§柯西黎曼積分

1、第4章柯西-黎曼積分及其應(yīng)用和推廣.因?yàn)楸?黎曼與牛頓-萊布尼茨積分不同，柯西-黎曼積分是建立在近代極限理論地基礎(chǔ)上 篇中暫時(shí)避開了近代極限理論，所以我們也只能用“無限接近”地說法來定義柯西 積分同樣，關(guān)于柯西-黎曼積分地性質(zhì)，我們也只能用幾何圖形來說明§ 4-1柯西-黎曼積分地定義及其性質(zhì)1. 柯西-黎曼積分地定義 設(shè)函數(shù)f (x)定義在區(qū)間a,b上.首先用分點(diǎn):a =X0 : Xi : X2 :： IH :： Xi 丄：:：Xi ：:： I I | : Xnj < Xn =b把區(qū)間a,b劃分成n個(gè)小區(qū)間，并用.兇n表示最大小區(qū)間地長度.柯西在19世紀(jì)初，建 議把函數(shù)f (x

2、)在區(qū)間a,b上地積分定義為“極限”7blim 、f (Xi)(Xi Xi/) = f (x)dx <圖 4-1 )-ai丄【注意】不能把其中地|纓n T 0改寫為n T ,因?yàn)閚 T °O時(shí)不一定有|糾n T 0 .后來，德國數(shù)學(xué)家黎曼y(Riemann，18在，國內(nèi)多數(shù)教科書中都采用黎曼關(guān)-2>Xi)(又把柯西關(guān)于積分地定義做了修改設(shè)函數(shù)f (X)定義在有限 (開、閉或半開半閉第一步，用任意劃分f(yXa,i)上第二步，在每一個(gè)小區(qū)間上都a記為p>把區(qū)間nXiX24意取八、卅、圖4-1個(gè)小區(qū)間0二b4KXn訂上取地那i,做出積分和Gn =Oa(X?1 1，-2,

3、111C ：XpXi -細(xì)-)b x7 圖 4-2第三步，讓所有小區(qū)間都無限變小，即讓最大小區(qū)間地長度AX n T 0，若有極限if(g"i =!而且與區(qū)間地劃分方法P和每一個(gè)小區(qū)間上那一點(diǎn) i (1引乞n)地選取方法都無關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積分(簡稱可積 >,并稱極限值i Mbim ' f( j Xi - ；f (x)dx(4-1> XL-0 i 丄i ¥為函數(shù)f (X)在區(qū)間a, b上地積分上述定義比較長，你可按“劃分區(qū)間=做出積分和二取極限”記憶它請讀者注意， 極限(4-1>不是第1章中說地函數(shù)極限，因?yàn)槠渲械胤e分和；二=n(

4、Pi2，lll，n)不僅與劃分區(qū)間地方法 P有關(guān)，而且也與每個(gè)小區(qū)間上取地那一點(diǎn) (1乞n)有關(guān).要進(jìn)一步說明白它，需要用近代極限概念地“；”說法，即極限(4-1>地定義是任意給定正數(shù) z(不論它多么小 >,都有對應(yīng)地正數(shù) 6 = 6(g),使對區(qū)間a,b) 地任意劃分P(a=Xo VX1<Xnd cXn =b)和點(diǎn)© wxXi(1蘭i蘭n)地任意選取，只要最大小區(qū)間地長度| <6 ,就有i 土 瓦f (匕)AXi CT蘭名i=1讀者可以暫時(shí)不管它.但是，你要閱讀本篇有地注釋和第二篇時(shí)，就必須記住它.柯西-黎曼積分同牛頓-萊布尼茨積分是有區(qū)別地 見后面地注釋.

5、為了把兩者區(qū)別 開來，后來人們把它們分別記成了bb(C-R) f(x)dX 與(N-L) f(x)dx'aL a現(xiàn)在，除數(shù)學(xué)史書外，人們說地積分都是指柯西 -黎曼積分.因此，以后若不特別聲明，記號bf (x)d x就表示柯西-黎曼積分.a特別，對于有限區(qū)間a，b上地常值函數(shù)f(x)三c來說，因?yàn)閷τ趨^(qū)間a，b地任意劃 分方法P，總有i ni wi -n'、 f()味=' e x =c'xi =c(ba)i 4i 4i J所以b口cdx lim ' clk =c(ba)aXln 0 vi '丿bbb特別，把c=1時(shí)地積分1 dx簡記成 dx.于是，

6、dx二b-a.a' a' a例1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積.證明：lim丄 Jbf(x)dxn*|_n yI nb-a'a證如圖4-3:因?yàn)楹瘮?shù)是可積地 是,積分和數(shù)為i勻Zi d(可將區(qū)間弋a(chǎn)m分成a 2(b _a),而每份地長度為1似工(b - a)f n .于xbi Bbf ( i Y ：xi = 'i =1& - a因此,i(ba) 1丁 f i (b _ a) _ a lim 瓦 f a+ vb -a n 廠 v .bb_a af(X)dX1 i - lim' Unban閉區(qū)間上地連續(xù)函數(shù)是可積柯西指出，積分地存在性是要證明地，

7、并且他最早證明了 分地.按照柯西-黎曼積分地定義，.在柯西之后，由他地同胞達(dá)布，1842-1917證明了有界函數(shù)可積地充分必要條件(可積準(zhǔn)則 .根據(jù)它可以證無界函數(shù)不可積見后面注釋,有界函數(shù)也不一定可積見后面注釋. 因此，關(guān)于函數(shù)可積性地討論只限制在有界函數(shù)就可以了明:只有有限個(gè)間斷點(diǎn)地有界函數(shù)或單調(diào)有界函數(shù)也都是可積分地，將放到第二篇中來證請注意，可積函數(shù)也可能有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)！上面指出地這些結(jié)論【注釋】大于預(yù)先給岀地任何正數(shù).因此,當(dāng)無界函數(shù)不可積(或可積函數(shù)必有界 設(shè)f(x)在有限區(qū)間a，b.上是無界函數(shù).不妨認(rèn)為它在點(diǎn) ce a，b地近旁是無界地，即只要x足夠接近點(diǎn)c,就能夠使f (x

8、)把區(qū)間a, b任意劃分成n個(gè)小區(qū)間時(shí)，可以適當(dāng)?shù)剡x擇點(diǎn)c所在地小區(qū)間上那個(gè)點(diǎn) ',使|f()lx|足 夠大，以致使積分和數(shù)i-n = "" f ( i Kxi地絕對值也足夠大(如大于預(yù)先給出地任何正數(shù)M .因此,當(dāng)最大小區(qū)間地長度|鋼nT 0時(shí),積分和數(shù)二n地絕對值(隨著那個(gè)點(diǎn)地適當(dāng)選擇 就會無限制地變大.這就是說，不可能會有極限i zB' f( ) ：xi x0i即函數(shù) f(x) 在區(qū)間a,b上是不可積地.這個(gè)結(jié)論也可以說成(逆否命題 ：可積函數(shù)必有界.有界函數(shù)不一定可積例如狄利克雷函數(shù)(見第0章：D(x) =1( x為有理數(shù),D(x) =0( x為無理

9、數(shù).將區(qū)間-.a, b (a : b)任意劃分成n個(gè)小區(qū)間后，總有i 士i出(小和 Sn 二 V D( i).'：Xi 二 V 0Xi 二0 i 為無理數(shù))；i 4i =1ii =a(大和 Sn =為 D( O'xi1Xi =ba為有理數(shù)).i =1y因?yàn)閝Sb Jlim pSn,所以狄利克雷函數(shù) D(x)在任意有限區(qū)間:a,b上不可積分.函數(shù)圖4-4f(x) _ ，X = c V見圖 4-4) ()一 0,X =C在含點(diǎn)c地任何區(qū)間a, b上沒有原函數(shù)(見§ 2-4>, 因此它在這個(gè)區(qū)間上沒有牛頓-萊布尼茨積分.可是， 它有柯西-黎曼積分，因?yàn)?blim 、

10、f ( i)LXi =0 = f (x)dxZin0 *'a而函數(shù)2 . 1x sin 2 , x 嚴(yán)0 G(x)二x20,x = 0地導(dǎo)數(shù)1 2 12 x sincos , x 二 0G (x)二x2 xx20,x=0有原函數(shù)G(x),所以函數(shù)g(x) =G(x)在任何區(qū)間a,b上有牛頓-萊布尼茨積分，但它在含點(diǎn)0地 區(qū)間上沒有柯西-黎曼積分因?yàn)間(x) =G (x)在點(diǎn)0近旁是無界地！.2. 柯西-黎曼積分地性質(zhì) 柯西-黎曼積分具有下面這些性質(zhì)：ba當(dāng)a b時(shí), f(x)dx=i f(x)dx(調(diào)換上下限時(shí)添負(fù)號 >.<積分地有向性)'aL b這是因?yàn)樵诜e分地定

11、義中，a = XoXiX2丨)XiXi川XnXn= b從而=X| = Xi - x：0地緣故.作為合理地規(guī)定，a f(x)dx=0 (上下限相同時(shí)，積分等于0> a關(guān)于柯西-黎曼積分地下述性質(zhì)，除了“可積性”問題外，它與牛頓-萊布尼茨積分 中地結(jié)論在形式上是一樣地.若函數(shù)f(x)和g(x)在有限區(qū)間 a,b 上可積，和一：為常數(shù),則:f(xl- g(x) 在區(qū)間a,b,上也可積，而且有bbb卜f (x) 5'g(x) Idx = . f(x)dx亠i g(x)dx (積分運(yùn)算地線性性質(zhì)>aaa下面地性質(zhì)，從幾何上說是很明顯地，可是要證明其中地“可積性”，需要第二篇中講地可積

12、準(zhǔn)則.設(shè)a :c：b.函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上可積地充分必要條件是f (x)在區(qū)間a,c和c,b上都可積，而且有bcbf (x)dx = f (x)dx亠I f (x)dx (積分對區(qū)間地可加性 >aac它地幾何解釋見圖4-5.、y = f(x) 迴數(shù)f(x)在最大地區(qū)間 等式仍然成立譬如，函數(shù)f x)在區(qū)同cbl (ca bX上可積時(shí),因?yàn)椋?f(x)dx= f(x)dx(x)dx = _ f(x)dx x)dxcc.圖 4-5-a- ay =f(x)出，當(dāng) c ba : b或 a : b需<y=f(x),則上面地-X移項(xiàng),所以有bcbf (x)dx f (x)dx 亠 I

13、f (x)dx a' a' cbb若f(x) _g(x),且有積分f (x)dx和g(x)dx,則有特別,若mMf(y jx)下面地性質(zhì)若f (°而且abbf(x)dx E g(x)dx (圖 4-6,a' a<M調(diào)性，則有b< f(x)dxM(b a.篇中. X在區(qū)間a,b上可積EU f (x)在區(qū)間a,Q圖4-6a)分值地估計(jì)上也可積(相反地結(jié)論不成立積分運(yùn)算地單調(diào)性yMm>bJ f (x)d < f | f (x) dx (a <b)若f (x) 和 g(x)在區(qū)間a,b上都可積,則乘積f (x)g(x)在區(qū)間a,b上也可積

14、.設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上可積.若另有函數(shù)F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)且在開 區(qū)間(a,b)內(nèi)是函數(shù)f(x)地原函數(shù)，即F&)二f(x)(a ： x ：b),則有bf (x)dx二F(b) - F(a)(柯西-黎曼積分中地牛頓-萊布尼茨公式a證將區(qū)間a,b劃分成n等份：a =X0 :人：X2 ：: x 4 Xi： )1( : Xnv ： Xn = b則F(b) F(a)=上(和F(Xn/)HIF(Xn_4)F(Xn/)l+H|+F(X1)F(Xg)i =n(微分中值定理)i -ni =n八 F任)-F(Xij)F(i)：Xi 八 f(i)Xii =1i =1i=1當(dāng)n t型時(shí),最

15、大小區(qū)間地長度| &| n =(b -a)/n t 0 ,所以 注意左端是常數(shù))有b二 f (x)dxai =nF(b) -F(a) = lim ' f ( J -一im若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積，則作為變上限地積分Xf (t)dt (a上x上b)關(guān)于上 a限x是連續(xù)函數(shù).證令 F(x)= f (t)dt (a ex 乞 b),則'ax：$；xx.：F(x) =F(x .：x) F(x)f(t)dt f(t)dtL aL ax-xf(t)dtx注意f (x)在區(qū)間a,b上有界 設(shè)f(x)乞M ),所以有X地|AF(x)| = Jf(t)dt* xX地f f (t)

16、 dt 蘭MQx|t O(Axt 0)L x即 lim F(x)=0.因此,函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)例2 設(shè)函數(shù)u(t)二0, t ： 0 單位躍階函數(shù)，圖4-8)xU(x)二 u(t)dt,L 0并研究函數(shù)U (x)地連續(xù)性和可微性求變上限積分解當(dāng)x ：:0時(shí)，U(x)y xi u(t)dt =0 :而當(dāng) x K0時(shí)，U (x) = J b 01dx = x .即U (x)二可見 盡管u(t)不是連續(xù)函數(shù)，但U(x)是連續(xù)函數(shù)(圖4-9.lx，X 蘭 0 圖 4-8圖 4-9其次，顯然函數(shù)U (x)在任意點(diǎn)x = 0都是可微分地，而在點(diǎn)0是不可微分地，因?yàn)閁 _(0) = 0=U . (0)

17、= 1習(xí)題和選解1.若y二f(x)(X _0)為增函數(shù)，且f (0) =0,則有abf(x)dx f'(y)dy_ab(a 0，b0)楊格(Young)不等式 0 0證增函數(shù)地反函數(shù)也是增函數(shù)，而單調(diào)有界函數(shù)是可積地f f (x)dx版 £f F&*)dy = ab '0 bf(x) a f (x)dP f '4(ay)dy ab 0 0同理，當(dāng)b f(a)時(shí)圖則也有 第1題圖當(dāng)b ： f(a)時(shí)Oa.當(dāng)河=f (a)時(shí)圖，則abf (x)dx 亠 I f '(y)dy ab 0 0【注】用楊格不等式可以證明赫爾竇 (Holder)不等式u ap bqab < 1 1其中a,b, p,q均為正數(shù)，且-=1.q p事實(shí)上，在楊格不等式中，令y = f (