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1、第八章 圓錐曲線方程考點(diǎn)闡釋圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,這部分內(nèi)容的特點(diǎn)是:(1)曲線與方程的基礎(chǔ)知識(shí)要求很高,要求熟練掌握并能靈活應(yīng)用.(2)綜合性強(qiáng)在解題中幾乎處處涉及函數(shù)與方程、不等式、三角及直線等內(nèi)容,體現(xiàn)了對(duì)各種能力的綜合要求(3)計(jì)算量大要求學(xué)生有較高的計(jì)算水平和較強(qiáng)的計(jì)算能力試題類編一、選擇題1.(2003京春文9,理5)在同一坐標(biāo)系中,方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(ab0)的曲線大致是( )2.(2003京春理,7)橢圓(為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )A.(0,0),(0,8) B.(0,0),(8,0)C.(0,0),(0,8) D.(0,0),(8,0)3.(
2、2002京皖春,3)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得|PQ|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )A.圓 B.橢圓C.雙曲線的一支 D.拋物線4.(2002全國(guó)文,7)橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2),那么k等于( )A.1 B.1 C. D. 5.(2002全國(guó)文,11)設(shè)(0,),則二次曲線x2coty2tan1的離心率的取值范圍為( )A.(0,) B.()C.() D.(,)6.(2002北京文,10)已知橢圓和雙曲線1有公共的焦點(diǎn),那么雙曲線的漸近線方程是( )A.x±B.y±C.x±D.y±7.(2
3、002天津理,1)曲線(為參數(shù))上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是( )A. B. C.1 D.8.(2002全國(guó)理,6)點(diǎn)P(1,0)到曲線(其中參數(shù)tR)上的點(diǎn)的最短距離為( )A.0 B.1 C. D.29.(2001全國(guó),7)若橢圓經(jīng)過原點(diǎn),且焦點(diǎn)為F1(1,0),F(xiàn)2(,0),則其離心率為( )A.B.C.D.10.(2001廣東、河南,10)對(duì)于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q,點(diǎn)P(a,0)都滿足|PQ|a|,則a的取值范圍是( )A.(,0) B.(,2 C.0,2 D.(0,2)11.(2000京皖春,9)橢圓短軸長(zhǎng)是2,長(zhǎng)軸是短軸的2倍,則橢圓中心到其準(zhǔn)線距離是( )A. B
4、. C. D.12.(2000全國(guó),11)過拋物線y=ax2(a0)的焦點(diǎn)F用一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn),若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p、q,則等于( )A.2a B. C.4a D.13.(2000京皖春,3)雙曲線1的兩條漸近線互相垂直,那么該雙曲線的離心率是( )A.2 B. C. D.14.(2000上海春,13)拋物線y=x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )A.(0,) B.(0,) C.(,0) D.(,0)15.(2000上海春,14)x=表示的曲線是( )A.雙曲線 B.橢圓C.雙曲線的一部分D.橢圓的一部分16.(1999上海理,14)下列以t為參數(shù)的參數(shù)方程所表示的曲線中,與xy=1所表示
5、的曲線完全一致的是( )A. B. C. D.17.(1998全國(guó)理,2)橢圓=1的焦點(diǎn)為F1和F2,點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,那么|PF1|是|PF2|的( )A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍18.(1998全國(guó)文,12)橢圓=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)P在橢圓上.如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上,那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( )A.± B.±C.±D.±19.(1997全國(guó),11)橢圓C與橢圓,關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱,橢圓C的方程是( )A.B.C.D.20.(1997全國(guó)理,9)曲線的參數(shù)方程是(t是參數(shù),t0),它的普通方程是( )A.
6、(x1)2(y1)1 B.yC.yD.y121.(1997上海)設(shè)(,),則關(guān)于x、y的方程x2cscy2sec=1所表示的曲線是( )A.實(shí)軸在y軸上的雙曲線 B.實(shí)軸在x軸上的雙曲線C.長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓 D.長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓22.(1997上海)設(shè)k1,則關(guān)于x、y的方程(1k)x2+y2=k21所表示的曲線是( )A.長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓 B.長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓C.實(shí)軸在y軸上的雙曲線 D.實(shí)軸在x軸上的雙曲線23.(1996全國(guó)文,9)中心在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=±4,離心率為的橢圓方程是( )A.1 B.1C.y21D.x2124.(1996上海,5)將橢圓1繞其左焦點(diǎn)按逆
7、時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,所得橢圓方程是( )A.B.C.D.25.(1996上海理,6)若函數(shù)f(x)、g(x)的定義域和值域都為R,則f(x)>g(x)(xR)成立的充要條件是( )A.有一個(gè)xR,使f(x)>g(x)B.有無窮多個(gè)xR,使得f(x)>g(x)C.對(duì)R中任意的x,都有f(x)>g(x)+1D.R中不存在x,使得f(x)g(x)26.(1996全國(guó)理,7)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )A.(3,5),(3,3) B.(3,3),(3,5)C.(1,1),(7,1)D.(7,1),(1,1)27.(1996全國(guó)文,11)橢圓25x2150x+9y2+18
8、y+9=0的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )A.(3,5),(3,3) B.(3,3),(3,5)C.(1,1),(7,1) D.(7,1),(1,1)28.(1996全國(guó))設(shè)雙曲線=1(0ab)的半焦距為c,直線l過(a,0),(0,b)兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線l的距離為c,則雙曲線的離心率為( )A.2 B. C. D.29.(1996上海理,7)若0,則橢圓x2+2y22xcos+4ysin=0的中心的軌跡是( )30.(1995全國(guó)文6,理8)雙曲線3x2y23的漸近線方程是( )A.y=±3xB.y±xC.y±x D.y±31.(1994全國(guó),2)如果方程x2
9、ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )A.(0,)B.(0,2) C.(1,)D.(0,1)32.(1994全國(guó),8)設(shè)F1和F2為雙曲線y21的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,且滿足F1PF290°,則F1PF2的面積是( )A.1 B. C.2 D.33.(1994上海,17)設(shè)a、b是平面外任意兩條線段,則“a、b的長(zhǎng)相等”是a、b在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等的( )A.非充分也非必要條件 B.充要條件C.必要非充分條件D.充分非必要條件34.(1994上海,19)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的方程是y=cosx,現(xiàn)在平移坐標(biāo)系,把原點(diǎn)移到O(,),則在坐標(biāo)系xOy中,
10、曲線C的方程是( )A.y=sinx+ B.y=sinx+C.y=sinx D.y=sinx二、填空題圖81 35.(2003京春,16)如圖81,F(xiàn)1、F2分別為橢圓=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,POF2是面積為的正三角形,則b2的值是_.36.(2003上海春,4)直線y=x1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_.37.(2002上海春,2)若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(1,0),F(xiàn)2(5,0),長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為10,則橢圓的方程為 38.(2002京皖春,13)若雙曲線1的漸近線方程為y±x,則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 39.(2002全國(guó)文,16)對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線,給出下列條件
11、:焦點(diǎn)在y軸上;焦點(diǎn)在x軸上;拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6;拋物線的通徑的長(zhǎng)為5;由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線,垂足坐標(biāo)為(2,1)能使這拋物線方程為y210x的條件是 (要求填寫合適條件的序號(hào))40.(2002上海文,8)拋物線(y1)24(x1)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 41.(2002天津理,14)橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2),那么k 42.(2002上海理,8)曲線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_.43.(2001京皖春,14)橢圓x24y24長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)為A,以A為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形,該三角形的面積是 44.(2001上海,3)設(shè)P為雙曲線y21上一動(dòng)
12、點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為線段OP的中點(diǎn),則點(diǎn)M的軌跡方程是 45.(2001上海,5)拋物線x24y30的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 46.(2001全國(guó),14)雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線上,若PF1PF2,則點(diǎn)P到x軸的距離為 .47.(2001上海春,5)若雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),焦距為10,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.48.(2001上海理,10)直線y=2x與曲線(為參數(shù))的交點(diǎn)坐標(biāo)是_.49.(2000全國(guó),14)橢圓1的焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí),點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_.50.(2000上海文,3)圓錐曲線1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_.51.(2000上海理,
13、3)圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_.52.(1999全國(guó),15)設(shè)橢圓=1(ab0)的右焦點(diǎn)為F1,右準(zhǔn)線為l1,若過F1且垂直于x軸的弦的長(zhǎng)等于點(diǎn)F1到l1的距離,則橢圓的離心率是 .53.(1999上海5)若平移坐標(biāo)系,將曲線方程y2+4x4y4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程,則坐標(biāo)原點(diǎn)應(yīng)移到點(diǎn)O ( ) .54.(1998全國(guó),16)設(shè)圓過雙曲線=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),圓心在此雙曲線上,則圓心到雙曲線中心的距離是 .55.(1997全國(guó)文,17)已知直線xy=2與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn),那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是_.56.(1997上海)二次曲線(為參數(shù))的左焦點(diǎn)坐標(biāo)是_.57.(1996上海,16)
14、平移坐標(biāo)軸將拋物線4x28xy50化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2ay(a0),則新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是 58.(1996全國(guó)文,16)已知點(diǎn)(2,3)與拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)的距離是5,則p=_.59.(1996全國(guó)理,16)已知圓x2+y26x7=0與拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線相切,則p=_.60.(1995全國(guó)理,19)直線L過拋物線y2a(x+1)(a>0)的焦點(diǎn),并且與x軸垂直,若L被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4,則a= .61.(1995全國(guó)文,19)若直線L過拋物線y24(x+1)的焦點(diǎn),并且與x軸垂直,則L被拋物線截得的線段長(zhǎng)為 .62.(1995上海,15)把參數(shù)
15、方程(是參數(shù))化為普通方程,結(jié)果是 63.(1995上海,10)雙曲線=8的漸近線方程是 .64.(1995上海,14)到點(diǎn)A(1,0)和直線x=3距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是 .65.(1994全國(guó),17)拋物線y284x的準(zhǔn)線方程是 ,圓心在該拋物線的頂點(diǎn)且與其準(zhǔn)線相切的圓的方程是 66.(1994上海,7)雙曲線x2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是 .三、解答題67.(2003上海春,21)設(shè)F1、F2分別為橢圓C: =1(ab0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).(1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1,)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌
16、跡方程;圖82(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明.68.(2002上海春,18)如圖82,已知F1、F2為雙曲線(a0,b0)的焦點(diǎn),過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P,且PF1F230°求雙曲線的漸近線方程69.(2002京皖文,理,22)已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(4,0)、F2(4,0),過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B,且|F1B|F2B|10橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,
17、y1)、C(x2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列()求該橢圓的方程;()求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo);()設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為ykxm,求m的取值范圍70.(2002全國(guó)理,19)設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M(1,0)、N(1,0)距離之差為2m,到x軸、y軸距離之比為2求m的取值范圍圖8371.(2002北京,21)已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是OBC的三個(gè)頂點(diǎn)如圖83.()寫出OBC的重心G,外心F,垂心H的坐標(biāo),并證明G、F、H三點(diǎn)共線;()當(dāng)直線FH與OB平行時(shí),求頂點(diǎn)C的軌跡72.(2002江蘇,20)設(shè)A、B是雙曲線x21上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,2)是線段
18、AB的中點(diǎn)()求直線AB的方程;()如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn),那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓,為什么?73.(2002上海,18)已知點(diǎn)A(,0)和B(,0),動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2,點(diǎn)C的軌跡與直線y=x2交于D、E兩點(diǎn),求線段DE的長(zhǎng)74.(2001京皖春,22)已知拋物線y22px(p0).過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,|AB|2p.()求a的取值范圍;()若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求NAB面積的最大值.75.(2001上海文,理,18)設(shè)F1、F2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上的一點(diǎn)已知P、F1、
19、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且|PF1|PF2|,求的值76.(2001全國(guó)文20,理19)設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BCx軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.77.(2001上海春,21)已知橢圓C的方程為x2+=1,點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+1,過點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn),求:(1)點(diǎn)Q的軌跡方程;(2)點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).78.(2001廣東河南21)已知橢圓+y2=1的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上,且BCx軸.求證:
20、直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).圖8479.(2000上海春,22)如圖84所示,A、F分別是橢圓1的一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn),位于x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)T(t,0)與F的連線交射影OA于Q求:(1)點(diǎn)A、F的坐標(biāo)及直線TQ的方程;(2)OTQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式S=f(t)及其函數(shù)的最小值;(3)寫出S=f(t)的單調(diào)遞增區(qū)間,并證明之80.(2000京皖春,23)如圖85,設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y24px(p0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),已知OAOB,OMAB,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線81.(2000全國(guó)理,22)如圖86,已知梯形ABCD中,|AB|2|C|,點(diǎn)E分有向線段所成的比為,雙曲
21、線過C、D、E三點(diǎn),且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí),求雙曲線離心率e的取值范圍圖85 圖86 圖8782.(2000全國(guó)文,22)如圖87,已知梯形ABCD中|AB|2|CD|,點(diǎn)E分有向線段所成的比為,雙曲線過C、D、E三點(diǎn),且以A、B為焦點(diǎn)求雙曲線離心率圖8883.(2000上海,17)已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(,0)和F2(2,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)84.(1999全國(guó),24)如圖88,給出定點(diǎn)A(a,0)(a0)和直線l:x=1.B是直線l上的動(dòng)點(diǎn),BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.注:文
22、科題設(shè)還有條件a185.(1999上海,22)設(shè)橢圓C1的方程為=1(ab0),曲線C2的方程為y=,且C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)P.()試用a表示點(diǎn)P的坐標(biāo).()設(shè)A、B是橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn),當(dāng)a變化時(shí),求ABP的面積函數(shù)S(a)的值域;()設(shè)miny1,y2,yn為y1,y2,yn中最小的一個(gè).設(shè)g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長(zhǎng)的正方形的面積,求函數(shù)f(a)=ming(a),S(a)的表達(dá)式.86.(1998全國(guó)理,24)設(shè)曲線C的方程是y=x3x,將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t、s單位長(zhǎng)度后得曲線C1.()寫出曲線C1的方程;()證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A()對(duì)稱;圖89(
23、)如果曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),證明s=t且t0.87.(1998全國(guó)文22,理21)如圖89,直線l1和l2相交于點(diǎn)M,l1l2,點(diǎn)Nl1.以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線段C的方程.88.(1998上海理,20)(1)動(dòng)直線y=a與拋物線y2=(x2)相交于A點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,3a),求線段AB中點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)D(2,0)的直線l交上述軌跡C于P、Q兩點(diǎn),E點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0),若EPQ的面積為4,求直線l的傾斜角的值.89.(1997上海)拋
24、物線方程為y2=p(x+1)(p0),直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線的右邊.(1)求證:直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn);(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為Q、R,OQOR,求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達(dá)式;(3)(文)在(2)的條件下,若拋物線焦點(diǎn)F到直線x+y=m的距離為,求此直線的方程;(理)在(2)的條件下,若m變化,使得原點(diǎn)O到直線QR的距離不大于,求p的值的范圍.90.(1996全國(guó)理,24)已知l1、l2是過點(diǎn)P(,0)的兩條互相垂直的直線,且l1、l2與雙曲線y2x21各有兩個(gè)交點(diǎn),分別為A1、B1和A2、B2.()求l1的斜率k1的取值范圍;()(理)若|A1B1|A2B2|,求
25、l1、l2的方程.圖810(文)若A1恰是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn),求|A2B2|的值.91.(1996上海,23)已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn),且與以點(diǎn)A(,0)為圓心,1為半徑的圓相切,雙曲線S的一個(gè)頂點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱.設(shè)直線l過點(diǎn)A,斜率為k.(1)求雙曲線S的方程;(2)當(dāng)k=1時(shí),在雙曲線S的上支上求點(diǎn)B,使其與直線l的距離為;(3)當(dāng)0k1時(shí),若雙曲線S的上支上有且只有一個(gè)點(diǎn)B到直線l的距離為,求斜率k的值及相應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo),如圖810.圖81192.(1995全國(guó)理,26)已知橢圓如圖811,1,直線L:1,P是L上一點(diǎn),射線OP交橢圓于點(diǎn)R,又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ
26、|·|OP|OR|2.當(dāng)點(diǎn)P在L上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.93.(1995上海,24)設(shè)橢圓的方程為1(m,n>0),過原點(diǎn)且傾角為和(0的兩條直線分別交橢圓于A、C和B、D兩點(diǎn),()用、m、n表示四邊形ABCD的面積S;()若m、n為定值,當(dāng)在(0,上變化時(shí),求S的最小值u;()如果>mn,求的取值范圍.94.(1995全國(guó)文,26)已知橢圓=1,直線l:x=12.P是直線l上一點(diǎn),射線OP交橢圓于點(diǎn)R.又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|2.當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.95.(1994全
27、國(guó)理,24)已知直線L過坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上,若點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,8)關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上,求直線L和拋物線C的方程.96.(1994上海,24)設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,1),長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度之比為t(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q、點(diǎn)P在該直線上,且,當(dāng)t變化時(shí),求點(diǎn)P的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形.答案解析1.答案:D解析一:將方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程:.因?yàn)閍b0,因此,0,所以有:橢圓的焦點(diǎn)在y軸,拋物線的開口向左,得D選項(xiàng).解析二:將方程ax+
28、by2=0中的y換成y,其結(jié)果不變,即說明:ax+by2=0的圖形關(guān)于x軸對(duì)稱,排除B、C,又橢圓的焦點(diǎn)在y軸.故選D.評(píng)述:本題考查橢圓與拋物線的基礎(chǔ)知識(shí),即標(biāo)準(zhǔn)方程與圖形的基本關(guān)系.同時(shí),考查了代數(shù)式的恒等變形及簡(jiǎn)單的邏輯推理能力.2.答案:D解析:利用三角函數(shù)中的平方和關(guān)系消參,得=1,c2=16,x4=±4,而焦點(diǎn)在x軸上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為:(8,0),(0,0),選D.如果畫出=1的圖形,則可以直接“找”出正確選項(xiàng).評(píng)述:本題考查將參數(shù)方程化為普通方程的思想和方法,以及利用平移變換公式進(jìn)行邏輯推理,同時(shí)也考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.答案:A解析:由第一定義得,|PF1|+|
29、PF2|為定值|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PQ|為定值,即|F1Q|為定值.4.答案:B解析:橢圓方程可化為:x2+=1焦點(diǎn)(0,2)在y軸上,a2=,b2=1,又c2=a2b2=4,k=15.答案:D解析:(0,),sin(0,),a2=tan,b2=cotc2=a2+b2=tan+cot,e2=,e=,e(,+)6.答案:D解析:由雙曲線方程判斷出公共焦點(diǎn)在x軸上橢圓焦點(diǎn)(,0),雙曲線焦點(diǎn)(,0)3m25n2=2m2+3n2m2=8n2又雙曲線漸近線為y=±·x代入m2=8n2,|m|=2|n|,得y=±x7.答案:D解析:設(shè)曲線上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距
30、離之和為dd=|x|+|y|=|cos|+|sin|設(shè)0,d=sin+cos=sin(+)dmax=.圖8128.答案:B解法一:將曲線方程化為一般式:y2=4x點(diǎn)P(1,0)為該拋物線的焦點(diǎn)由定義,得:曲線上到P點(diǎn),距離最小的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn).解法二:設(shè)點(diǎn)P到曲線上的點(diǎn)的距離為d由兩點(diǎn)間距離公式,得d2=(x1)2+y2=(t21)2+4t2=(t2+1)2tR dmin2=1 dmin=19.答案:C解析:由F1、F2的坐標(biāo)得2c31,c1,又橢圓過原點(diǎn)ac1,a1c2,又e,選C.10.答案:B解析:設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,y0),由 |PQ|a|,得y02+(a)2a2.整理,得:y02(y
31、02+168a)0,y020,y02+168a0.即a2+恒成立.而2+的最小值為2.a2.選B.11.答案:D解析:由題意知a=2,b=1,c=,準(zhǔn)線方程為x=±,橢圓中心到準(zhǔn)線距離為12.答案:C圖813解析:拋物線y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)式為x2y,焦點(diǎn)F(0,).取特殊情況,即直線PQ平行x軸,則p=q.如圖813,PFPM,p,故13.答案:C解析:漸近線方程為y=±x,由·()1,得a2b2,ca,e14.答案:B解析:y=x2的標(biāo)準(zhǔn)式為x2y,p,焦點(diǎn)坐標(biāo)F(0,)15.答案:D解析:x=化為x23y21(x0)16.答案:D解析:由已知xy=1可知x、y同
32、號(hào)且不為零,而A、B、C選項(xiàng)中盡管都滿足xy=1,但x、y的取值范圍與已知不同.17.答案:A 解析:不妨設(shè)F1(3,0),F(xiàn)2(3,0)由條件得P(3,±),即|PF2|=,|PF1|=,因此|PF1|=7|PF2|,故選A.評(píng)述:本題主要考查橢圓的定義及數(shù)形結(jié)合思想,具有較強(qiáng)的思辨性,是高考命題的方向.18.答案:A 解析:由條件可得F1(3,0),PF1的中點(diǎn)在y軸上,P坐標(biāo)(3,y0),又P在=1的橢圓上得y0=±,M的坐標(biāo)(0,±),故選A.評(píng)述:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及運(yùn)算能力.19.答案:A 解析:將已知橢圓中的x換成y,
33、y換成x便得橢圓C的方程為1,所以選A.評(píng)述:本題考查了橢圓的方程及點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題.20.答案:B 解法一:由已知得t,代入y1t2中消去t,得y1,故選B.解法二:令t1,得曲線過(0,0),分別代入驗(yàn)證,只有B適合,故選B.評(píng)述:本題重點(diǎn)考查參數(shù)方程與普通方程的互化,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力21.答案:C解析:由已知得方程為=1由于(,),因此sin0,cos0,且|sin|cos|原方程表示長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓.22.答案:C解析:原方程化為=1由于k1,因此它表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線.23.答案:A 解析:由已知有a2,c1,b23,于是橢圓方程為1,故選A.圖814評(píng)述:本題考查了橢圓
34、的方程及其幾何性質(zhì),以及待定系數(shù)法和運(yùn)算能力.24.答案:C解析:如圖814,原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到O,則O(4,4)為旋轉(zhuǎn)后橢圓的中心,故旋轉(zhuǎn)后所得橢圓方程為1所以選C.25.答案:D 解析:R中不存在x,使得f(x)g(x),即是R中的任意x都有f(x)>g(x),故選D.26.答案:B 解析:可得a3,b5,c4,橢圓在新坐標(biāo)系中的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±4),在原坐標(biāo)系中的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),(3,5),故選B.評(píng)述:本題重點(diǎn)考查橢圓的參數(shù)方程、坐標(biāo)軸的平移等基本知識(shí)點(diǎn),考查數(shù)形結(jié)合的能力27.答案:B解析:把已知方程化為=1,a=5,b=3,c=4橢圓的中
35、心是(3,1),焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,3)和(3,5).28.答案:A解析:由已知,直線l的方程為ay+bxab=0,原點(diǎn)到直線l的距離為c,則有,又c2=a2+b2,4ab=c2,兩邊平方,得16a2(c2a2)=3c4,兩邊同除以a4,并整理,得3e416e2+16=0e2=4或e2=.而0ab,得e2=2,e2=4.故e=2.評(píng)述:本題考查點(diǎn)到直線的距離,雙曲線的性質(zhì)以及計(jì)算、推理能力.難度較大,特別是求出e后還須根據(jù)ba進(jìn)行檢驗(yàn).29.答案:D解析:把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得+(y+sin)2=1.橢圓中心的坐標(biāo)是(cos,sin).其軌跡方程是0,.即+y2=1(0x,1y0).30.答案
36、:C 解法一:將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x21,其焦點(diǎn)在x軸上,且a=1,b=,故其漸近線方程為y±x±x,所以應(yīng)選C.解法二:由3x2y20分解因式得y±x,此方程即為3x2y23的漸近線方程,故應(yīng)選C.評(píng)述:本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì).31.答案:D 解析:原方程可變?yōu)?,因?yàn)槭墙裹c(diǎn)在y軸的橢圓,所以,解此不等式組得0<k<1,因而選D.評(píng)述:本題考查了橢圓的方程及其幾何意義以及解不等式的方法,從而考查了邏輯思維能力和運(yùn)算能力.32.答案:A 解法一:由雙曲線方程知|F1F2|2,且雙曲線是對(duì)稱圖形,假設(shè)P(x,),由已知F1PF2 P,有
37、,即,因此選A.解法二:S=b2cot=1×cot45°=1.評(píng)述:本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩條直線垂直的條件、三角形面積公式以及運(yùn)算能力.33.答案:A 解析:a、b長(zhǎng)相等a、b在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等,因此選A.34.答案:B解析:由已知得平移公式代入曲線C的方程,得y=cos(x+).即y=sinx+.35.答案:2解析:因?yàn)镕1、F2為橢圓的焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且正POF2的面積為,所以S=|OF2|·|PO|sin60°=c2,所以c2=4.點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)分別為c,即P(1,)在橢圓上,所以有=1,又b2+c2=a2,解得b2=2.評(píng)
38、述:本題主要考查橢圓的基本知識(shí)以及基本計(jì)算技能,體現(xiàn)出方程的思想方法.36.答案:(3,2)解法一:設(shè)直線y=x1與拋物線y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2),其中點(diǎn)為P(x0,y0).由題意得,(x1)2=4x,x26x+1=0.x0=3.y0=x01=2.P(3,2).解法二:y22=4x2,y12=4x1,y22y12=4x24x1=4.y1+y2=4,即y0=2,x0=y0+1=3.故中點(diǎn)為P(3,2).評(píng)述:本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法.37.答案: =1解析:由兩焦點(diǎn)坐標(biāo)得出橢圓中心為點(diǎn)(2,0),焦半徑c=3長(zhǎng)
39、軸長(zhǎng)為10,2a=10,a=5,b=4橢圓方程為=138.答案:(±,0)解析:由雙曲線方程得出其漸近線方程為y=±xm=3,求得雙曲線方程為=1,從而得到焦點(diǎn)坐標(biāo).39.答案:,解析:從拋物線方程易得,分別按條件、計(jì)算求拋物線方程,從而確定.40.答案:(2,1)解析:拋物線(y1)2=4(x1)的圖象為拋物線y2=4x的圖象沿坐標(biāo)軸分別向右、向上平移1個(gè)單位得來的.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0)拋物線(y1)2=4(x1)的焦點(diǎn)為(2,1)41.答案:1解析:橢圓方程化為x2+=1焦點(diǎn)(0,2)在y軸上,a2=,b2=1又c2=a2b2=4,k=142.答案:(0,
40、1)解析:將參數(shù)方程化為普通方程:(y1)2=4(x+1)該曲線為拋物線y2=4x分別向左,向上平移一個(gè)單位得來.43.答案:解析:原方程可化為y21,a24,b21a2,b1,c當(dāng)?shù)妊苯侨切危O(shè)交點(diǎn)(x,y)(y0)可得2xy,代入曲線方程得:y S×2y244.答案:x24y21解析:設(shè)P(x0,y0) M(x,y) 2xx0,2yy04y21x24y2145.答案:(0,)解析:x24y3x24(y)y1,y,坐標(biāo)(0,)46.答案:解析:設(shè)|PF1|M,|PF2|n(mn)a3 b4 c5mn m2n24c2m2n2(mn)2m2n2(m2n22mn)2mn4×
41、253664mn32.又利用等面積法可得:2c·ymn,y47.答案: =1解析:由已知a=3,c=5,b2=c2a2=16又頂點(diǎn)在x軸,所以標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.48.答案:()解析:代入得y12x22x2y1 解方程得:交點(diǎn)坐標(biāo)為()49.答案:解析:已知a29,b24,c,由余弦定理,F(xiàn)1PF2是鈍角,1cosF1PF20,即,解得評(píng)述:本題也可以通過PF1PF2時(shí),找到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.類似問題,在高考命題中反復(fù)出現(xiàn),本題只是改變了敘述方式.50.答案:(6,0),(4,0)解析:令原方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式a216,b29,c225,c5,在新坐標(biāo)系下焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±5,0)又由
42、解得和所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),(4,0)51.答案:(4,0),(6,0)解析:由得由22,得1令把上式化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1在新坐標(biāo)系下易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±5,0),又由解得 和,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),(4,0).52.答案:解析:由題意知過F1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為 ,即e=評(píng)述:本題重點(diǎn)考查了橢圓的基本性質(zhì).53.答案:(2,2)解析:將曲線方程化為(y2)2=4(x2).令x=x2,y=y2,則y2=4x,h=2,k=2坐標(biāo)原點(diǎn)應(yīng)移到(2,2).圖81554.答案: 解析:如圖815所示,設(shè)圓心P(x0,y0)則|x0|4,代入1,得y02 |OP|評(píng)述:本題重點(diǎn)考查雙曲線的對(duì)稱
43、性、兩點(diǎn)間距離公式以及數(shù)形結(jié)合的思想.55.答案:(4,2) 解析:將xy=2代入y24x得y24y80,由韋達(dá)定理y1y24,AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)y2,橫坐標(biāo)xy24故AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)評(píng)述:本題考查了直線與曲線相交不解方程而利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及代入法等數(shù)學(xué)方法.56.答案:(4,0)解析:原方程消去參數(shù),得=1左焦點(diǎn)為(4,0).57.答案:(1,1) 解析:將4x28xy50配方,得(x1)2(y1),令則即新坐標(biāo)系的原點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(1,1).58.答案:4解析:拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0),由兩點(diǎn)間距離公式,得=5.解得p=4.59.答案:2解析:
44、已知圓的方程為(x3)2+y2=42,圓心為(3,0),半徑r=4.與圓相切且垂直于x軸的兩條切線是x=1,x=7(舍)而y2=2px(p0)的準(zhǔn)線方程是x=.圖816由=1,得p=2,p=2.60.答案:4解析:如圖816,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4,則拋物線過點(diǎn)A(1,2),將其代入方程y2a(x1)中得 4a(11),a±4,因a>0,故a=4.評(píng)述:本題考查了拋物線方程及幾何性質(zhì),由對(duì)稱性設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)以及數(shù)形結(jié)合法、待定系數(shù)法、代入法等基本方法.圖81761.答案:4解析:如圖817,拋物線y24(x1)中,p=2, =1,故可求拋物線的
45、焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),于是直線L與y軸重合,將x=0代入y24(x1)中得y=±2,故直線L被拋物線截得的弦長(zhǎng)為4.62.答案:x2+(y1)2=163.答案:y=±x解析:把原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得=1由此可得a=4,b=3,焦點(diǎn)在x軸上,所以漸近線方程為y=±x,即y=±x.64.答案:y2=8x+8解析:由拋物線定義可知點(diǎn)的軌跡為拋物線,焦點(diǎn)為A(1,0),準(zhǔn)線為x=3.所以頂點(diǎn)在(1,0),焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=4,開口向左.y2=8(x1),即y2=8x+8.65.答案:x=3 (x2)2+y2=1解析:原方程可化為y2=4(x2),p=2,頂點(diǎn)(
46、2,0),準(zhǔn)線x=+3, 即x=3,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,即為半徑,則所求圓的方程是(x2)2+y2=1.66.答案:(0,),(0,)67.解:(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4,得2a=4,即a=2.又點(diǎn)A(1,)在橢圓上,因此=1得b2=3,于是c2=1.所以橢圓C的方程為=1,焦點(diǎn)F1(1,0),F(xiàn)2(1,0).(2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x1,y1),線段F1K的中點(diǎn)Q(x,y)滿足:, 即x1=2x+1,y1=2y.因此=1.即為所求的軌跡方程.(3)類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線:=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM
47、、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,n),其中=1.又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由,得kPM·kPN=,將m2b2代入得kPM·kPN=.評(píng)述:本題考查橢圓的基本知識(shí),求動(dòng)點(diǎn)軌跡的常用方法.第(3)問對(duì)考生的邏輯思維能力、分析和解決問題的能力及運(yùn)算能力都有較高的要求,根據(jù)提供的信息,讓考生通過類比自己找到所證問題,這是高考數(shù)學(xué)命題的方向,應(yīng)引起注意.68.解:(1)設(shè)F2(c,0)(c0),P(c,y0),則=1.解得y0=±|PF2|=在直角三角形PF2F1中,P
48、F1F2=30°解法一:|F1F2|=|PF2|,即2c=將c2=a2+b2代入,解得b2=2a2解法二:|PF1|=2|PF2|由雙曲線定義可知|PF1|PF2|=2a,得|PF2|=2a.|PF2|=,2a=,即b2=2a2,圖818故所求雙曲線的漸近線方程為y=±x.69.()解:由橢圓定義及條件知2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4所以b=3.故橢圓方程為=1.()由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上,得|F2B|=|yB|=.(如圖818)因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為根據(jù)橢圓定義,有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)由|F2A|,|F2B|,
49、|F2C|成等差數(shù)列,得(x1)+(x2)=2×由此得出x1+x2=8.設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0)則x0=4.()由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上,得由得9(x12x22)+25(y12y22)=0.即=0(x1x2)將(k0)代入上式,得9×4+25y0()=0(k0).由上式得k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4,y0)在弦AC的垂直平分線上,得y0=4k+m.所以m=y04k=y0y0=y0.由P(4,y0)在線段BB(B與B關(guān)于x軸對(duì)稱,如圖818)的內(nèi)部,得y0.所以m.注:在推導(dǎo)過程中,未寫明“x1x2”“k0”“k=0時(shí)也成立”及把結(jié)論寫
50、為“m”的均不扣分.70.解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),依題設(shè)得=2,即y=±2x,x0因此,點(diǎn)P(x,y)、M(1,0)、N(1,0)三點(diǎn)不共線,得|PM|PN|MN|=2|PM|PN|=2|m|00|m|1因此,點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2|m|的雙曲線上,故將式代入,并解得x2=1m2015m20解得0|m|.即m的取值范圍為(,0)(0,).71.()解:由OBC三頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0),B(1,0),C(b,c)(c0),可求得重心G(),外心F(),垂心H(b,).當(dāng)b=時(shí),G、F、H三點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為,故三點(diǎn)共線;當(dāng)b時(shí),設(shè)G、H所在直線的斜率為kGH,F(xiàn)、G所在直線的
51、斜率為kFG.因?yàn)?,所以,kGH=kFG,G、F、H三點(diǎn)共線.綜上可得,G、F、H三點(diǎn)共線.()解:若FHOB,由kFH=0,得3(b2b)+c2=0(c0,b),配方得3(b)2+c2=,即.即=1(x,y0).因此,頂點(diǎn)C的軌跡是中心在(,0),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,短半軸長(zhǎng)為,且短軸在x軸上的橢圓,除去(0,0),(1,0),(,),(,)四點(diǎn).評(píng)述:第()問是要求用解析的方法證明平面幾何中的著名問題:三角形的重心、外心、垂心三心共線(歐拉線)且背景深刻,是有研究意義的題目.72.解:()依題意,可設(shè)直線AB的方程為y=k(x1)+2,代入x2=1,整理得(2k2)x22k(2k)x(2k)22=0記A(x1,y1),B(x2,y2),則x1、x2是方程的兩個(gè)不同的根,所以2k20, 且x1+x
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