復(fù)數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算（2課時(shí)）一、考試說明中復(fù)數(shù)的考試內(nèi)容(1)數(shù)的概念的發(fā)展，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)、模）；(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與向量表示；(3)復(fù)數(shù)的加法與減法，復(fù)數(shù)的乘法與除法，復(fù)數(shù)的三角形式，復(fù)數(shù)三角形式的乘法與乘方，復(fù)數(shù)三角形式的除法與開方；(4)復(fù)數(shù)集中解實(shí)系數(shù)方程（包括一元二次方程、二項(xiàng)方程）。二、考試要求（1）使學(xué)生了解擴(kuò)充實(shí)數(shù)集的必要性，正確理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何、三角表示及其轉(zhuǎn)換；（2）掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，能正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算，并理解復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義；（3）掌握在復(fù)數(shù)集中解實(shí)數(shù)系數(shù)一元二次方程和二項(xiàng)方程的方法（4）通過

2、內(nèi)容的闡述，帶綜合性的例題和習(xí)題的訓(xùn)練，繼續(xù)提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解題的能力（5）通過數(shù)的概念的發(fā)展，復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及位置向量三者之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)換的復(fù)習(xí)教學(xué)，繼續(xù)對學(xué)生進(jìn)行辯證觀點(diǎn)的教育三、學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)聯(lián)系實(shí)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算等內(nèi)容，加強(qiáng)對復(fù)數(shù)概念的認(rèn)識；(2)理順復(fù)數(shù)的三種表示形式及相互轉(zhuǎn)換：z = r(cos+isin) Û (Z(a,b) Û z=a+bi復(fù)數(shù)集純虛數(shù)集虛數(shù)集實(shí)數(shù)集(3)正確區(qū)分復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；(4)掌握復(fù)數(shù)幾何意義,注意復(fù)數(shù)與三角、解幾等內(nèi)容的綜合；(5)正確掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、開方及幾何意義；虛

3、數(shù)單位i及1的立方虛根的性質(zhì)；模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)；(6)掌握化歸思想將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化（三角化、幾何化）；(7)掌握方程思想利用復(fù)數(shù)及其相等的有關(guān)充要條件，建立相應(yīng)的方程，轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)問題。四、本章知識結(jié)構(gòu)與復(fù)習(xí)要點(diǎn)1知識體系表解2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)：(1)i稱為虛數(shù)單位，規(guī)定，形如a+bi的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a，bR(2)復(fù)數(shù)的分類(下面的a，b均為實(shí)數(shù))(3)復(fù)數(shù)的相等設(shè)復(fù)數(shù)，那么的充要條件是：(4)復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z=a+bi（a，bR）可用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)Z(a，b)來表示這時(shí)稱此平面為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸除去原點(diǎn)稱為虛軸這樣，全體復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面上全體點(diǎn)集是一一對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=a+

4、bi在復(fù)平面內(nèi)還可以用以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，以點(diǎn)Z(a，b)向量所成的集合也是一一對應(yīng)的(例外的是復(fù)數(shù)0對應(yīng)點(diǎn)O，看成零向量)(7)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)不同處任意兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，而任意兩個(gè)復(fù)數(shù)中至少有一個(gè)不是實(shí)數(shù)時(shí)就不能比較大小實(shí)數(shù)對于四則運(yùn)算是通行無阻的，但不是任何實(shí)數(shù)都可以開偶次方而復(fù)數(shù)對四則運(yùn)算和開方均通行無阻3有關(guān)計(jì)算：怎樣計(jì)算？（先求n被4除所得的余數(shù)，） 是1的兩個(gè)虛立方根，并且： 3 復(fù)數(shù)集內(nèi)的三角形不等式是：，其中左邊在復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的向量共線且反向（同向）時(shí)取等號，右邊在復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的向量共線且同向（反向）時(shí)取等號。4 棣莫佛定理是：5 若非零復(fù)數(shù)，則z的n次方根有n個(gè)，即：

5、它們在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在分布上有什么特殊關(guān)系？都位于圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓上，并且把這個(gè)圓n等分。6 若，復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B，則AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是。7 =。8 復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的幾個(gè)基本軌跡： 軌跡為一條射線。 軌跡為一條射線。 軌跡是一個(gè)圓。 軌跡是一條直線。 軌跡有三種可能情形：a)當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；b)當(dāng)時(shí)，軌跡為一條線段；c)當(dāng)時(shí)，軌跡不存在。 軌跡有三種可能情形：a)當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線；b) 當(dāng)時(shí)，軌跡為兩條射線；c) 當(dāng)時(shí)，軌跡不存在。五、高考命題規(guī)律分析復(fù)數(shù)在過去幾年里是代數(shù)的重要內(nèi)容之一，涉及的知識面廣，對能力要求較高，是高考熱點(diǎn)之一。但隨著新

6、教材對復(fù)數(shù)知識的淡化，高考試題比例下降，因此考生要把握好復(fù)習(xí)的尺度。從近幾年的高考試題上看：復(fù)數(shù)部分考查的重點(diǎn)是基礎(chǔ)知識題型和運(yùn)算能力題型?；A(chǔ)知識部分重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、兩復(fù)數(shù)相等的充要條件及其應(yīng)用，復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)的幾何表示及復(fù)向量的運(yùn)算。主要考點(diǎn)為復(fù)數(shù)的模與輻角主值，共軛復(fù)數(shù)的概念和應(yīng)用。若只涉及到一、二個(gè)知識點(diǎn)的試題大都集中在選擇題和填空題；若涉及幾個(gè)知識點(diǎn)的試題，往往是中、高檔題目，解答此類問題一般要抓住相應(yīng)的概念進(jìn)行正確的變換，對有些題目，往往用數(shù)形結(jié)合可獲得簡捷的解法。有關(guān)復(fù)數(shù)n次乘方、求輻角（主值）等問題，涉及到復(fù)數(shù)的三角形式，首先要將所給復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為三角

7、形式后再進(jìn)行變換。復(fù)數(shù)的運(yùn)算是高考中復(fù)數(shù)部分的熱點(diǎn)問題。主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)和三角形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)模及輻角主值的求解及復(fù)向量運(yùn)算等問題?；谏鲜銮闆r，我們在學(xué)習(xí)“復(fù)數(shù)”一章內(nèi)容時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）復(fù)數(shù)的概念幾乎都是解題的手段。因此在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時(shí)要在深入理解、熟練掌握復(fù)數(shù)概念上下功夫。除去復(fù)數(shù)相等、模、輻角、共軛復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)式，提供了將“復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化”的手段。復(fù)數(shù)的幾何意義也是解題的一個(gè)重要手段。（2）對于涉及知識點(diǎn)多，與方程、三角、解析幾何等知識綜合運(yùn)用的思想方法較多的題型，以及復(fù)數(shù)本身的綜合題，一直成為學(xué)生的難點(diǎn)，應(yīng)掌握規(guī)律及典型題型的技巧解法，并加以強(qiáng)化訓(xùn)練以突破此難點(diǎn)； (3

8、) 重視以下知識盲點(diǎn)：不能正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義，常常搞錯(cuò)向量旋轉(zhuǎn)的方向；忽視方程的虛根成對出現(xiàn)的條件是實(shí)系數(shù)；盲目地將實(shí)數(shù)范圍內(nèi)數(shù)與形的一些結(jié)論，不加懷疑地引用到復(fù)數(shù)范圍中來；容易混淆復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，如純虛數(shù)與虛數(shù)的區(qū)別問題，實(shí)軸與虛軸的交集問題，復(fù)數(shù)輻角主值的范圍問題等。六、典型例題分析實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)？復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是：當(dāng)m2時(shí)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件：當(dāng)m3且m2時(shí)復(fù)數(shù)z為虛數(shù)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是： 當(dāng)m1時(shí)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)【說明】  要注意復(fù)數(shù)z實(shí)部的定義域是m3，它是考慮復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，虛數(shù)純虛數(shù)的必要條件要特別注意復(fù)數(shù)za+bi(a，bR)為純虛數(shù)

9、的充要條件是a0且b0            ，所以，代入得，故選解法3：選擇支中的復(fù)數(shù)的模均為，又，而方程右邊為2+i，它的實(shí)部，虛部均為正數(shù)，因此復(fù)數(shù)z的實(shí)部，虛部也必須為正，故選擇B【說明】解法1利用復(fù)數(shù)相等的條件；解法2利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)；解法3考慮選擇題的特點(diǎn)求：z【分析】  確定一個(gè)復(fù)數(shù)要且僅要兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，而題目恰給了兩個(gè)獨(dú)立條件采用待定系數(shù)法可求出a、b確定z運(yùn)算簡化解：設(shè)z=x+yi(x，yR)將z=x+yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)當(dāng)|z1|13時(shí)，即有

10、xx6=0 則有x=3或x=2綜上所述 故z0或z=3+3i或z=-22i【說明】注意熟練地運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)其性質(zhì)有：(3) 1+2i+3+1000【說明】  計(jì)算時(shí)要注意提取公因式，要注意利用i的冪的周期性，(3)解法 1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：設(shè) S1+2i+3+1000，則iSi+2+3+999+1000，(1i)S1+i+1000【說明】  充分利用i的冪的周期性進(jìn)行組合，注意利用等比數(shù)列求和的方法【例6】已知三邊都不相等的三角形ABC的三內(nèi)角A、B、C滿足 、

11、的值.【解】 得3分 上式化簡為6分 9分 當(dāng)12分【例7】設(shè)z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若z1z20，z1z2+ =0，問在（0，2）內(nèi)是否存在使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【分析】這是一道探索性問題可根據(jù)復(fù)數(shù)的概念與純虛數(shù)的性質(zhì)及復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件，直接進(jìn)行解答【解】假設(shè)滿足條件的存在因z1z20，z1z2+ =0，故z1z2為純虛數(shù)又 z1z2 = (1-cos+isin)( a2+ai) =a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得 a= 另一方面，因(z1

12、-z2)2R，故z1-z2為實(shí)數(shù)或?yàn)榧兲摂?shù)又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，則由方程組得 = sin，故cos=0，于是= 或= 若1-cos-a2=0，則由方程組 得()2 = 1-cos由于sin2=1-cos2= (1+cos)(1-cos)，故1+cos = (1-cos)2解得cos=0，從而= 或= 綜上所知，在(0，2)內(nèi)，存在= 或= ，使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)【說明】解題技巧：解題中充分使用了復(fù)數(shù)的性質(zhì)：z0，z+=0Ûz純虛數(shù)Û以及z2RÛzR或z純虛數(shù)（注：Re(z)

13、，Im(z)分別表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部）解題規(guī)律：對于“是否型存在題型”，一般處理方法是首先假設(shè)結(jié)論成立，再進(jìn)行正確的推理，若無矛盾，則結(jié)論成立；否則結(jié)論不成立【例8】設(shè)a為實(shí)數(shù)，在復(fù)數(shù)集C中解方程：z2 + 2|z|= a【分析】由于z2=a-2|z|為實(shí)數(shù)，故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，因而需分情況進(jìn)行討論【解】設(shè)|z|= r若a0，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數(shù)，從而r2=2r a解得r = (r = 0，不合，舍去)故z = ±()i若a0，對r作如下討論：（1）若ra，則z2=a-2|z|0，于是z為實(shí)數(shù)解方程r2=a-2r，得r = (r = 0，不合，舍去)故z = &#

14、177;()（2）若ra，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數(shù)解方程r2= 2r-a，得r = 或r = (a1)故z = ±()i (a1)綜上所述，原方程的解的情況如下：當(dāng)a0時(shí)，解為：z = ±()i；當(dāng)0a1時(shí)，解為：z = ±()，z = ±()i；當(dāng)a1時(shí)，解為：z = ±()【說明】解題技巧：本題還可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x，y的實(shí)系數(shù)的二元方程組來求解【例9】（2004年上海市普通高校春季高考數(shù)學(xué)試卷18）已知實(shí)數(shù)滿足不等式，試判斷方程有無實(shí)根，并給出證明.【解】由，解得

15、，. 方程的判別式.，由此得方程無實(shí)根.【例10】給定實(shí)數(shù)a，b，c已知復(fù)數(shù)z1、z2、z3滿足 求az1+bz2+cz3的值【分析】注意到條件(1)，不難想到用復(fù)數(shù)的三角形式；注意到條件（2），可聯(lián)想使用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件進(jìn)行求解【解】解法一 由=1，可設(shè)= cos+isin，= cos+isin，則= =cos(+)-isin(+)因 =1，其虛部為0，故0=sin+sin-sin(+) =2sincos - 2 sincos=2sin（cos - cos）=4 sinsinsin故=2k或=2k或+=2k，kZ因而z1= z2或z2= z3或z3= z1若z1= z2，代入（2）得 =

16、 ±i，此時(shí)az1+bz2+cz3=| z1|a+b±ci= 類似地，如果z2= z3，則az1+bz2+cz3= ；如果z3= z1，則az1+bz2+cz3= 解法二 由（2）知R，故= ，即 = 由（1）得 = (k=1，2，3)，代入上式，得= ，即 z12z3+ z22z1+ z32z2= z22z3+ z32z1+ z12z2，分解因式，得 (z1-z2) (z2-z3) (z3-z1)=0，于是 z1=z2或z2=z3或z3=z1下同解法一【說明】解題關(guān)鍵點(diǎn)是巧妙利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件：zRÛz=，以及視，等為整體，從而簡化了運(yùn)算解題易錯(cuò)點(diǎn)是拿到問

17、題不加分析地就盲目動筆，而不注意充分觀察題目的已知條件，結(jié)論特征等，從而使問題的求解或是變得異常的復(fù)雜，或干脆就無法解出最終的結(jié)果【例11】設(shè)復(fù)數(shù)z=3cos+2isin，求函數(shù)y=-argz(0)的最大值以及對應(yīng)角的值【分析】先將問題實(shí)數(shù)化，將y表示成 的目標(biāo)函數(shù)，后利用代數(shù)法（函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等）以及數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解【解】解法一 由0，得tan0，從而0argz由z=3cos+2isin，得tan(argz)= = tan0于是tany=tan(-argz)= = = = 當(dāng)且僅當(dāng)，即tan= 時(shí)，取“=”又因?yàn)檎泻瘮?shù)在銳角的范圍內(nèi)為增函數(shù)，故當(dāng)= arctan時(shí)，y取最大值為

18、arctan解法二 因0，故cos0，sin0，0argz，且cos(argz) = ，sin(argz) = 顯然y(- ，)，且 siny為增函數(shù) siny = sin(-argz)=sincos(argz)-cossin(argz)= = = = 當(dāng)且僅當(dāng)，即tan= ，取“=”，此時(shí)ymax= arctan9圖xargzyoZ1Z2Z解法三 設(shè)Z1=2(cos+isin)，Z2=cos，則Z=Z1+Z2，而Z1、Z2、Z的輻角主值分別為、0，argz如圖所示，必有y=ZOZ1，且0y 在ZOZ1中，由余弦定理得cosy = = = +當(dāng)且僅當(dāng)4+5cos2=6，即cos= 時(shí)，取“=”

19、又因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在0為減函數(shù)，故當(dāng)=arccos時(shí)，ymax=arccos【說明】解題關(guān)鍵點(diǎn)：將復(fù)數(shù)問題通過化歸轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，使問題能在我們非常熟悉的情景中求解解題規(guī)律：多角度思考，全方位探索，不僅使我們獲得了許多優(yōu)秀解法，而且還使我們對問題的本質(zhì)認(rèn)識更清楚，進(jìn)而更有利于我們深化對復(fù)數(shù)概念的理解，靈活駕馭求解復(fù)數(shù)問題的能力解題易錯(cuò)點(diǎn)：因?yàn)榻夥ǖ亩鄻有?，反三角函?shù)表示角的不唯一性，因而最后的表述結(jié)果均不一樣，不要認(rèn)為是錯(cuò)誤的九、專題訓(xùn)練1、下列說法正確的是       A0i是純虛數(shù) B原點(diǎn)是復(fù)平面內(nèi)直角坐標(biāo)系的實(shí)軸與虛軸的公共點(diǎn)C實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)

20、一定是實(shí)數(shù)，虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是虛數(shù) D是虛數(shù)2、下列命題中，假命題是       A兩個(gè)復(fù)數(shù)不可以比較大小 B兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小C兩個(gè)虛數(shù)不可以比較大小 D一虛數(shù)和一實(shí)數(shù)不可以比較大小3、已知對于x的方程+（12i）x+3mi=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m滿足        4、復(fù)數(shù)1+i+等于        Ai                    BI C2i                  D2i5、已知常數(shù)，又復(fù)數(shù)z滿足，求復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡。6、設(shè)復(fù)數(shù)，記。（1