全等三角形截長補短倍長中線角平分線專題

1、截長補短法圖1-1人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質，這一性質在許多問題里都有著廣泛的應用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，在無法進行直接證明的情形下，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請看幾例.例1. 已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求證：BAD+BCD=180°.分析：因為平角等于180°，因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關鍵在于構造直角三角形，可通過“截長補短法”來實現(xiàn).證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E，作DFBC于點F，如圖1

2、-2圖1-2BD平分ABC，DE=DF，在RtADE與RtCDF中，RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.圖2-1又BAD+DAE=180°，BAD+DCF=180°，即BAD+BCD=180°例2. 如圖2-1，ADBC，點E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.圖2-2分析：結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的.證明：在CD上截取CF=BC，如圖2-2在FCE與BCE中，F(xiàn)CEBCE（SAS）,

3、2=1.又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3. 已知，如圖3-1，1=2，P為BN上一點，且PDBC于點D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.分析：與例1相類似，證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構造.圖3-1證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E，如圖3-21=2，且PDB

4、C，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，圖3-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°,BAP+BCP=180°圖4-1例4. 已知：如圖4-1，在ABC中，C2B，12.求證：AB=AC+CD.分析：從結論分析，“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明：方法一（補短法）圖4-2延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，

5、如圖4-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截長法）圖4-3在AB上截取AF=AC，如圖4-3在AFD與ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.上述兩種方法在實際應用中，時常是互為補充，但應結合具體題目恰當選擇合適思路進行分析。讓掌握學生掌握好“截長補短法”對于更好的理解數(shù)學中的化歸思想有較大的幫助。1. 如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G、F分別為AD，BC邊上的點，若

6、AG=1，BF=2，GEF=90°，則GF的長為_.2.如圖，在ABC中，AC=5，中線AD=7，則AB邊的取值范圍是？3.如圖，AD為ABC的中線，求證：ABAC2AD.4.如圖，CB、CD分別是鈍角AEC和銳角ABC的中線，且AC=AB求證：CE=2CDCB平分DCE5.如圖已知ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，求證EF2AD.6.如圖，在ABC中，D是BC邊的中點，E是AD上一點，BEAC，BE的延長線交AC于點F，求證：AEF=EAF7.如圖，在ABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EFAD交CA的延長線于點F，交EF于

7、點G，若BG=CF，求證：AD為ABC的角平分線.8.如圖，ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中點，求證，AD平分BAE.角平分線練習1、如圖，在RtABC中，C=90°，BD是ABC的平分線，交AC于點D，若CD=n，AB=m，則ABD的面積是（ ）A.mn B.mn C.2mn D.mn2、如圖，已知AC平分PAQ，點B，B分別在邊AP，AQ上，如果添加一個條件，即可推出AB=AB，那么該條件可以是（ ）A、BBAC B、BC=BC C、ACB=ACB D、ABC=ABC3、如圖，F(xiàn)DAO于D，F(xiàn)EBO于E，下列條件：OF是AOB的平分線；DF=EF；DO=EO；OFD=OF

8、E。其中能夠證明DOFEOF的條件的個數(shù)有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4、如圖，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則ABC的度數(shù)是 .5、在ABC中，AB=AC，A=50°，AB的垂直平分線DE交AC于點D，垂足為E，則DBC的度數(shù)是 .6、如圖，已知點C是AOB的平分線上一點，點P、P分別在邊OA、OB上。如果要得到OP=OP，需要添加以下條件中的某一個即可，請你寫出所有可能的結果的序號為_：OCP=OCP OPC=OPC； PC=PC； PPOC7、如圖，在ABC中，BC=5 cm，BP、CP分別是ABC和ACB的角平分線，且PDAB，PEAC，則PDE的周長是_ cm.APBDEC(6題) 8、ABC中，C=90°，AD平分BAC，交BC于點D。若DC=7，則D到AB的距離是 .9、已知：如圖，CEAB于點E，BDAC于點D，BD、CE交于點O，且BO=CO求證：O在BAC的角平分線上10、如圖（7）：ACBC，BM平分ABC且交AC于點M、N是AB的中點且BN=BC。求證：（1）MN平分AMB，（2）A=CBM。11、如圖：在ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE，DF分別垂直AB，AC，垂足為E，F(xiàn)。求證：EB=FC。12、如圖：在ABC中，O是ABC與ACB的平分線的交點。