是（C）.事實(shí)上，由于沒(méi)有限定為實(shí)對(duì)稱矩陣，故不同特征值的特征向量不一定正交.故選（C）.【評(píng)注】： 特征值的重?cái)?shù)與矩陣的秩的關(guān)系：由于矩陣的重特征值最多只能有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故假設(shè)為矩陣的重

7、特征值，則，也即.有兩種情況可以確定：一是當(dāng)矩陣可相似對(duì)角化時(shí)，必有；二是當(dāng)為單特征值時(shí)，由于，又由于矩陣不滿秩，故.本題在確定的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)時(shí)，用到了上述結(jié)論：由于是單特征值，故5、【答案】：（A）【解析】： 由知，具有相同特征值，而的特征值為， 所以 故（A）是正確的. 對(duì)于（B），（C），（D），可以通過(guò)舉反例予以排除. 例如，則的特征多項(xiàng)式相同，但不相似，否則，矛盾，故可以排除（B）.同時(shí)，由于矩陣不可相似對(duì)角化，故可排除（D）. 最后，由于合同矩陣是在實(shí)對(duì)稱矩陣的范圍內(nèi)討論，可知（C）不正確.故唯一正確的選項(xiàng)是（A）6、【證明】：（1）由可得，故有.又由于.可知.（2）由于，

8、可知矩陣的特征值必滿足，也即的特征值只能為或.由于矩陣可相似對(duì)角化的充要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故考慮和的特征向量.由于和的特征向量分別為和的解，它們的基礎(chǔ)解系中分別含有和個(gè)解向量.也即特征值有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；特征值有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.而，可知有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.故矩陣可以相似對(duì)角化.7、【解析】： 由已知得， ，又因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以，.所以-1,2是的特征值.是相應(yīng)的特征向量.又由線性無(wú)關(guān)，得也線性無(wú)關(guān)，所以-1是矩陣的二重特征值，即的全部特征值為-1,-1，2. 由線性無(wú)關(guān)可證明線性無(wú)關(guān)，即矩陣有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以矩陣可相似對(duì)角化. 【評(píng)注】：對(duì)于抽象的矩陣，

9、經(jīng)常利用定義與性質(zhì)討論其特征值與特征向量問(wèn)題8、【答案】：（A）【解析】：因?yàn)榫仃囉腥齻€(gè)不同的特征值，所以必能相似對(duì)角化，則有 .那么 ，即.因此.故應(yīng)選（A）三相似對(duì)角化中與的計(jì)算9、【答案】：（D）【解析】：若 則有 即 即 可見(jiàn)是矩陣屬于特征值的特征向量，又因矩陣可逆，因此，線性無(wú)關(guān). 若是屬于特征值的特征向量，則仍是屬于特征值的特征向量，故（A）正確. 若是屬于特征值的特征向量，則仍是屬于特征值的特征向量.本題中，是屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量，故仍是的特征向量，并且線性無(wú)關(guān)，故（B）正確. 關(guān)于（C），因?yàn)榫堑奶卣飨蛄?，所以誰(shuí)在前誰(shuí)在后均正確.即（C）正確. 由于是不同特征值的特征向量

10、，因此不再是矩陣的特征向量，故（D）錯(cuò)誤.【評(píng)注】：相似對(duì)角化中，只要有的對(duì)角元是矩陣的個(gè)特征值，的列向量是與中特征值對(duì)應(yīng)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所得的與就能滿足等式10、【答案】：【解析】：由于知，有3個(gè)不同的特征值1,2,3.所以 ，其中. 故.【評(píng)注】：當(dāng)矩陣可相似對(duì)角化時(shí)，由于在式中，對(duì)角矩陣的對(duì)角元均為的特征值，可逆矩陣的列向量為特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.因此，只要知道了矩陣所有的特征值、特征向量，就可以利用等式求出，這是考點(diǎn)相似對(duì)角化下的一個(gè)重要的命題思路.11、【解析】：（1）的特征值為.由與相似,則的特征值為.故.（2）分別求出的對(duì)應(yīng)于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為.令可逆矩陣,則.

11、12、【解析】：則的特征值為.矩陣與對(duì)角矩陣相似屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為兩個(gè).此時(shí)，屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量;屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量.令可逆矩陣,則13、【解析】：有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,則能對(duì)角化.又是的二重特征值,則屬于有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,故.此時(shí).由為的另一特征值.屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量;屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量.令.14、【解析】：（1）的特征值為;有特征值. 與相似,則與有相同的特征值,故.又.(2)的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量分別為, 令可逆矩陣,則.四的計(jì)算15、【解析】，因?yàn)?，所以所以?1特征值，且其重?cái)?shù)至少是2重，因?yàn)橛蟹橇憬?，所以?特征值，且

12、其重?cái)?shù)至少是1重，又因?yàn)闉槿A矩陣，所以-1是二重特征值，0為1重特征值，由于是對(duì)稱矩陣一定可對(duì)角化，所以。因?yàn)?，且，所以。五?duì)實(shí)對(duì)稱矩陣性質(zhì)的考查16、【答案】：（C）【解析】： 實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，但未必兩兩正交；個(gè)特征向量未必是單位正交向量組，故（A），（B）均不正確.由于實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化，的屬于重特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量必有 個(gè)，故.故本題應(yīng)選（C）17、【答案】：【分析】：求出所有的特征值特征向量即可.【解析】：設(shè)矩陣的特征值為和，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為和. 因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣，使得，其中 . 由于相似矩陣的行列式相等，所以 所以.又實(shí)對(duì)稱矩陣

13、的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，于是可得此方程組的基礎(chǔ)解系為.將對(duì)應(yīng)的特征向量單位化. 令矩陣， 則 18、【解析】：設(shè)對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為,則與正交,即,其基礎(chǔ)解系為.令可逆矩陣,則,故六實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化19、【分析】：個(gè)相互正交的特征向量必線性無(wú)關(guān)，可知可對(duì)角化，并且可用正交變換化這對(duì)角矩陣.【證明】設(shè)個(gè)相互正交的特征向量分別為，其對(duì)應(yīng)的特征值分別為，將單位正交化，記為，則用為的特征向量，令，則為正交矩陣，且故有 所以有 即是實(shí)對(duì)稱矩陣20、【解析】（1）因?yàn)槿A對(duì)稱矩陣A的特征值為且所以B的特征值為4，-2，-2。是A屬于2的特征向量，所以也是B屬于4的特征向量，因?yàn)锳是對(duì)稱矩陣，所以B也是對(duì)稱矩陣，所以對(duì)于B矩陣屬于-2的特征向量與屬于4的特征向量正交。對(duì)于B屬于4的特征向量為，屬于-2的特征向量為，其中為非零任意常數(shù)，是不全為零的任意常數(shù)。（2）通過(guò)正交化單位化找到實(shí)現(xiàn)對(duì)角化的正交矩陣Q，使得七綜合21、【解析】： 設(shè)是矩陣