傅里葉級數(shù)及其應(yīng)用.

1、畢 業(yè) 論 文 題 目： 傅里葉級數(shù)及其應(yīng)用 作 者： 姜廣輝 指導(dǎo)教師： 李博 職 稱： 講師 院 系： 理學(xué)院數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級： 10級1班 日 期： 2014年5月 傅里葉級數(shù)及其應(yīng)用摘 要：傅里葉級數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個重要概念，具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì)，伴隨著科技的進步與發(fā)展，涉及了許多數(shù)學(xué)命題的討論和應(yīng)用，傅里葉級數(shù)的相關(guān)知識已經(jīng)成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計等科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).通過對傅里葉、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里葉級數(shù)方面的貢獻，介紹了傅里葉級數(shù)起源和發(fā)展歷程.同時文章以在圖案設(shè)計和鐵路客運量預(yù)測上的應(yīng)用說明了傅里葉級數(shù)的價值.在圖案設(shè)計設(shè)計方

2、面，運用MATLAB軟件，編寫傅里葉級數(shù)的程序語言，通過自定義函數(shù)、編寫畫圖函數(shù)程序、對圖形多余部分處理、圖形線條加粗等步驟，進而得到傅里葉級數(shù)的圖形.通過對最基本的傅里葉級數(shù)的圖形的組合、排列可以構(gòu)成豐富的圖案.在鐵路客運量預(yù)測方面，基于傅里葉級數(shù)預(yù)測模型，以我國20042009年鐵路客運量為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，通過將時間序列劃分為趨勢性和季節(jié)性部分，分別采用最小二乘法和傅里葉級數(shù)預(yù)測法對兩者進行擬合，應(yīng)用MATLAB軟件，求出預(yù)測模型，并進行預(yù)測.通過對預(yù)測結(jié)果的誤差分析，表明：采用傅里葉級數(shù)預(yù)測法預(yù)測我國鐵路客運量的效果較好.因此傅里葉級數(shù)在一定程度上受到了很多數(shù)學(xué)家的歡迎.關(guān)鍵詞：傅里葉級數(shù)；收

3、斂性；MATLAB軟件；圖案設(shè)計；預(yù)測模型Fourier series and its applicationsAbstract：Fourier series is a mathematical analysis of an important concept，and has good geometry and algebraic properties，along with the progress and development of technology，involving a lot of discussion and application of mathematical propos

4、itions，F(xiàn)ourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier，Lagrange，Dirichlet, Riemann，who contribute in terms of Fourier series，F(xiàn)ourier series introduces the origin and deve

5、lopment process，while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design，the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series，via a custom function，the preparation proc

6、ess of drawing functions，the excess part of the graphics processing，graphics，bold lines and other steps，then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series，the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast，prediction mode

7、l based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base，by the time series into trend and seasonal part，respectively，using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software，find the prediction model and predi

8、ct the outcome of the prediction error by analysis showed that：Fourier series prediction method to predict the effect of Chinas railway passenger volume better. So to some extent，the Fourier series has been welcomed by many mathematicians.Keywords：Fourier series；convergence；MATLAB software；graphic d

9、esign；prediction model目 錄引 言11 傅里葉級數(shù)的起源22 傅里葉級數(shù)的嚴密化42.1 狄利克雷條件42.2 黎曼引理52.3 吉布斯現(xiàn)象與一致收斂52.4 連續(xù)傅里葉級數(shù)的收斂性63 傅里葉級數(shù)的應(yīng)用83.1 傅里葉級數(shù)在圖案設(shè)計上的應(yīng)用83.2 傅立葉級數(shù)在鐵路客運量預(yù)測上的應(yīng)用143.2.1 傅里葉級數(shù)預(yù)測模型143.2.2 實證分析16小 結(jié)19致 謝20參考文獻21引 言在五千年的數(shù)學(xué)歷史長河中，傅里葉級數(shù)的誕生和發(fā)展，構(gòu)成了數(shù)學(xué)史上非常重要的部分.在無法進行理論證明時，采用直觀推斷的研究方法在早期的科學(xué)研究中已被廣泛應(yīng)用.由此帶來了許多重要發(fā)現(xiàn)，傅里葉級數(shù)就

10、是其中之一.傅里葉在研究熱傳導(dǎo)方程時繼承了前人研究天文理論和弦震動方程的方法，直觀地斷定每一個周期函數(shù)都可以表示為三角級數(shù)，但他并沒有給出一個函數(shù)可以展開為三角級數(shù)的條件，也沒有給出嚴格的證明.盡管如此，傅里葉將、歐拉、黎曼等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級數(shù)方法發(fā)展為內(nèi)容豐富的一般理論，從而開創(chuàng)了數(shù)學(xué)物理學(xué)的一個時代.在當(dāng)代，傅里葉級數(shù)在物理學(xué)、計算機、移動通信等學(xué)科具有非常廣泛的應(yīng)用，同時也是處理工程學(xué)中諸多問題不可或缺的理論工具.在圖案設(shè)計中，通過傅里葉級數(shù)的變換，可以設(shè)計出許多精美的圖案.在鐵路客運量預(yù)測中，通過傅里葉級數(shù)預(yù)測法，可以為鐵路部門安排車次提供可靠的理論依據(jù).所以，探究傅里葉

11、級數(shù)的起源發(fā)展及其應(yīng)用，對于培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和創(chuàng)新意識具有重要作用.1 傅里葉級數(shù)的起源1753年，伯努利，提出了采用三角級數(shù)解弦振動方程的方法.1759年，拉格朗日，在給達朗貝爾的信中稱可以表示為三角級數(shù).1777年，歐拉在研究天文問題時得到 （1）因此推出了 ，觀察此式的結(jié)果可知：（1）除了因缺少正弦項而只能表示周期為的偶函數(shù)，歐拉得到的三角級數(shù)與今天我們使用的傅里葉級數(shù)已經(jīng)沒有區(qū)別.（2）歐拉推出級數(shù)系數(shù)的方法運用三角函數(shù)的正交性，這正是現(xiàn)在“信號與系統(tǒng)”課程在推導(dǎo)傅里葉系數(shù)公式時所采取的方法.盡管歐拉已經(jīng)得到了類似傅里葉級數(shù)的表達式，他所采取的推導(dǎo)級數(shù)系數(shù)的方法我們今天仍在使用.然而，

12、他與拉格朗日及達朗貝爾卻始終堅持這樣的觀點：并非是任意的周期函數(shù)都可以表示為三角函數(shù).十九世紀，傅里葉邁出了重要的一步.傅里葉像他同時代的科學(xué)家一樣，也從事熱傳導(dǎo)的研究.他在解如下偏微分方程：時得到，初始條件必須有于是，傅里葉面臨這樣的問題：能表示成三角級數(shù)嗎？特別是能確定嗎？不妨取，上式簡化為傅里葉把等式左邊和右邊的展開為冪級數(shù)，經(jīng)過并不嚴格的推導(dǎo)得到傅里葉敏銳的觀察到，就是函數(shù)在區(qū)間上的面積，而計算面積對相當(dāng)廣泛的函數(shù)都有意義.因此他得出結(jié)論：每一個周期函數(shù)都可表示為，然而，這個結(jié)論卻不為當(dāng)時大多數(shù)科學(xué)家接受，傅里葉仍堅信自己的結(jié)論.隨后他得到了更精確的結(jié)論，即對于任意周期函數(shù)，在周期區(qū)間

13、上都可以表示為 （2）傅里葉從沒有給出“任意”函數(shù)可以這樣表示的一個完全的證明，也沒有說出一個函數(shù)可以展開為三角級數(shù)所必須滿足的條件，但他對此是堅信的.1807年，傅里葉提交的論文被巴黎科學(xué)院拒絕了，論文評委之一的Lagrange堅決否認周期函數(shù)可以展開為三角級數(shù)，并批評了該論文缺乏嚴密性.事實上，傅里葉始終沒有能在他的論文中對傅里葉級數(shù)理論做出嚴格的證明.經(jīng)過15年的抗爭，直到拉格朗日離世9年后的1822年，他終于出版了專著熱的解析理論，直到此時人們才勉強地承認他的思想.我們可以列出傅里葉在方法上存在的缺陷.比如傅里葉在求級數(shù)系數(shù)時采用的方法不夠嚴密，并且比歐拉所采用的運用三角函數(shù)的正交性質(zhì)

14、的方法要復(fù)雜得多.盡管存在一些缺陷，傅里葉得到了正確的結(jié)論.傅里葉的結(jié)論展示了強大的生命力，對數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了深遠的影響，這是傅里葉本人及其同時代人都難以預(yù)料到的，而且這種影響至今還在發(fā)展之中.（1）傅里葉級數(shù)促進了偏微分方程理論的發(fā)展，成功的解決了關(guān)于弦振動問題的解的爭論；（2）傅里葉級數(shù)促進了函數(shù)概念的發(fā)展，傅里葉級數(shù)理論的先驅(qū)者們認為函數(shù)必須由一個解析表達式表示；（3）傅里葉級數(shù)標志人們從解析函數(shù)或可發(fā)展成泰勒級數(shù)的函數(shù)中解放出來.泰勒級數(shù)僅在函數(shù)的解析點附近表示該函數(shù)，而傅里葉級數(shù)在一整段上表示一個函數(shù).2 傅里葉級數(shù)的嚴密化隨著數(shù)學(xué)思想的進步，傅里葉的成就在后來贏得了廣泛的贊許.但

15、嚴格地講并不是任意周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)都收斂.關(guān)于收斂條件和收斂證明問題的研究，后繼者柯西和泊松的努力沒有結(jié)果，代表性的成果是狄利克雷和黎曼做出的.2.1 狄利克雷條件狄利克雷在1822年至1825年間在巴黎幾次會見傅里葉之后，對傅里葉級數(shù)產(chǎn)生了興趣.1829年他在論文關(guān)于三角級數(shù)的收斂性中給定并證明了：當(dāng)滿足下列條件時其傅里葉級數(shù)是收斂的，這就是狄利克雷條件：（1）是單值有界的；（2）是分段連續(xù)的，即在一個周期內(nèi)只有有限多個間斷點；（3）是分段單調(diào)的，即在一個周期內(nèi)只有有限多個極值點.今天的教科書中，條件（1）已放寬為絕對可積，使得工程上所遇到的絕大多數(shù)函數(shù)都滿足狄利克雷條件.條件（2）和（

16、3）排除了無窮間斷點和無窮振蕩的情形.狄利克雷邁開了傅里葉級數(shù)嚴密化的堅實的第一步，以致黎曼尊稱他為傅里葉級數(shù)理論的真正奠基者.關(guān)于傅里葉級數(shù)收斂性的研究持續(xù)到今天有很多結(jié)果，但狄利克雷條件在今天“信號與系統(tǒng)”教科書中使用最為廣泛.2.2 黎曼引理黎曼曾在狄利克雷指導(dǎo)下研究傅里葉級數(shù).1854年他在論文用三角級數(shù)表示函數(shù)中證明了：如果在周期上有界可積，則有其中， 這就是黎曼引理.進一步將定理有界可積條件放寬為勒貝格絕對可積，該定理稱為黎曼勒貝格引理.黎曼同時還證明了在一點的收斂特性只依賴于在該點鄰域中的特性.黎曼勒貝格引理是證明傅里葉級數(shù)收斂性的重要工具.1880年迪尼，給出了另一個傅里葉級數(shù)

17、收斂的充分條件：滿足科普希茨條件的函數(shù)其傅里葉級數(shù)收斂.對該定理的證明就采取了黎曼勒貝格引理.2.3 吉布斯現(xiàn)象與一致收斂1881年約當(dāng)條件給出了另一個傅里葉級數(shù)收斂的充分條件：有界變差函數(shù)的傅里葉級數(shù)收斂于.1898年，吉布斯發(fā)表文章證明了有界變差函數(shù)的傅里葉級數(shù)在間斷點的振蕩規(guī)律，因此這一現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象.這一現(xiàn)象展示了傅里葉級數(shù)在間斷點收斂的不一致性.記的傅里葉級數(shù)的部分和為，級數(shù)在收斂的定義為：；級數(shù)在周期上的一致收斂的定義為：.關(guān)于函數(shù)的傅里葉級數(shù)一致收斂的一個充分條件是：在一個周期上滿足一致科普希茨條件.2.4 連續(xù)傅里葉級數(shù)的收斂性在狄利克雷的研究工作之后的約50年間，人們相信

18、任何連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)都收斂到該函數(shù).然而在1873年雷蒙德給出了一個連續(xù)函數(shù)，其傅里葉級數(shù)在一點發(fā)散.1904年費耶證明了可采用算術(shù)平方方法由任何連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)（即使該級數(shù)發(fā)散）重構(gòu)該函數(shù)，即任何連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在算術(shù)平方和的意義下總是收斂于該函數(shù).記得傅里葉級數(shù)的部分和為，上述結(jié)論用公式表示總是成立.其中， .雷蒙德指出連續(xù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)在某些點發(fā)散，而費耶則證明了級數(shù)在算術(shù)平方和意義下總是收斂于該函數(shù).關(guān)于連續(xù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)的收斂問題似乎解決了.然而1926年柯爾莫果洛夫證明存在勒貝格可積的周期函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)處處發(fā)散.1966年，卡亨和卡茨納爾松指出在任

19、意給定的零側(cè)集上，存在連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在該集合上所有點都發(fā)散.關(guān)于連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的收斂性似乎又不樂觀了.然而在同一年卡爾松發(fā)表文章指出：對于平方可積的周期函數(shù)，其傅里葉級數(shù)幾乎處處收斂.這是一個人們預(yù)料之外的好結(jié)果，因為連續(xù)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)是平方可積的.綜合卡爾松和卡茨納爾的結(jié)果，即連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)只在零側(cè)集上發(fā)散，亦即幾乎處處收斂.至此關(guān)于連續(xù)函數(shù)傅里葉級數(shù)的收斂性問題就完全清楚了.3 傅里葉級數(shù)的應(yīng)用傅里葉級數(shù)從產(chǎn)生到現(xiàn)在雖然只有短短的一百多年的時間，但是它的應(yīng)用卻是非常的廣泛.他被廣泛地應(yīng)用在物理學(xué)、計算機、圖案設(shè)計和預(yù)測模型等很多方面.下面就在圖案設(shè)計和事

20、件預(yù)測方面的應(yīng)用做簡單介紹.3.1 傅里葉級數(shù)在圖案設(shè)計上的應(yīng)用藝術(shù)與數(shù)學(xué)有著極其豐富的普遍意義和極其深刻的美妙聯(lián)系.多少世紀以來，藝術(shù)家在進行藝術(shù)的創(chuàng)作中，利用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)方法而使畫面充滿了和諧與美感.古希臘雕塑家們黃金分割用在他們的許多作品的比例中.偉大的達芬奇在其繪畫研究中運用黃金矩形、比例和射影幾何，取得了非凡的成就.今天，數(shù)學(xué)在為藝術(shù)家提供創(chuàng)造和傳達他們思想的靈感和工具方面仍然起著積極的作用.藝術(shù)家利用數(shù)學(xué)思想創(chuàng)造更深邃的藝術(shù).事實上，有許多藝術(shù)家正在進行與數(shù)學(xué)思想多維空間和計算機在現(xiàn)技術(shù)的數(shù)學(xué)思想有關(guān)的藝術(shù)探索.數(shù)學(xué)（特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)）的研究對象在很大程度上可以被看成是“思維的自由

21、想象和創(chuàng)造”.因此，美學(xué)的因素在數(shù)學(xué)的研究中占有特別重要的地位，以致在一定程度上數(shù)學(xué)就可被看成一種藝術(shù).數(shù)學(xué)理論以邏輯的嚴密性和規(guī)律性，在藝術(shù)的領(lǐng)域里借助于直覺、想象等非邏輯思維.提出新的概念和理論.所以，數(shù)學(xué)不僅有利于發(fā)展人們的邏輯思維，而且有利于人們的創(chuàng)造活動中對審美、直覺的發(fā)展.近代計算機技術(shù)更是將數(shù)學(xué)與美術(shù)這兩者緊密地結(jié)合起來，形成了一門嶄新的邊緣學(xué)科數(shù)學(xué)美術(shù)學(xué).1980年當(dāng)計算機的圖形功能日趨完善的時候，數(shù)學(xué)公式所具有的美術(shù)價值被曼德布魯爾斯所發(fā)現(xiàn)，這就打開了數(shù)學(xué)美術(shù)寶庫的大門，使常人也有幸目睹了數(shù)學(xué)公式所蘊藏的美學(xué)內(nèi)涵.由一些簡單的數(shù)學(xué)公式經(jīng)過上億次迭代計算所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)美術(shù)作品，可

22、以用電腦根據(jù)實物自行改變大小進行組合形成局部圖案，在自動拓展設(shè)計出復(fù)雜的圖案，廣泛用于印染、針織、裝潢.許多復(fù)雜設(shè)計的繪制過程和難以得到的視覺效果，在電腦中變得輕而易舉.現(xiàn)在繪制傅里葉級數(shù)的圖形，以為例，具體步驟如下：（1）運用MATLAB軟件，編寫一個自定義的傅里葉級數(shù)的程序如下：function y=fly(f，k，l) syms x n；a0=int(f，x，-l，l)/l；an=int(f*cos(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；bn=int(f*sin(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；for n=1：k a(n)=int(f*cos(n*pi*x/l)，x，-l，l)

23、/l； b(n)=int(f*sin(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；endg=0；for n=1：k s=a(n)*cos(n*pi*x/l)+b(n)*sin(n*pi*x/l)； g=g+s；endy=a0/2+g；（2）編寫畫圖函數(shù)程序：syms x n f=x； fly(f，1，pi)%調(diào)用傅里葉函數(shù) x=-pi：0.1：pi； x=-pi：0.1：pi； f1=2*sin(x)； f2=-2*sin(x)； f3=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)； f4=-2*sin(x)+sin(2*x)-2/3*sin(3*x)； f5=2*sin(x)-s

24、in(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin(5*x)； plot(x，x，x，f1，x，f2，x，f3，x，f4，x，f5)；得到的到傅里葉級數(shù)的圖形，如圖1：圖1 傅里葉級數(shù)圖形在圖1中將另一部分進行對稱疊加達到對稱的效果，如圖2：圖2 傅里葉級數(shù)疊加效果圖（3）對多余部分進行處理findobj(allchild(gca)，Type，line)ans = 180.0021 179.0021 178.0021 177.0021 176.0021 175.0026 get(ans(1) DisplayName： Annotation： 1x1 hg.Ann

25、otation Color： 0.7500 0.7500 0 LineStyle： - LineWidth： 0.5000 Marker： none MarkerSize： 6 MarkerEdgeColor： auto MarkerFaceColor： none XData： 1x63 double YData： 1x63 double ZData： 1x0 double BeingDeleted： off ButtonDownFcn： Children： 0x1 double Clipping： on CreateFcn： DeleteFcn： BusyAction： queue Hand

26、leVisibility： on HitTest： on Interruptible： on Selected： off SelectionHighlight： on Tag： Type： line UIContextMenu： UserData： Visible： on Parent： 174.0024 XDataMode： manual XDataSource： YDataSource： ZDataSource： 對其中的對象進行設(shè)置set(ans(6)，LineWidth，7)將對象加粗，找到需要刪除的線圖3set(ans(6)，Color，1 1 1) 將y=x這條直線的顏色設(shè)置為白色

27、，達到這條線消失的結(jié)果（這些點對于后期處理沒有影響，不影響這題效果）圖4 淡化效果圖（4）將其他的線條加粗set(ans(1)，LineWidth，3) 改變ans()中的值改變操作的線條圖5 傅里葉級數(shù)加粗效果圖得到最后的效果圖圖6 傅里葉級數(shù)最終的效果圖通過以上一個簡單的例子，我們可以看出：傅里葉級數(shù)圖形非常具有節(jié)奏韻律感，并且，當(dāng)改變變量的取值范圍，就可以生成重復(fù)的、變化的圖案，由此得到的單元及重復(fù)的有節(jié)奏的構(gòu)圖.對以上圖形進行組合、排列或者發(fā)展、衍生，可構(gòu)成豐富的圖案變化.他被廣泛應(yīng)用于：室內(nèi)的裝飾浮雕、壁飾、椅子背、服裝的前身、領(lǐng)角、領(lǐng)帶及皮包、發(fā)卡等；紡織品的床單、毛巾、手絹等以及

28、地磚、墻線裝飾鐵藝柵欄等許多方面.3.2 傅立葉級數(shù)在鐵路客運量預(yù)測上的應(yīng)用鐵路客運量預(yù)測是鐵路部門進行決策的重要依據(jù).鐵路客運量波動具有較強的季節(jié)性特征，對于季節(jié)性預(yù)測常用的方法由：霍爾特-溫特預(yù)測、ARIMA預(yù)測、傅里葉級數(shù)預(yù)測等.選擇傅里葉級數(shù)預(yù)測法對我國2010年的鐵路客運量月度數(shù)據(jù)進行預(yù)測，并且對預(yù)測結(jié)果進行誤差分析.3.2.1 傅里葉級數(shù)預(yù)測模型在解決同時伴有趨勢性變化的時間序列預(yù)測問題時，可將時間序列分為趨勢性部分和季節(jié)性部分進行預(yù)測.其中，趨勢性部分可以通過最小二乘法得到，對季節(jié)性部分用傅里葉級數(shù)預(yù)測法進行預(yù)測.將時間序列分解為： （3）式中：為趨勢性部分；為季節(jié)性部分.用最小

29、二乘法對進行擬合，用傅里葉級數(shù)預(yù)測法對進行預(yù)測，預(yù)測過程分為以下4個步驟.（1）季節(jié)性部分預(yù)測.離散函數(shù)滿足一定的光滑性條件時，可以在區(qū)間上展開為傅里葉級數(shù)： （4）（2）采用最小二乘法求解系數(shù).其中，為不超過的最大整數(shù).（3）選出影響較大的季節(jié)性部分.由公式（4）轉(zhuǎn)化得到：式中：，當(dāng)存在，使取得很大值時，說明具有季節(jié)性成分，即原時間序列具有季節(jié)性；反之，若對所有的，的取值都很小，則說明是不具有季節(jié)性成分，即原時間序列不存在季節(jié)性.傅里葉級數(shù)預(yù)測法的思路是選取取值較大的點，將此時的、帶入公式（4），預(yù)測時間序列的季節(jié)性部分，得到.（4）總體預(yù)測.將計算得到的、帶入公式（3），得到該時間序列的預(yù)

30、測方程.3.2.2 實證分析3.2.2.1 客運量預(yù)測將我國20042009年鐵路客運量作為初始數(shù)據(jù)，利用傅里葉級數(shù)展開式預(yù)測2010年鐵路客運量.（1）利用最小二乘法對我國鐵路客運量20042009年的數(shù)據(jù)進行擬合，得到總體變化趨勢. （2）用原始數(shù)據(jù)減去其對應(yīng)的趨勢性部分，得到季節(jié)性部分、為離散的點.（3）假定滿足傅里葉級數(shù)展開的一切條件，將函數(shù)以為周期延展至，在區(qū)間上展開成公式（4），運用MATLAB軟件編程解得的值，如圖7所示.圖7 的值由圖7可知，當(dāng)時，的取值很大，說明我國鐵路客運量在這6年中帶有季節(jié)性成分，每個季節(jié)成分的長度.根據(jù)傅里葉級數(shù)預(yù)測原理，選出使的取值很大的、.當(dāng)分別取6

31、、12、24、30時的取值相對很大，將、代入公式（4），得到我國20042010年的鐵路客運量中帶有季節(jié)成分的預(yù)測值，2010年的預(yù)測值如表1所示.將預(yù)測值與實際數(shù)據(jù)進行比較，如圖8所示.表1 我國鐵路2010年客運量預(yù)測值 億人月份預(yù)測值月份預(yù)測值11.5071.4521.4081.4831.2891.3041.28101.3551.36111.2261.27121.23圖8 預(yù)測值與實際數(shù)據(jù)的比較3.2.2.2 誤差分析對預(yù)測的相對誤差、平均誤差平方和平均絕對百分數(shù)誤差進行分析.相對誤差： 式中：為預(yù)測值.將數(shù)據(jù)帶入后，預(yù)測的相對誤差為.平均誤差平方： 平均絕對百分數(shù)誤差： 通過誤差分析可

32、見，采用傅里葉級數(shù)預(yù)測法預(yù)測我國鐵路客運量的效果較好.小 結(jié)在歐拉、伯努利等數(shù)學(xué)家討論過三角級數(shù)之后，傅里葉將它發(fā)展成為處理數(shù)學(xué)物理問題的有力工具和具有普遍意義的方法，從而開創(chuàng)傅里葉分析這一近代數(shù)學(xué)的重要分支.三角級數(shù)的研究從19世紀起至今仍相當(dāng)活躍，對整個數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的影響.文章主要介紹了傅里葉級數(shù)的起源、發(fā)展及其應(yīng)用.在介紹傅里葉級數(shù)的起源與發(fā)展方面，本文圍繞傅里葉的主要工作，以時間為線索以關(guān)鍵人物的工作為依托，介紹了傅里葉級數(shù)的起源與發(fā)展.在傅里葉級數(shù)的應(yīng)用方面，第一，介紹了在圖案設(shè)計應(yīng)用，傅里葉級數(shù)的基本形、變體和組合，通過不同的構(gòu)圖方法，創(chuàng)作出豐富的圖案.第二，介紹了在鐵路客運量預(yù)測上的應(yīng)用，傅里葉級數(shù)預(yù)測法對于帶有季節(jié)性的時間