狹義相對論推導詳細計算過程

1、狹義相對論狹義相對論基本原理：1. 基本物理定律在所有慣性系中都保持相同形式的數(shù)學表達式，因此一切慣性系都是等價的。2. 在一切慣性系中，光在真空中的傳播速率都等于c，與光源的運動狀態(tài)無關。假設S系和S系是兩個相對作勻速運動的慣性坐標系，規(guī)定S系沿S系的x軸正方向以速度v相對于S系作勻速直線運動，x、y、z軸分別與x、y、z軸平行，兩慣性系原點重合時，原點處時鐘都指示零點。洛倫茲變換現(xiàn)假設，x=k(x-vt) ，k是比例系數(shù)，可保證變化是線性的，相應地，S系的坐標變換為S系，有x=k(x+vt) ，另有y=y，z=z。將代入：x=kk(x-vt)+vtx=k2*(x-vt)+kvtt=kt+(

2、1-k2)x/kv兩原點重合時，有t=t=0，此時在共同原點發(fā)射一光脈沖，在S系，x=ct，在S系，x=ct，將兩式代入和：ct=k(c-v)t 得 ct=kct-kvt 即t=(kct-kvt)/cct=k(c+v)t 得 ct=kct+kvt兩式聯(lián)立消去t和tct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=k2ct-k2vt+k2vt-k2v2t/cc2=k2c2-k2v2k=將k代入各式即為洛倫茲變換：x=y=yz=zt=或有x=k(x+vt) x=k(x-vt) =k(1+v/c)x =k(1-v/c)x兩式聯(lián)立，x=k(1-v/c)k(1+v/c)xk=同時的相對性S中取

3、A（x1,y,z,t1）和B（x2,y,z,t2），同時發(fā)出一光脈沖信號，即t1= t2，且x1x2。在S中，t= t1- t2=0在S中，t1= t2=，t= t1- t2=，由于x1x2，則S中，t0。即在S系中不同位置同時發(fā)生的兩個事件，在S系中看來不是同時發(fā)生的。亦可說明時間和空間是相互聯(lián)系的。時間延緩效應（時鐘變慢）如中，對于S系同時發(fā)生的兩事件，在S系中出現(xiàn)了時間間隔，即時間膨脹或延緩。設S系中的x0處先后在t1和t2發(fā)生兩事件，則t= t2- t1。在S系中，t= t2- t1=-=t說明在S系中，兩事件的時間間隔小于在S系看來的間隔，即在S系看來，S系中的時鐘變慢了。（對于確定

4、的兩事件，時間間隔應相同，時間起點相同，S中觀察到的間隔要長一些，便認為是S系中的時鐘變慢了。）長度收縮效應（尺縮）S系中放置一沿x軸方向的長桿，設兩端點的坐標是x1和x2，則靜止長度L=L0= x2- x1，稱為固有長度。在S系中要測量長桿的長度，必須同時測出x1和x2，即t1= t2。由x1=和x2=得L0=L= x2- x1=則L=L0L0即在S系中觀察運動的桿時，其長度比靜止時縮短了。速度變換法則設一質點在兩慣性系中的速度分量為ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt (S系)ux=dx/dt uy=dy/dt uz=dz/dt (S系)由洛倫茲變換得dx=dy=dydz=

5、dzdt=前三式分別除以第四式得ux=uy= uz=相應地有，ux=uy= uz=狹義相對論動力學質速關系設S系中的x0處有一靜止粒子，因內力分裂為質量相等的A、B兩部分，且分裂后mA以速度v沿x軸正方向移動，mB以速度-v沿x軸負方向移動。VBA·mVVSS則在S系看來mA靜止，即vA=0。而vB=，則v= -c2/ vB1-。同時質心仍在x0處未移動，有v0= -v。由于動量守恒，（mA+mB）=mA vA+mB vB，而vA=0，則-v= mB vB/（mA+mB）mB /mA=-v/( vB+v)= vB/( vB+v)-1將代入上式mB /mA= = =得mB=，在S系中二

6、者以相同的速度沿相反方向運動，而在S系中，mA靜止，可看做靜質量（m0）。mB以速率vB運動，可視為運動質量，稱相對論質量。則運動物體的質量與其靜質量的一般關系即m=相對論動力學基本方程相對論動量p=mv= （p、v均為矢量）物體受力F=dp/dt=d/dt (F、p、v均為矢量)當v<<c時，即為牛頓第二定律，pmv=Ft質能關系由知，F(xiàn)= dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt。另有dx=vdt經典力學中，質點動能增量即合力做的功，應用的相對論中，Ek=對質速方程m=求微分有dm= =將上式與代入式，Ek= = = （dm代入此式） = =mc2+C其中C為積

7、分常量，知v=0時，m=m0,Ek=0，代入求得C= -m0c2。則Ek=mc2- m0c2 = m0c2() 當v<<c時對作泰勒展開，得=1+v2/2c2+3v4/8c4+取前兩項有Ek= m0c2（1+ v2/2c2-1）= m0v2/2，即經典力學動能表達式。而式可改寫為mc2=Ek+m0c2，m0c2是物體靜止時的能量，稱物體的靜能，而mc2為物體的總能量。將總能量用E表示，寫作E=mc2=即相對論質能關系。泰勒展開：根據(jù)泰勒公式的簡單形式，即邁克勞林公式，有f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x2/2!+fn(0)xn/n!。對于f(v)= f(v)= =f(v)= +=+f3(v)= +=+f4(v)= +=+此處，f(v)=f(0)+f(0)v+f(0)v2/2!+ f3(v)v3/3!+ f4(v)v4/4!+ =1+0+v2/2c2+0+3v4/8c4+ =1+v2/2c2+3v4/8c4+能量-動量關系將p=mv=中的v2解出，得v2=，代入質能方程，得E=則E2=p2c2+m02c4即相對論能量-