復(fù)變函數(shù)與積分變換1

1、習(xí)題一解答A 類1求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、模與輻角。（1）； （2）； （3）； （4）解 （1）所以，,， （2）所以，.（3）所以， ，.（4）所以， =2如果等式成立，試求實(shí)數(shù)x, y為何值。解 由于比較等式兩端的實(shí)、虛部，得或解得。3求復(fù)數(shù)（復(fù)數(shù)）的實(shí)部、虛部和模。所以.4求的模。解 5若，試證：。解：然而即6將下列復(fù)數(shù)化成三角表示式和指數(shù)表示式。（1）i； （2）-1； （3）1+i； （4）； （5）； （6）解：（1）；（2）（3）；（4）；（5）=（6）7當(dāng)時，求的最大值，其中n為正整數(shù)，a為復(fù)數(shù)。解：由于，且當(dāng)時，有故為所求。8一個復(fù)數(shù)乘以-i，它的模與輻角有何改變

2、？解：設(shè)復(fù)數(shù)，則，可知復(fù)數(shù)的模不變，輻角減少。9如果多項(xiàng)式的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，證明：。證 事實(shí)上10試求下列各式的x與y(x, y都是實(shí)數(shù))。（1）(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i;（2）;（3）。解 （1）由(1+2i)x+(3-5i)y=1-3i，可得因此（2）由可得因此（3）由可得因此；其中若b>0，取同號，若b<0，取異號。11已知兩點(diǎn)與（或已知三點(diǎn)）問下列各點(diǎn)位于何處？（1）（2）（其中為實(shí)數(shù)）；（3）。解 令，則（1），知點(diǎn)z位于與連線的中點(diǎn)。（2），知點(diǎn)位于與連線上定比處。（3），由幾何知識知點(diǎn)z位于的重心處。12求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）

3、解 （1）（2）。（3）。可知的6個值分別是， ，。（4）?？芍?個值分別是。13指出下列各題中點(diǎn)z的存在范圍，并作圖。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（7）；（8）；（9）；（10）解：（1）以點(diǎn)為心，半徑為6的圓周（見下圖（a）；（2）以點(diǎn)為心，半徑為1的圓周及外部（見下圖（b）；（3）由于知點(diǎn)z的范圍是雙曲線及內(nèi)部（見下圖（c）；yx-2iiO（4），故知點(diǎn)z的范圍是直線y=3（見下圖（d）；iOyxy3ixO(d)(b)(a)(c)yxO-11（5）知點(diǎn)z的范圍是實(shí)軸（見下圖（e）；（6），即點(diǎn)z的范圍是以（-3,0）和（-1,0）為焦點(diǎn)，長半軸為2，短半軸為的一橢圓（

4、見下圖（f）；（7），即點(diǎn)z的范圍是以原點(diǎn)為心，為半徑的圓的外部（見下圖（g）；（8）即點(diǎn)z的范圍是直線以及為邊界的左半平面（見下圖（h）；（9）兩條以原點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)的射線為邊界所夾區(qū)域，不含邊界（見下圖（i）；（10）是以i為起點(diǎn)的射線（見下圖（j）；(e)yz-iiy5/2xxyx-2x(g)(j)y=x+1iyOy1/3O(f)xy/3-/3OxO(i)(h)14描出下列不等式所確定的區(qū)域，并指是有界的還是無界的，閉的還是開的，單連的還是多連的。（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）。解 （1）xyO不包含實(shí)軸的上半平面，是無界的、開的

5、單連通區(qū)域。（2）xy5O1圓的外部（不包括圓周），是無界的、開的多連通區(qū)域。（3）yOAxA由直線x = 0與x = 1所圍成的帶形區(qū)域，不包括兩直線在內(nèi)，是無界的、開的單連通區(qū)域。（4）yi2i3iOx以3i為中心，1與2分別為內(nèi)、外半徑的圓環(huán)域，不包括圓周，是有界的、開的多連通區(qū)域。yxDO-1（5）直線x = -1右邊的平面區(qū)域，不包括直線在內(nèi)，是無界的、開的單連通的區(qū)域。（6）xyargz=1由射線及構(gòu)成的角形域，不包括兩射線在內(nèi)，即為一半平面，是無界的、開的單連通區(qū)域。（7）OxD8/15-17/15y中心在點(diǎn)，半徑為的圓周的外部區(qū)域（不包括圓周本身在內(nèi)），是無界的、開的多連通區(qū)域

6、。x3/21/2yD（8）是以點(diǎn)為中心，與分別為內(nèi)、外半徑的圓環(huán)所圍的區(qū)域，包括邊界在內(nèi)，是有界的、閉的多連通區(qū)域。（9）x1/2-iiy2=1-2xDy是以拋物線為邊界的左方區(qū)域（不含邊界），是無界的、開的單連通區(qū)域。xyiD-6（10）是圓及其內(nèi)部區(qū)域，是有界的、閉的單連通區(qū)域。15證明：z平面上的直線方程可以寫成（a是非零復(fù)常數(shù)，C是實(shí)常數(shù)）證 設(shè)直角坐標(biāo)系的平面方程為將代入，得令，則，上式即為。16求下列方程（t是實(shí)參數(shù)）給出的曲線。（1）； （2）；（3）； （4），解（1）。即直線。（2），即為橢圓；（3），即為雙曲線；（4），即為雙曲線中位于第一象限中的一支。17試求（1）； （

7、2）。解 （1）（2）由于，從而。18試證不存在。證 設(shè)，則，于是顯然，k取不同值時，值也不同，故極限不存在。19試證在負(fù)實(shí)軸上（包括原點(diǎn)）不連續(xù)，除此而外在z平面上處處連續(xù)。證 設(shè)，因?yàn)閒(0)無定義，所以f(z)在原點(diǎn)z=0處不連續(xù)。當(dāng)z0為負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)時，即，有所以不存在，即在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。而argz在z平面上的其它點(diǎn)處的連續(xù)性顯然。20設(shè)函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)，且，證明存在z0的鄰域使。證 因?yàn)?，且?？扇。瑒t，當(dāng)時，有從而，即即點(diǎn)時，則。21如果f(z)在點(diǎn)z0處連續(xù)，證明也在點(diǎn)z0處連續(xù)。證 設(shè)，由f(z)在點(diǎn)處連續(xù)，知在點(diǎn)處連續(xù)，從而在點(diǎn)處連續(xù)。于是函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。又，根據(jù)冪函

8、數(shù)及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，知在點(diǎn)z0處是連續(xù)的。B類1試證：復(fù)數(shù)z1，z2，z3，z4在同一圓周上或同一直線上的條件是xyz4z3z2z1Oyxz2z1-z2z3-z2z3-z4z1-z4z1Oz4z3證明 設(shè)z1，z2，z3，z4四點(diǎn)共圓或共線，由上圖可知若記則，于是即=實(shí)常數(shù)，從而。2如果復(fù)數(shù)z1，z2，z3滿足等式證明，并說明這些等式的幾何意義。 由等式得即。又因?yàn)橛挚傻?，所以知是正三角形，從而?設(shè)z1，z2，z3三點(diǎn)適合條件：,。證明z1，z2，z3是內(nèi)接于單位圓的一個正三角形的頂點(diǎn)。證 由于，知的三個頂點(diǎn)均在單位圓上。因?yàn)樗?，又故，同理，知是?nèi)接于單位圓的一個正三角形。4設(shè)，試證。證

9、 由于及 有5如果，試證明（1）； （2）解 （1）（2）6（1）求方程的所有根（2）求微分方程的一般解。解 （1） k=0,1,2。即原方程有如下三個解： 。（2）原方程的特征方程有根，故其一般形式為7函數(shù)將z平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線？（1）； （2）；（3）； （4）解 ，可得（1），是平面上一圓周；（2），是平面上一直線；（3）由y = 1，知，從而此為是平面上一圓周；（4），于是，是平面上一平行與v軸的直線。8設(shè)有函數(shù)，試問它把z平面上的下列曲線分別變成平面上的何種曲線？（1）以原點(diǎn)為心，2為半徑，在第一象限里的圓弧。（2）傾角的直線（可以看成兩條射線及）。（3）雙曲線。解 （1）設(shè)，則，從而，所以，圓弧變?yōu)槠矫嫔系囊粭l圓?。?，。（2）射線變?yōu)樯渚€。射線變?yōu)樯渚€，可知這兩條射線是重合的，所以映射將直線變?yōu)樯渚€。（3）=，從而，是一條平行于虛軸的直線。9已知映射，求（1）點(diǎn)，在平面上的像。（2）區(qū)域在平面上的像。解 設(shè)，則。于是（1）經(jīng)映射后在平面上的像分別是，（2）因?yàn)橐栽c(diǎn)為頂點(diǎn)