光滑曲線的弧長

1、§1.3 光滑曲線的弧長一、 空間曲線的弧長計(jì)算公式設(shè)是一條光滑曲線。 點(diǎn)與分別是的起點(diǎn)和終點(diǎn)。問題是曲線的長度如何求出。解法如下：我們按照的定向，在上依次取個(gè)點(diǎn) ， （1）它們把曲線分為個(gè)小弧段。用線段的長度作為弧段“弧長”的一個(gè)近似值。用直線段把相鄰的分點(diǎn)連結(jié)起來，即得一條折線，它的長是 。并把條線段的長度之和作為的“弧長”的一個(gè)近似值。如果設(shè)點(diǎn)對應(yīng)著參數(shù)值。那么 ， （2） 這說明曲線上的一個(gè)分割（1），導(dǎo)致了參數(shù)區(qū)間上的分割（2）；反之亦然。這時(shí)。利用微分中值定理，我們有其中由此可知， 把分割（2）記為。由于與都是上的連續(xù)函數(shù)，它們在上有界。所以存在一個(gè)常數(shù)，使，其中；由此可

2、得 。這表明，將參數(shù)區(qū)間無限加細(xì)時(shí)，將導(dǎo)致分割（1）把曲線無限加細(xì)。我們有，（3）當(dāng)時(shí)，如果（3）的極限存在，那么取這個(gè)極限作為的弧長的定義是十分合理的。當(dāng)時(shí)，（3）的右邊是否有極限？因?yàn)殡m然在內(nèi)，但未必彼此相等。定理 8.1 設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，那么我們有 ，（4） 證明：設(shè)，由三角不等式，可知在上一致連續(xù)。因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上連續(xù)，所以在上可積；對分割，有，； 由三角不等式及在上一致連續(xù)，可得（），于是，成立 。這就是說，對于光滑曲線，可以定義的弧長為 ，或者用向量的記號 。平面曲線：的弧長 。 定理 設(shè)在上連續(xù)，在上連續(xù)，且，（）；對的任意分割，記，。任取，則有 。證明 取 ，則有，

3、由于一致連續(xù)和在上一致連續(xù)，可得（），于是，成立 。此定理的類似思想結(jié)果有用處。例 1. 求半徑為的圓的周長。解：，。例 2. 求旋輪線（擺線）：,的一拱的弧長。解： ,，因此，旋輪線的一拱的弧長是 。二、 平面曲線弧長計(jì)算公式平面曲線：， 。（1） 曲線：， 。（2） 曲線： 所以。三光滑曲線弧長參數(shù)曲線方程的弧長參數(shù)表示 設(shè)曲線：，是一條光滑曲線。（即在上連續(xù)，且，。）考察參數(shù)的函數(shù)，它表示的是從曲線的起點(diǎn)沿著該曲線算到曲線上任一點(diǎn)這一段弧長。弧長微分， 。因?yàn)?，所以是的?yán)格遞增的函數(shù)，因此可以將作為的函數(shù)反解出來，得到，這也是一個(gè)嚴(yán)格遞增的函數(shù)。于是曲線可表示為，它是的向量值函數(shù)。所以，

4、我們可以把向量方程直接記為，這里參數(shù)是從某一點(diǎn)算起的一段弧的弧長。（此表示有很大的方便好處和實(shí)際意義。 例如設(shè)置在一條道路上的一個(gè)個(gè)里程碑牌子，方便于各種使用，例如報(bào)告在道路上的位置；卷尺子上的刻度，把一個(gè)軟尺任意彎曲，構(gòu)成一條曲線，此曲線自帶弧長參數(shù)。在一條曲線上刻上刻度或附上有刻度的軟繩線，就得自然參數(shù)表示了。）設(shè)曲線：（）是一條光滑曲線，這里參數(shù)是弧長參數(shù)。我們把稱為曲線的自然參數(shù)。此時(shí)，顯然有，于是，從而，即得切向量是單位向量。 對曲線方程的一般參數(shù)形式，；設(shè)是，這一段的弧長，則有 ，。例4 考慮圓的參數(shù)方程,。由于，所以有弧長參數(shù)表示，。顯然 ，。例，；與，。表示同一條曲線， 此曲線

5、的弧長參數(shù)表示為， 。曲線弧長計(jì)算舉例例 1.試求的弧長.解 的定義域?yàn)?對函數(shù)求導(dǎo),得,故弧長 .例3. 求阿基米德螺線,最初一圈的弧長.解 .例4.試求曲線的弧長.解 由確定的變化范圍,解不等式,得, 于是. 例5. 試證:曲線的弧長等于橢圓的周長. 證明: , 橢圓的參數(shù)方程為 ,;,故有 . 例6 求雙曲螺線 從計(jì)算起的弧長。其中 ， 。解 ，從計(jì)算起的弧長為 。證明：內(nèi)切于一給定正方形的所有橢圓中，以圓的周長為最大.證明：根據(jù)題設(shè)條件可知，內(nèi)切橢圓的兩個(gè)軸一定分別在正方形的兩條對角線上.設(shè)正方形的邊長為。以正方形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩對角線分別為軸軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)橢圓的方程為，正方形一條邊所在的直線