平面一般力系

1、第四章 平面一般力系平面一般力系是靜力學(xué)的重點(diǎn)。前面討論的平面匯交力系和平面力偶系是平面一般力系的特殊情況，它們?yōu)閷W(xué)習(xí)本章打下基礎(chǔ)。平面一般力系的平衡問題在工程中經(jīng)常遇到，又是學(xué)習(xí)材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)部分的基礎(chǔ)。因此，切實(shí)掌握好本章內(nèi)容是學(xué)好本課程的關(guān)鍵。一、內(nèi)容提要（一）平面一般力系向任一點(diǎn)的簡化1. 簡化依據(jù)力的平移定理 當(dāng)一個(gè)力平行移動(dòng)時(shí)，必須附加一個(gè)力偶才能與原力等效，附加力偶的力偶矩等于原力對新作用點(diǎn)的矩。2. 簡化方法與初始結(jié)果平面一般力系各力向簡化中心平移平面力偶系平面匯交力系合成合成一個(gè)力。它的矢量稱為主矢FR=F，與簡化中心的位置無關(guān)一個(gè)力偶。它的力偶矩稱為主矩M0=M0（F）

2、，與簡化中心的位置有關(guān)3. 簡化的最后結(jié)果或者是一個(gè)力，或者是一個(gè)力偶，或者平衡。情 況最 后 結(jié) 果FR0，Mo=0一個(gè)力。作用線通過簡化中心，F(xiàn)R = FRFR0，Mo0一個(gè)力。作用線與簡化中心相距d= FR= FRFR=0，Mo0一個(gè)力偶。M=Mo與簡化中心位置無關(guān)FR=0，Mo=0平衡（二）平面力系的平衡方程力系類別平衡方程限制條件可求未知量數(shù)目一般力系(1)基本形式FX =0，F(xiàn)Y =0，M0=03(2)二力矩形式FX =0，MA=0，MB=0x軸不垂直于AB連線3(3)三力矩形式MA=0，MB=0，Mc=0A、B、C三點(diǎn)不共線3平行力系(1) FY =0，M0=02(2) MA=0

3、，MB=0AB連線不平行于各力作用線2匯交力系FX =0，F(xiàn)Y =02力偶系M=01（三）物體和物體系統(tǒng)的平衡問題熟悉平衡方程各種形式的目的，主要用來求解平衡問題的未知量。在求解單個(gè)物體和物體系統(tǒng)的平衡問題中，首先要確實(shí)掌握單個(gè)物體的平衡問題。解決好單個(gè)物體平衡問題的關(guān)鍵，在于對物體進(jìn)行受力分析，正確地畫出受力圖。求解物體系統(tǒng)的平衡問題，就是計(jì)算出物體系統(tǒng)的內(nèi)、外約束反力。解決問題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)剡x取研究對象，一般有兩種選取的方法：1先取整個(gè)物體系統(tǒng)作為研究對象，求得某些未知量；再取其中某部分物體（一個(gè)物體或幾個(gè)物體的組合）作為研究對象，求出其他未知量。2先取某部分物體作為研究對象，再取其他部

4、分物體或整體作為研究對象，逐步求得所有的未知量。不論取整個(gè)物體系統(tǒng)或是系統(tǒng)中某一部分作為研究對象，都可根據(jù)研究對象所受的力系的類別列出相應(yīng)的平衡方程去求解未知量。（四）考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)，必須掌握摩擦力的特點(diǎn)。摩擦力的特點(diǎn)以其大小和方向兩方面反映。摩擦力的大小隨主動(dòng)力的變化而變化，但又不能隨主動(dòng)力的增大而無限度地增大。根據(jù)兩物體間相對滑動(dòng)或相對滑動(dòng)趨勢的不同情況，摩擦力的大小有以下幾種可能。1、當(dāng)一個(gè)物體相對另一個(gè)物體靜止且沒有滑動(dòng)的趨勢時(shí)，兩物體間不產(chǎn)生摩擦力。2、當(dāng)一個(gè)物體相對于另一個(gè)物體有滑動(dòng)趨勢，但仍保持靜止時(shí)，兩物體間產(chǎn)生靜摩擦力，摩擦力的大小由平衡條件確定。

5、3、當(dāng)一個(gè)物體相對于另一個(gè)物體即將滑動(dòng)而處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，兩物體間的靜摩擦力達(dá)到最大值Fmax=fFN。4、當(dāng)兩物體產(chǎn)生相對滑動(dòng)時(shí)，接觸面間產(chǎn)生動(dòng)摩擦力F，F(xiàn)=fFN。摩擦力的方向與兩物體相對滑動(dòng)的趨勢或相對滑動(dòng)的方向相反。當(dāng)作用于物體上的主動(dòng)力的合力作用線在摩擦角范圍內(nèi)時(shí)，不論主動(dòng)力合力的大小如何，物體總能保持平衡，這稱為自鎖現(xiàn)象。在求解考慮摩擦的平衡問題時(shí)，要特別注意根據(jù)主動(dòng)力判別摩擦力的方向，摩擦力的方向不能隨意假設(shè)。通?？紤]的是臨界平衡狀態(tài)下，最大Fmax=fFN與相應(yīng)的平衡方程聯(lián)立求解。待解出未知量后，再根據(jù)題意分析未知量的變化范圍或確定未知量的極值。二、典型例題解析物體系統(tǒng)的平衡

6、問題是靜力學(xué)理論的綜合應(yīng)用，也是解題方法的綜合練習(xí)。它是靜力學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。解決物體系統(tǒng)平衡問題的關(guān)鍵在于（1）恰當(dāng)?shù)剡x取研究對象。這就要求我們根據(jù)所求，選擇能建立已知量和不多于三個(gè)未知量的物體，并正確地畫出受力圖。這是解決“能解不能解”的問題。（2）合理地列出平衡方程，以避免解聯(lián)立方程。采取何種形式，先求解哪個(gè)未知量，這是學(xué)生經(jīng)常遇到的問題。通常情況下。力矩方程的矩心應(yīng)先在多個(gè)未知量的交點(diǎn)上，投影方程的投影軸應(yīng)盡量與多個(gè)未知量垂直或平行。這又是解決“好解不好解”的問題。只有解決好這兩個(gè)問題，我們的每一個(gè)思路、每一個(gè)步驟才能做到有的放矢，心中有數(shù)。例 圖4-1所示多跨梁，AB段和BC段用鉸

7、鏈B連接，并支承于連桿1、2、3、4上。已知：AD = EC = 6m，AB = BC = 8m，a = 4m，= 60°，F(xiàn) =150 kN。求各連桿的反力。（空8行）圖4-1知識點(diǎn)：物體系統(tǒng)的平衡問題解 這是兩個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)問題。先畫出整體、AB和BC的受力圖，如圖4-2所示。若取整體有四個(gè)未知量，取兩個(gè)局部AB段或BC段同樣各有四個(gè)未知量。就總體而言，系統(tǒng)有六個(gè)未知量，AB段和BC段可各列出三個(gè)平衡方程，因此是可解的。但列出六個(gè)平衡方程求解六個(gè)未知量是很繁瑣的。通過上述分析，可采取以下的方法。（空18行）圖4-2 （1）取整體，如圖4-2a所示 MH = 0 16 F4

8、+ F3 ××16 =150×4 取BC，如圖4-2c所示 MB = 0 8 F4 + F3 ××2 = 0 由式、可解得：F3 =kN = 57.7 kN F4 = -12.5kN (2) 同理, 取整體，如圖4-2a所示 MG = 0 16 F1 + F2 ××16 =150×12 取AB，如圖4-2b所示 MB = 0 8 F1+ F2 ××2 = 150×4 由式、可解得：F1 = 62.5kN F2 =kN = 57.7 kN （3）校核。取整體 Fx = F1×-

9、 F3 × = 57.7×- 57.7×= 0 Fy = F1+ F2 ×+ F3 ×+ F4 F = (62.5 +×+×-12.5 -150 ) kN = 0可見計(jì)算無誤。三、思考題提示或解答4-1 如圖所示的三鉸拱上，有力FP作用于D點(diǎn)。根據(jù)力的平移定理將力FP平移至E點(diǎn)，并附加一個(gè)力偶矩M = 4FPa的力偶。試問力FP平移前后支座A、的反力有無影響？能不能這樣將力平移？為什么？ （空10行） 思4-1圖答：有變化。不能這樣平移。平移前AC是二力構(gòu)件，平移后BC成了二力構(gòu)件。平移前后受力分析見思解4-1圖。可見，平移

10、力必須是在同一物體上。（空10行） 思解4-1圖4-2 如圖所示，兩輪的半徑都是r。這兩種情況下力對輪的作用有何不同？ （空9行） 思4-2圖答： 根據(jù)力的平移定理，將圖a、b的力向圓心O平移。圖b只受到力偶矩為Fr的力偶作用，圖a除受到力偶矩為Fr的力偶作用外，在圓心支承處還受到力F的作用。所以，這兩種情況下對輪的作用效果是不同的。4-3 若平面力系向O點(diǎn)簡化，得到的主矢FR的方向和主矩M0的轉(zhuǎn)向如圖所示的各種情況，試分別確定它們的合力FR作用線的位置。(空10行)思4-3圖答： FR作用線的位置已標(biāo)于原圖上。其中：d=。4-4 平面一般力系的合力與其主矢的關(guān)系怎樣？在什么情況下主矢即為合力

11、。答：平面一般力系的合力與其主矢平行且相等。當(dāng)主矩為零時(shí)，主矢即是合力。4-5 在簡化一個(gè)已知平面力系時(shí)，選取不同的簡化中心，主矢和主矩是否不同？力系簡化的最后結(jié)果會不會改變？為什么？答： 選取不同的簡化中心時(shí)，主矢相同，主矩不同。 力系簡化的最后結(jié)果不會改變。這是因?yàn)樽鳛橐粋€(gè)已知平面力系，其對物體的作用效果便已確定，最后合成的結(jié)果也只能有一個(gè)。換言之，一個(gè)已知平面力系不可能與兩個(gè)不同的力同時(shí)等效。4-6 當(dāng)力系簡化的最后結(jié)果為一個(gè)力偶時(shí)，為什么主矩與簡化中心的選擇無關(guān)？答： 當(dāng)力系簡化的最后結(jié)果為一個(gè)力偶時(shí)，就說明原力系與一個(gè)力偶等效，而力偶對任意點(diǎn)的矩都恒等于力偶矩。所以，此時(shí)主矩與簡化中

12、心的選擇無關(guān)。4-7 圖示分別作用在一平面上A、B、C、D四點(diǎn)的四個(gè)力F1、F2、F3、F4，這四個(gè)力畫出的力多邊形剛好首尾相接。問：（1）此力系是否平衡？ （空10行16字距）（2）此力系簡化的結(jié)果是什么？ 思4-7圖答：（1）此力系不平衡，這不是平面匯交力系。 （2）此力系簡化的結(jié)果是一個(gè)順轉(zhuǎn)力偶。4-8 為什么說平面一般力系只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程？如圖中的梁能否列出四個(gè)平衡方程將四個(gè)反力FAx、FAy、FBy、FCy都求出？ （空10行） 思4-8圖 答： 平面一般力系有三種形式的平衡方程，每一種形式都只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，不管哪種形式的平衡方程，都是平面一般力系平衡的必要和充分條件，

13、即平面一般力系一旦滿足了某種形式的三個(gè)平衡方程，則此力系一定平衡，所寫的第四、第五個(gè)平衡方程都是前三個(gè)平衡方程的必然結(jié)果，都可以從前三個(gè)平衡方程中推導(dǎo)出來，因而不是獨(dú)立方程。所以平面一般力系只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。思4-8a圖所示的結(jié)構(gòu)，只有一個(gè)剛體，在它上面受到平面一般力系作用，其受力圖如圖4-8b所示。只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。利用Fx = 0，可求出FAx；再由Fy = 0和MA = 0只能得到FAy、FB和FC之間的關(guān)系，不能將這三個(gè)反力都求出。4-9 如圖所示的平面平行力系，如選取的坐標(biāo)系的y軸不與各力平行，則其平衡方程是否可寫成Fx= 0，F(xiàn)y= 0和MO = 0三個(gè)獨(dú)立的平衡方

14、程？為什么？答：對于平面平行力系，當(dāng)所選的直角坐標(biāo)系的y軸不與各力平行時(shí)，如思4-9所示。此時(shí)Fy= 0和MO = 0就是平面平行力系平衡的必要和充分條件，F(xiàn)x= 0不是獨(dú)立方程。證明如下：當(dāng)Fy= 0時(shí)，即F1cos-F2cos+F3cos=（ F1 -F2 +F3）cos= 0而 cos 0故 F1 -F2 +F3 = 0此時(shí)Fx=- F1sin+F2sin-F3sin=-( F1 -F2 +F3)sin= 0可見Fx = 0不是獨(dú)立方程。所以不論坐標(biāo)軸如何選取，平面平行力系都只能有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程。4-10 如圖所示，物體系統(tǒng)處于平衡。（1）試分別畫出各部分和整體的受力圖（2）要求各支

15、座的約束反力，研究對象應(yīng)怎樣選?。?提示：圖c中A、B、C處約束力不要分解)（空16行）思4-10圖答：（1）各部分和整體的受力圖如思解4-10圖a所示。先取DF，求出= 0；再取CD，求出、和；再分別取AC和DF，求出其余支座反力。（空10行）思解4-10圖a（2） 各部分和整體的受力圖如思解4-10圖b所示。先取整體求出、以及和的關(guān)系；再取AD或BC桿即可求得和。（空9行）思解4-10圖b（3）各部分和整體的受力圖如思解4-10圖c所示。先由整體平衡確定FA、FB的作用線，再由AC部分平衡確定FC的作用線。由整體平衡可得FA=FB，再由各部分平衡即可求出FA和FB。（空10行）思解4-10

16、圖c4-11 怎樣判斷靜定和靜不定問題？思4-11圖所示的三種情形中哪些是靜定問題，哪些是靜不定問題？（空8行）思4-11圖答：在物體或物體系統(tǒng)的平衡問題中，當(dāng)未知量的數(shù)目等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目時(shí)，全部未知量均可由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。反之，若未知量的數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅由平衡方程不能解出全部未知量來，這樣的問題稱為靜不定（或超靜定）問題。思4-11圖中各有三個(gè)未知量：a) 平面一般力系問題，有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，屬于靜定問題；b) 平面平行力系問題，有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，屬于超靜定問題；c) 平面匯交力系問題，有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，屬于超靜定問題。4-12如圖所示的物體

17、，重量均為W，接觸面間的摩擦系數(shù)均為f，要使物體向右滑動(dòng)，問哪一種施力方法比較省力？為什么？ （空8行）思4-12圖 答：圖b的正壓力顯然小于圖a的正壓力，摩擦力就較小。所以圖b的施力方法較為省力。4-13圖中砂子與膠帶間的靜摩擦系數(shù)f = 0.5。試問輸送帶的最大傾角是多少？（空8行）思4-13圖答：取單位重的砂為研究對象，畫出其受力圖如b所示。輸送帶達(dá)到最大傾角，即砂子在重力W正壓力FN與最大靜摩擦力Ffmax表共同作用下平衡，即W ·sin= FN·f = W ·cos·f即 tan= f = 0.5= arctan0.5 = 26.6°

18、所以，輸送帶的最大傾角為26.6°。4-14圖示兩物體接觸面間的靜摩擦系數(shù)f =0.2。試分析各物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并求所受到摩擦力的大小和方向。（空8行） 思4-14圖答：a) 靜止?fàn)顟B(tài)，無摩擦力。 b) 最大靜摩擦力 Ffmax = FN·f =（10-2×）×0.2 N =1.8N 牽引力 FT = 2× N = 1.732N < Ffmax物體處于靜止?fàn)顟B(tài)。Ff = 1.732N ，水平向左。 c) 最大靜摩擦力 Ffmax = FN·f =10×0.2 N = 2N牽引力 FT = 2 N = Ff 。物體處于臨

19、界平衡狀態(tài)。Ff 水平向左。d) FT = 3N > Ffmax = 2N物體向右滑動(dòng)。Ff = 2N，水平向左。四、習(xí)題解答4-1 某廠房柱，高9m，柱上段BC重W1 = 8kN，下段CO重W2 = 37kN，柱頂水平力FP=6kN，各力作用位置如圖所示。試將各力向柱底中心O點(diǎn)簡化。 （空14行）題4-1圖 解 以柱底中心O為簡化中心，由式（4-2）、（4-3）可求得主矢和主矩FX = -6 kNFY = ( - 8- 37)kN = -45kN主矢 主矩 Mo（FP）=（6×9）kN·m=54 kN·mMo（W1）=（8×0.1）kN·

20、;m=0.8 kN·mMo=Mo（F）=（54+0.8）kN·m=54.8 kN·m簡化結(jié)果如圖b所示。4-2 重力壩受力情況如圖所示。設(shè)壩的自重分別為W1 = 9600kN，W2 = 21600kN，水壓力FP =10120kN。試將這力系向壩底O點(diǎn)簡化，并求此力系合力的大小、方向和作用線位置。解 各力向壩底O點(diǎn)簡化主矢 主矩Mo=MO（F）=（-10120×15-9600×4-21600×20）kN·m=-622200 kN·m 計(jì)算結(jié)果為負(fù)，表明Mo是順時(shí)針轉(zhuǎn)向。d =根據(jù)Mo的實(shí)際轉(zhuǎn)向，可確定最后合力FR的

21、方向和位置如圖b所示。4-3 在圖示等邊三角形板的A、B、C三點(diǎn)上，分別作用有大小均為FP的力，其方向如圖所示。試求此三力的合成結(jié)果。設(shè)三角形板的邊長為a。解 各力向A點(diǎn)簡化 Fx = FP- FP ×- FP ×= 0 FY = -FP×+ FP× = 0 （空10行16字寬）所以 FR= 0 題4-3圖 Mo= FP××a = 0.866 FPa由此可見，原力系與一個(gè)力偶等效，其力偶矩為0.866 FPa 。4-4 鋼筋混凝土構(gòu)件如圖所示，已知各部分的重量為W1=2kN，W2= W4 =4kN，W3=8kN。試求這些重力的合力。（

22、空10行）題4-4圖解 各力向中間O點(diǎn)簡化，這樣做比較簡便。 FR= W1+ W2+ W3+ W4 = 18kN（） Mo=MO（F）=（2×0.7+4×0.5-4×0.5）kN·m=1.4kN·m(Q)d = 根據(jù)Mo實(shí)際轉(zhuǎn)向，可確定FR的方向和位置，如圖b所示。提示：若向另外的點(diǎn)簡化，Mo和d的數(shù)值會與上述計(jì)算不同，但最終FR 的位置不會改變，讀者可自行驗(yàn)算。4-5 求圖示各梁的支座反力。（空8行）題4-5圖解 先畫出各梁的受力圖（空8行） 題解4-5圖a) FX = 0 FAx - 18 = 0MA = 0 6FB +18×1-

23、6×6×3 = 0MB = 0 -6FAy+ 18×1+6×6×3 = 0解方程組得 FA x = 18 kN（） FA y = 21 kN（） FB = 15 kN（）校核 FY = (15+21- 6×6)kN = 0可見計(jì)算無誤。b) FX=0 FAx - 10 × = 0FY=0 FA y 5 -10 × = 0Mo（F）=0 MA - 5×2 -10 ××4 = 0解方程組得 FA x = 7.07 kN（） FA y = 12.07 kN（） FB = 38.28 kN&#

24、183;m (Q) 校核 MB = （5×2 +38.28 -12.07×4 ）kN·m = 0可見計(jì)算無誤。c) FX = 0 -FAx + 2 ×= 0MA = 0 4FB -1.5 -2××6 = 0MB = 0 4FAy-1.5 -2××2 = 0解方程組得 FA x = 1kN（） FA y = 1.24 kN（） FB = 2.97 kN ()校核 FY = (2.97 -1.24 -2×)kN = 0 可見計(jì)算無誤。4-6 求圖示剛架的支座反力（空20行）題4-6解 先畫出各剛架的受力圖a)

25、 列平衡方程 FX=0 FAx = 0 （空10行16字）FY=0 FA y 4×3 = 0 題解4-6圖aMA=0 MA +8 - 4×3×1.5 = 0解方程組得 FAx = 0 FA y = 12 kN () MA = 10 kN·m (Q)b) 列平衡方程 FX=0 -FAx + 6 ×4 = 0 （空10行16字） MA=0 6FB -20×2-20×4-6×4×2 = 0 題解4-6圖b MB = 0 20×2+20×4+6×4×2 -4FAx - 6

26、FA y = 0解方程組得 FAx = 24kN（） FA y = 12 kN () FB = 28kN ()校核 FY = 12 +28-20-20 = 0可見計(jì)算無誤。c) 列平衡方程 FX=0 -FAx + 4 = 0 （空10行16字） MA=0 4FB -4×3-2×4×2 = 0 題解4-6圖c MB = 0 - 4 FA y -4×3+2×2 = 0解方程組得 FAx = 4 kN（） FA y = 1 kN () FB = 7 kN ()校核 FY = 1 +7-2×4 = 0可見計(jì)算無誤。d) 列平衡方程 FX=0

27、-FAx + 5×4 = 0 （空10行16字） MA=0 6FB +20 -10 -50×3-5×4×2 = 0 題解4-6圖d MB = 0 - 6 FA y -10-2FAx +50×3+2 0 = 0解方程組得 FAx = 20 kN（） FA y = 20 kN () FB = 30 kN ()校核 FY = （20 +30 -50）kN = 0可見計(jì)算無誤。4-7 某廠房柱高9m，受力作用如圖所示。已知FP1 = 20kN，F(xiàn)P2 = 40kN，F(xiàn)P3 = 6kN，q = 4kN/m，F(xiàn)P1、FP2至柱軸線的距離分別為e1、e2，e

28、1 = 0.15m，e2 = 0.25m。試求固定端支座A的反力。（空14行）題4-7圖解 取廠房柱為研究對象，畫出其受力圖如b所示。列平衡方程 FX=0 -FAx + 4×9 6 = 0 FY=0 FA y 20 40 = 0MA=0 MA + 6×9 + 20×0.15 - 40×0.25 - 4×9×4.5 = 0解方程組得 FAx = 30 kN（） FA y = 60 kN () MA = 115 kN·m (Q)4-8 圖示雨篷結(jié)構(gòu)簡圖，水平梁AB上受均布荷載q =10kN/m，B端用斜桿BC拉住。求鉸鏈A、C處

29、的約束反力。(空9行)題4-8圖解 取整體為研究對象，BC為二力桿，畫出其受力圖如b所示。列平衡方程（用三力矩式比較簡便）MA = 0 FC ×0.8 ×3 - 12 ×4 ×2 = 0MB = 0 12 ×4 ×2 - 4 FA y = 0MC = 0 FAx ×3 - 12 ×4 ×2 = 0解方程組得 FAx = 32 kN（） FA y = 24 kN () FC = 40 kN ()校核 FY = （24 + 40×0.6 -12×4 ）kN = 0可見計(jì)算無誤。4-9 如圖

30、所示，拱形桁架的一端A為固定鉸支座，另一端B為可動(dòng)鉸支座，其支承與水平面成30°角。桁架自重W = 100kN，風(fēng)壓力的合力FP = 20kN，其方向水平向左。試求支座反力。(空10行)題4-9圖解 取拱形桁架為研究對象，畫出受力圖如b所示列平衡方程FX = 0 FB ×-20- FAx = 0FY = 0 FB ×+ FA y -100 = 0MA= 0 20 ×4 + 100 ×10 + FB ××20 = 0解方程組得 FAx = 11.18 kN（） FA y = 46 kN () FB = 62.35 kN ()校

31、核 MB = （20 ×4-100 ×10 + 46×20）kN = 0 可見計(jì)算無誤。4-10 梁AB用三根鏈桿a、b、c支承，荷載如圖示。已知FP = 80kN，M = 49kN·m，求這三根鏈桿的反力。(空10行)題4-10圖解 取梁AB為研究對象，畫出其受力圖如b所示。列平衡方程FX=0 - 80×+ FB ×= 0MA= 0 7 FC - 80××5 - FB ××2 -49 = 0MC = 0 -7FA -49 + 80××2 + FB × ×

32、5 = 0解方程組得 FA = 41.37 kN（） FB = 56.57 kN ()FC = 67.92 kN（）校核 FY = （41.37 + 67.92 - 80×- 56.57 ×）kN = 0可見計(jì)算無誤。4-11 圖示兩根外徑d =250mm的管道擱置在T形支架上，支架的間距l(xiāng) = 8m，已知管道的重量W0=1.48kN/m，管道傳給支架的總重W1作用在支架的A、B點(diǎn)；A處的管道受到由左向右的水平風(fēng)荷載，沿管道長度風(fēng)壓力q = 0.1kN/m，風(fēng)力的合力Fq作用于迎風(fēng)面的中點(diǎn)；支架的水平風(fēng)荷載q0 = 0.14kN/m；支架自重W2 =12kN。柱與基礎(chǔ)之間用

33、細(xì)石混凝土填實(shí)。求柱腳C處的約束反力。（空15行）題4-11圖解 這是一個(gè)工程實(shí)例。根據(jù)實(shí)際情況，柱腳C處可視為固定端支座。管道的自重、管道的風(fēng)荷載分別為W1 = W0×8 = 1.48×8 kN =11.84 kNFq = q×8 = 0.1×8 kN = 0.8 kN進(jìn)而做出支架的受力圖如b所示。列平衡方程FX = 0 - FCx +0.14 ×3 + 0.8 = 0FY = 0 FC y -11.84×2-12 = 0MC= 0 MC - 0.8 ×3.125 - 0.14×3×2.5 = 0解方程

34、組得 FCx = 1.22 kN（） FC y = 35.68 kN（） MC = 3.55 kN·m (Q)4-12 求圖示各梁的支座反力（空18行）題4-12圖解 各梁受力都是平行力系，固定鉸或固定端支座的水平分力都等于零。先畫受力圖，再列出二力矩式，最后以FY = 0進(jìn)行校核。a) 列平衡方程 MA = 0 6FB -10×2 ×1 - 25 ×4 ×4 = 0 (空8行16字)MB = 0 10 ×2 ×5+25 ×4 ×2 - 6 FA = 0 題解4-12圖a解方程組得 FA = 50 kN（

35、） FB = 70 kN ()校核 FY = （50 + 70 -10×2 - 25 ×4）kN = 0可見計(jì)算無誤。b) 列平衡方程 FY = 0 FA -8×1= 0 (空8行16字)MA= 0 MA + 8 ×1×1.5 -15 = 0 題解4-12圖b解方程組得 FA = 8 kN（） MA = 3 kN·m (Q)c) 列平衡方程 MA = 0 6FB + 6 -20 ×4 - 10 = 0 (空8行16字) MB = 0 - 6 FA -10 +6 + 20 ×2 = 0 題解4-12圖c解方程組得 F

36、A = 6 kN（） FB = 14 kN ()校核 FY = （6 + 14 -20）kN = 0可見計(jì)算無誤。d) 列平衡方程 FY = 0 FA -2×2 -8= 0 (空8行16字)MA= 0 MA -2×2 ×1 -8×3 = 0 題解4-12圖d解方程組得 FA = 12 kN（） MA = 28 kN·m (Q)e) 列平衡方程 MA = 0 3FB + 8 -20 ×1- 4×2 ×3 = 0 (空8行16字) MB = 0 - 3 FA + 8 + 20 ×2 = 0 題解4-12圖e解

37、方程組得 FA = 16 kN（） FB = 12 kN ()校核 FY =（1 6 + 12 -20 - 4×2）kN = 0可見計(jì)算無誤。f) 列平衡方程 MA = 0 2.5FB a -qa×3a = 0 (空8行16字) MB = 0 2.5FAa -qa×0.5a = 0 題解4-12圖f解方程組得 FA = 0.2qa（） FB = 1.2qa ()校核 FY = 1.2qa -0.2qa - qa = 0可見計(jì)算無誤。4-13 求圖示各梁的支座反力。除圖a斜梁AC上的均布荷載沿梁的長度分布外，其余的均布荷載都是沿水平方向分布的。(空12行)題4-13

38、圖a 、c解 這是樓梯斜梁的受力計(jì)算，仍為平面平行力系問題。因此，水平方向反力為零。a) 受力圖如cAC = 3× m = 3.464 m列平衡方程MA = 0 4.2FB -3×3.464×1.5 - 4 ×1.2×3.6 = 0 MB = 0 - 4.2FA +3×3.464×（1.5 + 1.2）+ 4 ×1.2×0.6 = 0 解方程組得 FA = 7.366 kN（） FB = 7.826 kN ()校核 FY = （7.366+7.826 - 4.8 -3×3.464）kN = 0可

39、見計(jì)算無誤。b）受力圖如d（空12行）題4-13b、d列平衡方程MA = 0 4.2FB -4×3×1.5 - 2×1.2×3.6 = 0 MB = 0 - 4.2FA +4×3×（1.5 + 1.2）+ 2×1.2×0.6 = 0 解方程組得 FA = 8.057 kN（）8.06 FB = 6.343 kN ()11.34校核 FY = （8.057+6.343 - 12 -2.4）kN = 0可見計(jì)算無誤。4-14如圖所示，在均質(zhì)梁AB上鋪設(shè)有起重機(jī)軌道，起重機(jī)重50kN，其重心在鉛直線CD上，重物的重量為W

40、1=10kN，梁重30kN，尺寸如圖。求當(dāng)起重機(jī)的伸臂和梁AB在同一鉛直面內(nèi)時(shí)，支座A和B的反力。（空12行）題4-14圖解 取整體為研究對象，起重機(jī)與梁之間輪壓可視為內(nèi)力，畫出其受力圖如b所示。屬平面平行力系問題。列平衡方程MA = 0 10FB -50×3 - 30×5 -10×7 = 0MB = 0 - 10FA +50×7+ 30×5+10×3 = 0解方程組得 FA = 53 kN（） FB = 37 kN ()校核 FY =（53 +37 - 50 -30 -10 ）kN = 0可見計(jì)算無誤。4-15水平梁AB由鉸鏈A和桿

41、BC所支承，如圖所示。在梁上D處用銷子安裝半徑為r=0.1m的滑輪。有一跨過滑輪的繩子，其一端水平系于墻上，另一端懸掛有重W=1.8kN的重物。如AD = 0.2m，BD = 0.4m，= 45°，且不計(jì)梁、桿、滑輪和繩的重量。試求鉸鏈A和桿BC對梁的反力。（空10行）題4-15圖解 取整體為研究對象，畫出其受力圖如b所示。 列平衡方程MA = 0 1.8×0.1+FNBC ××0.6 -1.8×0.3= 0 MB = 0 1.8×0.1+1.8×0.3 -FAy×0.6 = 0 FX = 0 FAx -1.8 -

42、 FNBC ×= 0解方程組得 FNBC = 0.85 kN（） FAx = 2.4kN（） FAy = 1.2 kN（）校核 FY =（1.2 +0.85 ×-1.8）kN = 0可見計(jì)算無誤。4-16 求圖示各組合梁的支座反力（空14行）題4-16圖解 這四個(gè)小題都是平面平行力系的物體系統(tǒng)平衡問題，即FAx 都為零。解題的要點(diǎn)是理清思路，力求做到簡捷、清晰、準(zhǔn)確。a) 先分別畫出AC、CE及整體的受力圖如題解4-16圖a所示，其未知量個(gè)數(shù)分別為5、3、4。所以只能從取CE開始。（空9行）題解4-16圖aMC = 0 FE = kN = 2 kN（）再取整體 MA = 0

43、 FB = kN = 3 kN（） MB = 0 FA= kN =1 kN（）校核 FY =（3 +2 -1- 4）kN = 0可見計(jì)算無誤。b) 先分別畫出AC、CD及整體的受力圖如題解4-16圖b所示。（空9行）題解4-16圖b取CD MC = 0 FD = kN =2 0kN（）再取整體 MA = 0 MA = （20×5-6×2-40）kN·m = 48 kN·m (P) FY = 0 FA =（20-6）kN =14 kN（） 校核 MC = （20×2 + 6×1+14×3 -48 -40 ）kN·m

44、= 0 可見計(jì)算無誤。c) 先分別畫出AC、CE及整體的受力圖如題解4-16圖c所示。（空9行）題解4-16圖c取CE MC = 0 FD = kN = 5.33kN（）再取整體MA = 0 FB = kN = 17.5kN（）MB = 0 FA= kN = 4.83kN（）校核 FY =（17.5 +5.33-10 -2×4-4.83）kN = 0可見計(jì)算無誤。d) 先分別畫出AB及整體的受力圖如題解4-16圖d所示。（空9行）題解4-16圖d取AB MB = 0 FA= kN =10kN（）再取整體MC = 0 MC =（5×8×6+12×2 -10

45、×10）kN·m = 164kN·m（P）MA = 0 FC = kN =42kN（）校核 FY =（10 +42-5×8-12）kN = 0可見計(jì)算無誤。4-17求圖示各靜定平面剛架的支座反力（空20行）題4-17圖解 a) 先分別畫出DB及整體的受力圖如題解4-17圖a所示。（空10行）題解4-17圖a 取DB MD = 0 FB = kN = 2 kN（） 取整體FX = 0 FAx = 5 kN FY = 0 FAy = （2×6-2）kN=10 kN（）MA = 0 MA = （2×6×3-2×6）+5&

46、#215;3kN·m = 39 kN·m(Q)校核 MB =（2×6×3 +24 -10×6）kN·m = 0可見計(jì)算無誤。b) 此結(jié)構(gòu)與教材例4-12三鉸剛架屬同類。因此，可采用同樣的方法。先分別畫出AC、CB及整體的受力圖如題解4-17圖b所示。（空13行）題解4-17圖b取整體MA = 0 FB y = kN = 25 kN（）MB = 0 FAy = kN =5 kN（）校核 FY =（25 -5 -10×2）kN = 0 可見計(jì)算無誤。取CBMC = 0 FB x = kN = 2.5 kN（）取ACMC = 0

47、FA x = kN = 2.5 kN（）校核 取整體 FX =（5 -2.5 -2.5）kN = 0可見計(jì)算無誤。c) 先分別畫出DC及整體的受力圖如題解4-17圖c所示。（空13行）題解4-17圖c取DCMD = 0 FC= kN = 15 kN（）取整體MA = 0 FB = kN = 30 kN（）注意，上式中10×9×4.5一項(xiàng)是將均布荷載合并所得。MB = 0 FAy = kN =45 kN（#）FX = 0 FAx = 30 kN（"） 校核 FY =（45+30+ 15 -10×9）kN = 0可見計(jì)算無誤。d) 先分別畫出CD及整體的受力

48、圖如題解4-17圖d所示。（空13行）題解4-17圖d取CDMC = 0 FD = kN = 6 kN（） 取整體MB = 0 FA = kN = 0 MA = 0 FBy = kN = 12 kN（）FX = 0 FBx = 0校核 取整體 FY =（12 + 6 - 6 -3×4）kN = 0可見計(jì)算無誤。4-18圖示結(jié)構(gòu)中梁AB上作用有均布荷載q=4kN/m，各桿自重均不計(jì)。試求CD和DE兩桿所受的力。（空12行）題4-18圖解 求CD、DE兩桿內(nèi)力，需先取AB求出DB桿受力。先畫出AB桿及鉸鏈D的受力圖如b、c所示。取AB （平面一般力系）MA = 0 FNBD = kN =

49、 6 kN（） 再取鉸鏈D （平面匯交力系） FY = 0 FNBD ×= 6 FX = 0 -FNBD ×-FNCD = 0解方程組得 FNCD = -10.4 kN（） FNDE = 12 kN（）4-19如圖所示三鉸拱，求支座A、B的反力及鉸鏈C的約束反力。 (空22行)題4-19圖解 此結(jié)構(gòu)為三鉸拱，與題4-17 b的三鉸剛架計(jì)算思路相同。先分別畫出AC、CB及整體的受力圖，如題4-19圖b、c、d所示。取整體MA = 0 FB y = 1.25qa（）MB = 0 FAy = 0.75qa（）校核 FY = 0.75qa +1.25qa -2qa = 0 可見計(jì)算無誤