典型例題一階微分方程的解的存在定理

1、第三章 一階微分方程的解的存在定理例3-1 求方程滿足初始條件的解的逐次逼近，并求出的最大值，其中的意義同解的存在唯一性定理中的。解 函數(shù)在整個平面上有意義，則在以原點為中心的任一閉矩形區(qū)域上均滿足解的存在唯一性定理的條件，初值問題的解在上存在唯一，其中。因為逐次逼近函數(shù)序列為 ，此時，所以 ， ?，F(xiàn)在求的最大值。因為 對任給的正數(shù)，上式中，當 時，取得最大值。此時，當且僅當，即時，取得最大值為。評注：本題主要考查對初值問題的解的存在唯一定理及其證明過程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特別地，對其中的等常數(shù)意義的理解和對逐次逼近函數(shù)列的構造過程的理解。例3-2 證明下列初值問題的解在指定區(qū)間

2、上存在且唯一。1） 。2） 。證 1） 以原點為中心作閉矩形區(qū)域。易驗證在區(qū)域上滿足解的存在唯一性定理的條件，求得，則。因此初值問題的解在上存在唯一，從而在區(qū)間上方程滿足條件的解存在唯一。2） 以原點為中心作閉矩形區(qū)域。易驗證在上滿足解的存在唯一性定理的條件，并求得，則。由于，所以當時，當取到最小值，從而可取到最大值，故。當且僅當，即時，取到最大值為。即證明了初值問題的解在區(qū)間上存在唯一。 從而在區(qū)間上解存在唯一。評注：此例是應用解的存在唯一性定理，求出初值問題解存在唯一的區(qū)間。一般解法是先作出適當?shù)拈]矩形區(qū)域；然后驗證在此區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件；最后求出定理3.1中的。例3-3

3、證明如果在閉矩形域上存在且連續(xù), 則在上關于滿足利普希茲條件，反之不成立。證 因為在閉矩形域上存在且連續(xù),所以在區(qū)域上有界，即，有成立，利用中值定理，其中是介于之間的點，命題得證。反之不成立。因為對于方程，取以原點為中心的矩形域，在無導數(shù)，但，故 在上關于滿足利普希茲條件。評注：通過本例的證明顯然可以得到下面結論：若在某矩形區(qū)域內(nèi)某一點處不存在，且在的鄰域內(nèi)無界，則 在上關于不滿足利普希茲條件。例3-4 舉例說明定理3.1 中的兩個條件是保證初值問題的解存在唯一的充分條件，而非必要條件。解 1） 當連續(xù)條件不滿足時，解也可能存在唯一。如方程，顯然在以原點為中心的矩形域中不連續(xù)，間斷點為直線，但

4、解存在唯一，過原點的解為，。2） 當利普希茲條件不滿足時，解也可能存在唯一。如方程， 由于，無界，因而在的任何鄰域內(nèi)不滿足利普希茲條件。然而，可見方程通過解存在唯一。評注：在應用定理3.1時，一定要注意，當條件不滿足時，不能得出解不存在唯一的結論。例3-5 利用解的存在唯一性定理，尋找區(qū)域，使得，方程滿足初始條件的解存在唯一。 解 設，顯然，它在整個平面上連續(xù)。而，由例3-3，在不包含的區(qū)域內(nèi)，有滿足利普希茲條件。若時，不存在，但當，無界，即在包含點或的任何區(qū)域中利普希茲條件不成立。故得所求區(qū)域為。評注：尋找解的存在唯一性定理中的條件所滿足的區(qū)域，就是尋找連續(xù)和關于滿足利普希茲條件的區(qū)域。對于

5、所得到的區(qū)域，都能存在一個完全包含在內(nèi)的閉矩形區(qū)域，使得在此矩形域中滿足解的存在唯一性定理的條件，從而保證初值問題的解存在唯一。例3-6 對于方程和點能否應用定理3.1?解 當時，我們可以考慮方程，其右端函數(shù)滿足定理3.1的條件，即方程通過點的解存在唯一，此時解為。 時，定理3.1不能用。事實上，由方程的通解表達式知，方程通過的解不為一。 評注：在研究解的存在唯一性時，也可以將視為的函數(shù)。例3-7 能否用逐次逼近序列求初值問題的解。解 不能，因為用逐次逼近函數(shù)序列，得，。即收斂于解。但另一方面，通過方程直接求解得也是方程滿足條件的解，即用逐次逼近函數(shù)序列就不能得到此解。評注：應在保證初值問題解

6、存在唯一的情況下，利用逐次逼近序列序列求近似解。例3-8 證明：如果函數(shù)于整個平面上連續(xù)有界，且關于滿足局部利普希茲條件，則方程的任一解均可以延拓到區(qū)間。證 易驗證滿足延拓定理的推論的條件，則過平面上任一點的解存在唯一且可延拓，設過的解為。因為有界，即，均有不等式成立，我們考慮下列三個初值問題， ， ，顯然，由第一比較定理，得，當時， ，當時，即對任何有限區(qū)間，當趨于區(qū)間端點時，都不可能無界，由延拓定理的推論知，的解可延拓到整個區(qū)間。又由的任意性，命題得證。評注：解的延拓定理的條件再加上有界是保證解的存在區(qū)間為的充分條件，而非必要條件，比如柯西問題的解為，其存在區(qū)間為，而在面上無界。例3-9

7、設在上連續(xù)，求證：對，只要充分小，初值問題 （1）的解必可延拓到。證 因為在上連續(xù)，則方程的右端函數(shù)在上連續(xù)；且在任意有界閉區(qū)域上都有下式成立 其中表示在中的最大值。這樣就關于滿足局部利普希茲條件。故初值問題（1）的解必存在唯一、且連續(xù)可微，可進行延拓。下面將證明對，當充分小時，初值問題（1）的解在區(qū)間上存在。用反證法。若不然，初值問題（1）有解，其中取 ，它的右行飽和區(qū)間為，且當時無界。這樣，必存在點，使得（或），且（或）。 另一方面，由于，可知在曲線上，解曲線的斜率為零，即有。矛盾。因此，對，當時，初值問題（1）的解在區(qū)間上存在。評注：在應用解的延拓定理時，注意特殊曲線上積分曲線的性質(zhì)。類

8、似的問題有：設在上連續(xù)，求證：對，只要充分小，初值問題的解必可延拓到。例3-10 試證對任意，方程 滿足初始條件的解都在上存在。證 函數(shù)在整個平面上滿足存在唯一性定理的條件，且有。將原方程與下列方程與比較，由比較定理，原方程滿足的解在其存在區(qū)間上滿足 ， 當時， ， 當時， 由延拓定理，積分曲線可以無限遠離原點，故必在上存在。評注：本例是比較定理的應用，也可用例3-8直接得出結論。例3-11 利用克萊羅（Clairaut）方程構造一個以為奇解的一階方程式，這里假設，且為的嚴格單調(diào)函數(shù)。解 需要構造的一階方程式是克萊羅方程，且應滿足此方程的判別曲線方程，因此，我們構造判別曲線方程，其中將視為的函數(shù)，現(xiàn)尋求關于的表達式。為此，對式兩端關于求偏導數(shù)，得，整理得，或 =0 （不合題意，舍棄）。由于為的嚴格單調(diào)函數(shù)