伽馬函數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上韓 山 師 范 學(xué) 院學(xué) 生 畢 業(yè) 論 文（ ）題目（中文） 伽馬函數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用 （英文）The Application of the Function in the Probability 系別： 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào): 指導(dǎo)教師： 韓山師范學(xué)院教務(wù)處制誠(chéng) 信 聲 明我聲明，所呈交的畢業(yè)論文是本人在老師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。據(jù)我查證，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，我承諾，論文中的所有內(nèi)容均真實(shí)、可信。畢業(yè)論文作者簽名： 簽名日期： 年 月 日摘要: 本文闡述了函數(shù)的

2、定義及其特殊性質(zhì), 并就如何利用函數(shù)的特定性質(zhì)解決概率應(yīng)用中的一些特定問題進(jìn)行了探討和分析. 分析說明: 應(yīng)用函數(shù)收斂的性質(zhì), 可間接求解概率積分值; 利用函數(shù)表示分布的密度;可表征F分布的密度函數(shù). 這些分析及其結(jié)論對(duì)于函數(shù)的具體應(yīng)用, 對(duì)于求解概率論中的一些具體實(shí)用問題具有重要的參考價(jià)值.關(guān)鍵詞: 函數(shù); 收斂性; 概率積分; 密度函數(shù)Abstract: Expounds the definition of function and its special properties, and how to use the specific nature solution function in

3、 some specific questions the probability application is discussed and analyzed. function analysis and explanation: application of nature, but indirect convergent solution probability integral value; Use the density of function says distribution; F distribution can be characterized the density functi

4、on analysis and conclusions. These specific application for function for solving some of the specific practical problems probability has important reference value.Keywords: Gamma function; Convergence; Probability integral; Density function目錄1. 函數(shù)的定義及主要性質(zhì)（1）1.1 函數(shù)的定義（1）1.2 函數(shù)的主要性質(zhì)（2）1.3 函數(shù)的遞推公式（2）2.

5、 函數(shù)在概率問題中的應(yīng)用（3）2.1 利用函數(shù)間接求出概率積分（3）2.2 利用函數(shù)表示分布的密度（4）2.3 利用函數(shù)求F分布的密度函數(shù)（5）3 結(jié)語(yǔ)（6）參考文獻(xiàn) （7）致謝 （8）專心-專注-專業(yè)伽馬函數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)及概率統(tǒng)計(jì)中,經(jīng)常會(huì)看到伽瑪函數(shù)這個(gè)熟悉的名字,但是關(guān)于這個(gè)函數(shù)性質(zhì)及詳細(xì)的應(yīng)用卻很少提及,然而這個(gè)函數(shù)在積分運(yùn)算中經(jīng)常起到意想不到的簡(jiǎn)便效果.也有一些文獻(xiàn)討論它在積分運(yùn)算和概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用,但是篇幅太少,并沒有詳細(xì)的介紹.本文將對(duì)這兩個(gè)函數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用給出詳細(xì)的介紹并推導(dǎo)出一些有用的結(jié)論.函數(shù)是由世界著名數(shù)學(xué)家歐拉(1729 年)最先用含參變量的廣義積

6、分定義的特殊函數(shù).它作為一種超越函數(shù)具備了豐富和優(yōu)美的特征,在數(shù)字的許多分支中都起著重要作用.概率論及其應(yīng)用中,計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征是一個(gè)重要內(nèi)容,而它最終往往歸結(jié)為積分的計(jì)算.而積分特別是多次分部積分對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)較少的學(xué)生來說是難點(diǎn),也易產(chǎn)生計(jì)算錯(cuò)誤.利用函數(shù)的特殊性質(zhì)有效簡(jiǎn)便地求解概率論中所涉及的具體且復(fù)雜的積分表征形式以及函數(shù)分布求解、數(shù)字特征求解等數(shù)學(xué)問題,可以避免多次分部積分,大大簡(jiǎn)化了此類問題的計(jì)算.1 函數(shù)的定義及主要性質(zhì)本節(jié)主要講述了函數(shù)的推導(dǎo)以及其公式,還講述了一些函數(shù)的主要性質(zhì)以及由函數(shù)所推導(dǎo)出來的一些公式,為論文講述函數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)中的運(yùn)用打好基礎(chǔ).1.1 函數(shù)的

7、定義1我們回想一下在微積分課程中的一個(gè)（廣義）積分 (1)(通過分部積分),因而有歐拉表示式 (2)在等式(2)中做變量代換 ,那么就得到 (3)由此,我們定義函數(shù), (4)我們把定義式(4)稱為函數(shù)的勒讓德表示式.1.2 函數(shù)的主要性質(zhì)1顯然函數(shù)是因?yàn)榍蠼庖粋€(gè)特殊的常微分方程而引出的,但是人們發(fā)現(xiàn)它的意義遠(yuǎn)不止于此,它有著更加重要的意義.接著我們來考慮函數(shù)的收斂問題:如果把(4)中的寫成,那么(4)中的.另一方面,當(dāng)時(shí),廣義積分是收斂的:當(dāng)中時(shí),所以,而當(dāng)充分大時(shí),所以是收斂的.由此,我們可以得出定理:當(dāng)時(shí),廣義積分是收斂的.1.3 函數(shù)的遞推公式2我們首先來建立函數(shù)關(guān)于平移的函數(shù)方程由函數(shù)

8、,對(duì)正實(shí)數(shù),用分部積分:則我們可以得出定理: 當(dāng)時(shí),.下面我們來推導(dǎo)一個(gè)函數(shù)非常重要的一個(gè)結(jié)論:我們用來計(jì)算這個(gè)積分：當(dāng)時(shí), .當(dāng)趨于無窮大時(shí),根據(jù),有：.因此第一項(xiàng)變成了零,所以：等式的右面正好是.因此,為：.由此,我們可以得出結(jié)論:對(duì)于任何正整數(shù)都有2 函數(shù)在概率問題中的應(yīng)用本節(jié)主要講述了我們?cè)诟怕蔬\(yùn)用中所遇到的一些比較復(fù)雜的問題,以及如何利用函數(shù)的特殊性質(zhì)有效簡(jiǎn)便地求解概率論中所涉及的具體且復(fù)雜的積分表征形式以及函數(shù)分布求解、數(shù)字特征求解等數(shù)學(xué)問題,可以避免多次分部積分,大大簡(jiǎn)化了此類問題的計(jì)算.2.1 利用函數(shù)間接求出概率積分正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中的重要分布之一概率積分是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率

9、密度函數(shù)的廣義積分.2但它的計(jì)算或推導(dǎo)是在高等數(shù)學(xué)的微積分中完成的,推導(dǎo)比較復(fù)雜利用函數(shù)可使推導(dǎo)簡(jiǎn)便有效先求的值,在函數(shù)中,取,則又由函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系,有故又在中,令則2.2 利用函數(shù)表示分布的密度設(shè),又設(shè)為的一個(gè)樣本,它們的平方和記作,即,稱為服從參數(shù)為的分布,記為分布的概率密度可由函數(shù)表示現(xiàn)推導(dǎo)此式.設(shè),則概率密度為:再由分布的可加性知,即服從自由度為的分布,因?yàn)榭ǚ椒植际琴が敺植嫉奶乩?即.根據(jù)伽馬分布的可加性,得2.3 利用函數(shù)求F分布的密度函數(shù)設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立的變量,其自由度分別是,則稱的聯(lián)合密度是,現(xiàn)推導(dǎo)方差比的分布律.因?yàn)榉謩e服從和的分布,其密度函數(shù)為和,根據(jù)獨(dú)立隨機(jī)變量商的分布

10、的密度函數(shù)公式的密度函數(shù)為:.應(yīng)用變換,可得最后的定積分為伽馬函數(shù),從而接著來算的密度函數(shù),對(duì),有.即為自由度為的分布律.3 結(jié)語(yǔ)從以上實(shí)例中可以看出,函數(shù)簡(jiǎn)單易學(xué)如能靈活掌握函數(shù)的定義和特有性質(zhì),可以有效求解概率論中的復(fù)雜分布求解、密度函數(shù)求解、求解概率積分和數(shù)字特征等數(shù)學(xué)問題,而且可使計(jì)算過程大大簡(jiǎn)化,是一種有效的求解概率論中具體問題的數(shù)學(xué)方法并可為相關(guān)問題提供求解的方法和參考.有關(guān)函數(shù)在其他問題中的應(yīng)用也正在繼續(xù)探討之中.,參考文獻(xiàn)1譚琳. 函數(shù)札記M.杭州:浙江大學(xué)出版社.1997.2胡淑榮. 函數(shù)及應(yīng)用J. 哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào).2002,18(4):12-15.3魏宗舒等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程M. 北京: 高等教育出版社. 2008.4(美)M.R 斯皮格爾J.希勒R.A.斯里尼瓦桑.孫山澤,戴中維譯.概率與統(tǒng)計(jì)M.北京: 科學(xué)出版社.2002. 5趙樹媛.微積分M.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社.2000.6裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京:高等教育出版社.2002. 7趙興杰.高等代數(shù)教學(xué)研究M.西南師范大學(xué)出版社,2006：23-35. 致謝 轉(zhuǎn)眼間,到了大學(xué)即將畢業(yè)的時(shí)節(jié),時(shí)光雖匆匆,但美好往事仍歷歷在目.作為一名*的學(xué)子,我感到特別的榮幸,老師們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度是我學(xué)習(xí)的好榜樣,我也學(xué)到了許多知識(shí),感謝母校四年