連續(xù)型隨機變量常見的幾種分布

1、1連續(xù)型隨機變量幾種常見分布連續(xù)型隨機變量幾種常見分布2三三. 幾種常見的連續(xù)型隨機變量的分布幾種常見的連續(xù)型隨機變量的分布若連續(xù)型隨機變量若連續(xù)型隨機變量 X 具有概率密度具有概率密度 f (x)為：為：1. 均勻分布均勻分布( )f x bxaab10其其它它則則稱稱 X 在區(qū)間在區(qū)間 (a, b)上服從上服從均勻分布均勻分布 (或等概率分或等概率分布布) 記作記作 X U(a, b)注注:01 .( )0 ,f x 02 .( )1f x dx ( )f x 易證易證滿足：滿足：3ab( )f x1ba 0( )f x的圖形：的圖形：X 落在區(qū)間落在區(qū)間 (a, b) 中任意等長度的子區(qū)

2、間的可能性中任意等長度的子區(qū)間的可能性是相同的，即它落在子區(qū)間的概率只依賴于子區(qū)是相同的，即它落在子區(qū)間的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān).均勻分布的概率意義均勻分布的概率意義:4證證:),(),(badc 設設 dcdxxfdXcP)()(dxabdc 1)(1cdab 即即 X 落在落在 (c, d ) 內(nèi)的概率只與內(nèi)的概率只與 (c, d) 的長度有關(guān)的長度有關(guān), 而與而與(c, d) 在在 (a,b) 中的位置無關(guān)中的位置無關(guān). 均勻分布常見于下列情形：均勻分布常見于下列情形：比如比如: 在數(shù)值計算中，由于四舍五在數(shù)值計算中，由于四舍五 入入,小

3、數(shù)點后某一小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等. 5由分布函數(shù)由分布函數(shù)定義定義可得：若可得：若X 服從均勻分布，則服從均勻分布，則X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:( )F x ax0bxaabax bx 1 圖形圖形:1ab0( )F xx6某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時起，每時起，每15分鐘來一班分鐘來一班車，即車，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時刻有汽車等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間到達此站，如果乘客到達

4、此站時間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的之間的均勻均勻隨機變量隨機變量(1) 乘客候車時間少于乘客候車時間少于 5 分鐘的概率分鐘的概率(2) 乘客候車時間超過乘客候車時間超過10分鐘的概率分鐘的概率 例例1. 試求：試求：7解：解： X U ( 0, 30 ) 設以設以7:00為為起點起點0，以分為單位，以分為單位1030( )300 xf x 其其它它為使候車時間為使候車時間X 少于少于 5 分鐘，分鐘，乘客必須在乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達車站之間到達車站.從上午從上午7時起，時起，每每15分鐘來分鐘來一班車，即一

5、班車，即7:00，7:15，7:30等時刻有汽等時刻有汽車到達汽站車到達汽站故所求概率為：故所求概率為：10152530PXPX 依題意，依題意，1530102511130303dxdx8候車時間超過候車時間超過10分鐘分鐘,則乘客必須在則乘客必須在7:00到到7:05或或7:15到到7:20之間到達車間之間到達車間 )50(xP)2015( xPdxdx 20155030130131 92. 指數(shù)分布指數(shù)分布若連續(xù)型隨機變量若連續(xù)型隨機變量 X 具有概率密度具有概率密度 f (x)為：為：0( )0 xexf x 其其它它注注: :01 .( )0 ,f x 02 .( )1f x dx (

6、 )f x 易證易證滿足：滿足：為常數(shù)為常數(shù)0 其中其中則則稱稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布 101(0)0 xxexF 其其它它由分布函數(shù)由分布函數(shù)定義定義可得：若可得：若X 服從指數(shù)分布，則服從指數(shù)分布，則X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布的性質(zhì)(無記憶性無記憶性)若若X 服從指數(shù)分布，則：服從指數(shù)分布，則： 對任意的對任意的,0s t 有：有：P XstXsP Xt 若設若設X是某一元件的壽命，則上式表明：元件是某一元件的壽命，則上式表明：元件 對它已使用過對它已使用過 小時沒有記憶。小時沒有記憶。s指數(shù)分布的圖形特點指數(shù)分布的圖形特點11某儀器裝

7、有某儀器裝有3只獨立工作的同型號電子元件，只獨立工作的同型號電子元件，其壽命其壽命(單位單位:h)都服從同一指數(shù)分布，概率密都服從同一指數(shù)分布，概率密度為度為儀器在使用的最初儀器在使用的最初200h內(nèi)，至少有一個元內(nèi)，至少有一個元件損壞的概率件損壞的概率 例例2. 試求：試求：20010( )20000 xexf xx 12 正態(tài)分布是應用最廣泛的正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布一種連續(xù)型分布. 正態(tài)分布在十九世紀前葉由數(shù)正態(tài)分布在十九世紀前葉由數(shù)學家高斯加以推廣，所以通常也稱學家高斯加以推廣，所以通常也稱為高斯分布為高斯分布. . 德莫佛德莫佛 數(shù)學家德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項數(shù)學家德莫佛最早

8、發(fā)現(xiàn)了二項分布的一個近似公式，這一公式被分布的一個近似公式，這一公式被認為是認為是正態(tài)分布的首次露面正態(tài)分布的首次露面.3. 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布高斯高斯13 (1). 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義 若隨機變量若隨機變量 X 的的概率密度為：概率密度為：2( ,)XN 記作記作 :f (x) 所確定的曲線叫作所確定的曲線叫作正態(tài)曲線正態(tài)曲線.22()21( ),2xf xex 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)， 任意，任意， 0， 則則 稱稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. 2 2 其中其中: :14 (2). 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點2( ,)N 正態(tài)分布的密

9、度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對稱的鐘形對稱的鐘形曲線，曲線，特點特點是是“兩頭小，中間大，左右對稱兩頭小，中間大，左右對稱” 15 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形 中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點2( ,)N 16由密度函數(shù)的表達式，由密度函數(shù)的表達式，分析分析正態(tài)分布的正態(tài)分布的圖形特點圖形特點22()21( ),2xf xex 即整個概率密度曲線都在即整個概率密度曲線都在 x 軸的上方軸的上方. .(3)(3)( )0f x 顯然顯然: : 以以為對稱軸，并在為對稱軸，并在 處達到最處達到最大值

10、大值: :x ( )f x1()2f 17令令: : x=+ +c, x=- -c (c0) f (+ +c ) = f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f ()證明證明: :分別代入分別代入 可得可得: :( )f x 以以為對稱軸，并在為對稱軸，并在 處處達到最大值達到最大值x ( )f x故得故得: :這說明：這說明：曲線曲線 f (x)向左右伸展時，越來越貼近向左右伸展時，越來越貼近 x 軸。即軸。即 f (x)以以 x 軸為漸近線。軸為漸近線。 因為當因為當 x 時，時，f (x) 0f (x)以以 x 軸為漸近線軸為漸近線18( (對對 f (x)求

11、導即可求得求導即可求得) )為為 f (x)的兩個拐點的橫坐標的兩個拐點的橫坐標x = (4).(4). 正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)由分布函數(shù)定義得出正態(tài)分布，若由分布函數(shù)定義得出正態(tài)分布，若則則 分布函數(shù)是分布函數(shù)是X22()21( ),2txF xedtx ),(2 NX其圖形為其圖形為:1922()21( ),2txF xedtx 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和和唯一確定，唯一確定， 當當和和不同時，對應的是不同的正態(tài)分布。不同時，對應的是不同的正態(tài)分布。20下圖是用某大學男大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出下圖是用某大學男大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖的頻率直方圖:紅

12、線紅線是擬是擬合的合的正態(tài)正態(tài)密度密度曲線曲線可見，某大學男大學生的身高應服從正態(tài)分布?？梢姡炒髮W男大學生的身高應服從正態(tài)分布。21人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分數(shù)大致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特點。布的隨機變量的特點。22除了前面介紹的身高外除了前面介紹的身高外, ,在正常條件下年降雨量；在正常條件下年降雨量；各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的尺寸；纖維的強各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力

13、；農(nóng)作物的產(chǎn)量，如小麥的穗長、株高；度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，如小麥的穗長、株高；測量誤差，如射擊目標的水平或垂直偏差；信號測量誤差，如射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布. .23標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布下面介紹一種最重要的正態(tài)分布下面介紹一種最重要的正態(tài)分布(5).(5).標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：( )x ( )x 221( ),2xxex 221( )2txxedt 01, 的正態(tài)分布為的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布. .稱稱其圖形為其圖形為:24( )

14、x ( ) x 密度函數(shù)密度函數(shù)( )x ( )x 分布函數(shù)分布函數(shù)25(一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系)引理引理:),(2 NX若若)1 , 0(:NXZ則則 證明證明:的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 XZ作一個線作一個線性變換性變換 )(xZP()xPx ()P Xx 標準正態(tài)分布的標準正態(tài)分布的重要性重要性任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換 轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布. .x 2622()212txedt 221( )2uxedux (0,1)ZN 由此可得由此可得: 若若2( ,),XN )(xF )(

15、xXP)( xXP()x tu 令令即證得：即證得：則其分布函數(shù)則其分布函數(shù)( ):F x27關(guān)于正態(tài)分布表關(guān)于正態(tài)分布表()1( )xx 221( )2txxedt xx表中給出的是表中給出的是 時時, (x)的值的值.0 x 當當 時有：時有：0 x 書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表. .28(0,1)(|)21( )(|)2 ( )1XNPXaaPXaa 設設，對對于于任任意意的的正正實實數(shù)數(shù)有有(0,1),| 1.5,| 1.96 XNPXPX 求求例例設設292( ,)

16、,XN XY N(0,1) )(bYaP)(bXaP()()ba 若若則有：則有：)()()(abbXaP若若 XN (0,1),則有：則有：30 對對任意區(qū)間任意區(qū)間12(,xx)(21xXxP 12()xxXP 則有：則有：2()x )(1 x31由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明：這說明：X 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在 - -3, 3 區(qū)間區(qū)間 內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到 0.3%當當XN(0,1)(0,1)時，時，P( |X| 1) = 2 ( (1)- )- 1 = = 0.6826 P( |

17、X| 2) = 2 ( (2)- )- 1 = = 0.9544 P( |X| 3) = 2 ( (3)- )- 1 = = 0.9974(6) (6) 3 3原則原則32將上述結(jié)論將上述結(jié)論推廣到推廣到一般的正態(tài)分布一般的正態(tài)分布, ,有：有： ),(2NY 時時，(|)0.6826P Y (| 2 )0.9544P Y(| 3 )0.9974P Y可以認為：可以認為：Y Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi)。這在統(tǒng)計學上稱作區(qū)間內(nèi)。這在統(tǒng)計學上稱作“3 3 準則準則” （三倍標準差原則）（三倍標準差原則）3,3 33已知自動車床生產(chǎn)的零件的長度已知自動車床生產(chǎn)的零件的長度X(

18、毫米毫米)服從正服從正態(tài)分布態(tài)分布)75. 0 ,50(2N,如果規(guī)定零件的長度在如果規(guī)定零件的長度在5 . 150 毫米之間為合格品毫米之間為合格品.求求:生產(chǎn)零件是合格品的概率生產(chǎn)零件是合格品的概率解解:)75. 0 ,50(2NX例例3 3. .)5 . 150( XP)5 .515 .48( XP51.550()0.75 所求的概率為：所求的概率為：48.550()0.75 )2()2( )2(1()2( 1)2(2 19772. 02 9544. 0 34例例4.),5 ,27(2NX從旅館到飛機場沿從旅館到飛機場沿 A 路走路走(路程短，交通擁擠路程短，交通擁擠)所需時間所需時間(

19、分鐘分鐘)沿沿 B 路走（路程路走（路程)2 ,30(2NY長，阻塞少長，阻塞少) )所需時間所需時間(分鐘分鐘)若現(xiàn)在只有若現(xiàn)在只有 30分鐘分鐘.問：問：分別選擇哪一條路為好分別選擇哪一條路為好? 解解: 依題意，選擇所需時間超過規(guī)定時間的概率較依題意，選擇所需時間超過規(guī)定時間的概率較小的路線為好小的路線為好.當只有當只有30分鐘可用時分鐘可用時:A 路路: )30(XP)30(1 XP30271()5 1(0.6) 7257. 01 2743. 0 35B 路路:)30( YP)30(1 YP30301()2 5 . 01 5 . 0 結(jié)論：此時應選擇結(jié)論：此時應選擇A A路路液體的溫度

20、液體的溫度X)5 . 0 ,(2dNX( (以以計計) )是一個隨機變量，且是一個隨機變量，且將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器調(diào)整在0d C例例5.(1) 若若90 d, 求求 X 小于小于89的概率的概率.(2) 若要求保持液體的溫度至少為若要求保持液體的溫度至少為80的概率的概率 不低于不低于0.99，問問 d 至少為多少至少為多少? ?36解解:(1)(89)P X )5 . 090895 . 090( XP)5 . 0805 . 0(1ddXP 801()0.5d )5 . 09089( )2(1)2( 0288

21、. 09772. 01 (2) 按題意需求按題意需求d滿足滿足:)5 . 0805 . 0()80(99. 0ddXPXP 37反查正態(tài)分布表，由于表中無反查正態(tài)分布表，由于表中無0.01的的)(x 的值的值故采用如下方法處理故采用如下方法處理:()1( )uu ( )1()uu ()0.99u 查表可知查表可知:33. 2u由此可得由此可得:802.330.5d 81.165d 80()0.5d 即即01.099.01 故得：故得：1()0.01u 現(xiàn)現(xiàn)38公共汽車車門的高度是按男子與車門頂公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭機會在碰頭機會在0.01以下來設計的以下來設計的. .設男子身高

22、設男子身高XN( (170, ,62) )設車門高度為設車門高度為 h cm P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，的最小的的最小的 h 例例6.6. 問：問：應如何確定車門高度應如何確定車門高度解解: :按設計要求即求按設計要求即求滿足滿足：39因為因為: :XN( (170, ,62),),170()0.996h 故故: : 查表得查表得: :所以所以: : 即即: h = 170 + 13.98 184結(jié)論結(jié)論: : 設計車門設計車門高度為高度為 184 厘米厘米時，可使男子與時，可使男子與車門碰頭機會不車門碰頭機會不超過超過0.01. .P(X h ) 0.99 求滿足求滿

23、足的最小的的最小的 h .170(0,1)6XN 所以所以: :1702.336h ()P Xh (2.33)0.99010.99 40設電池的壽命設電池的壽命X(單位單位:h)服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(300,352),求求這種電池的壽命在這種電池的壽命在250h以上的概率以上的概率(1) 求一個最小的正整數(shù)求一個最小的正整數(shù)x，使電池壽命，使電池壽命X在區(qū)在區(qū)間間(300-x,300+x)內(nèi)取值的概率不小于內(nèi)取值的概率不小于0.901 例例7.7. 411. 定義定義 ),1 , 0( NX(),uP Xu 若若滿滿足足條條件件,10 則則 稱稱點點 為標準正態(tài)分布的為標準正態(tài)分布的上上

24、u 分位點分位點.2. 圖形圖形:面面 積積 為為 四四. 關(guān)于關(guān)于 分位點的概念分位點的概念u x( )x 0以以 點右側(cè)面積總點右側(cè)面積總和和 它就是所它就是所有比有比 大的概率大的概率.u , u 單側(cè)單側(cè) 分位點分位點 42注注:比如比如:0.05u (10.05)u (0.95)1.645u 反過來可以驗證反過來可以驗證:(1.645)110.050.95 0.005u (10.005)u(0.995)2.57u ()( )uuf x dx 1 用整塊面積減去點用整塊面積減去點 以后的那塊面積以后的那塊面積 u 附表上可查的從附表上可查的從 到到 的那塊面積的那塊面積從正態(tài)分布表上從

25、正態(tài)分布表上如何求如何求 的值的值:u , 對于給定對于給定的的則則: u 點點(1) 概率概率u所對應的所對應的值值又比如又比如:43( 同樣可以驗證同樣可以驗證:(2.57)10.0050.995 ) 0.001u (10.001)u (0.999)3.01u2u 則稱則稱 為標準正態(tài)分布的為標準正態(tài)分布的雙側(cè)雙側(cè) 分位點分位點. 圖形圖形:兩小面積相加兩小面積相加之和之和 = 又比如又比如:3. 雙側(cè)雙側(cè) 分位點的定義分位點的定義若若0 x( )x 2u 2u 2()P Xu 440.0522uu 0.05(1)2u(0.975)1.96u 0.5(1)2u(0.75)0.67u (0.67)0.5,0.67,0.67()0.5,()0.25,0.670.67P Xxx 即即表表明明之之后后的的兩兩小小塊塊面面積積之之和和 概概率率 為為而而每每一一小小塊塊面面積積 概概率率 為為它它所所對對應應的的點點分分別別為為與與 比如比如:0.522uu 注意注意: 在后續(xù)的統(tǒng)計學中還將介紹在后續(xù)的統(tǒng)計學中還將介紹2( )n tF分布分布,分布分布,分布分布 的上的上 分位點的概念分位點的概念45 上一講我們已經(jīng)看到，當上一講我們已經(jīng)看到，當n很大，很大，p接接近近0或或1時，二項分布近似泊松