勾股定理全章新人教版

1、第十七章 勾股定理171 勾股定理（一）作課時間：一、教學(xué)目標1了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。2培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力。3介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，促其勤奮學(xué)習(xí)。二、重點、難點1重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。2難點：勾股定理的證明。三、例題的意圖分析例1（補充）通過對定理的證明，讓學(xué)生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的動手實踐能力；這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。例2使學(xué)生明確，圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不

2、會改變。進一步讓學(xué)生確信勾股定理的正確性。四、課堂引入目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。讓學(xué)生畫一個直角邊為3cm和4cm的直角ABC，用刻度尺量出AB的長。以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說一個直角三角形較短直角邊（勾）

3、的長是3，長的直角邊（股）的長是4，那么斜邊（弦）的長是5。再畫一個兩直角邊為5和12的直角ABC，用刻度尺量AB的長。你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系，52+122和132的關(guān)系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？五、例習(xí)題分析例1（補充）已知：在ABC中，C=90°，A、B、C的對邊為a、b、c。求證：a2b2=c2。分析：讓學(xué)生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學(xué)生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。拼成如圖所示，其等量關(guān)系為：4S+S小正=S大正 4×ab（ba）2=c2，化簡可證。發(fā)

4、揮學(xué)生的想象能力拼出不同的圖形，進行證明。 勾股定理的證明方法，達300余種。這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。例2已知：在ABC中，C=90°，A、B、C的對邊為a、b、c。求證：a2b2=c2。分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等。左邊S=4×abc2右邊S=（a+b）2左邊和右邊面積相等，即4×abc2=（a+b）2化簡可證。六、課堂練習(xí)1勾股定理的具體內(nèi)容是： 。2如圖，直角ABC的主要性質(zhì)是：C=90°，（用幾何語言表示）兩銳角之間的關(guān)系： ；若D為斜邊中點，則斜邊中線 ；若B

5、=30°，則B的對邊和斜邊： ；三邊之間的關(guān)系： 。3ABC的三邊a、b、c，若滿足b2= a2c2，則 =90°； 若滿足b2c2a2，則B是 角； 若滿足b2c2a2，則B是 角。4根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。七、課后練習(xí)1已知在RtABC中，B=90°，a、b、c是ABC的三邊，則c= 。（已知a、b，求c）a= 。（已知b、c，求a）b= 。（已知a、c，求b）2如下表，表中所給的每行的三個數(shù)a、b、c，有abc，試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當(dāng)a=19時，b，c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來。3、4、532+42=525、12、1352+

6、122=1327、24、2572+242=2529、40、4192+402=41219，b、c192+b2=c23在ABC中，BAC=120°，AB=AC=cm，一動點P從B向C以每秒2cm的速度移動，問當(dāng)P點移動多少秒時，PA與腰垂直。4已知：如圖，在ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上。求證：AD2AB2=BD·CD若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論。板書設(shè)計教學(xué)反思171 勾股定理（二）作課時間一、教學(xué)目標1會用勾股定理進行簡單的計算。2樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。二、重點、難點1重點：勾股定理的簡單計算。2難點：勾股定理的靈活運用。三、例題的意圖分析例

7、1（補充）使學(xué)生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間的關(guān)系。讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學(xué)會利用不同的條件轉(zhuǎn)化為已知兩邊求第三邊。例2（補充）讓學(xué)生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。例3（補充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識和新知識綜合運用，提高綜合能力。四、課堂引入復(fù)習(xí)勾股定理的文字敘述；勾股定理的符號語言及變形。學(xué)習(xí)勾股定理重在應(yīng)用。五、例習(xí)題分析例1（補充）在RtABC，C=90°已知a=b=5

8、,求c。已知a=1,c=2, 求b。已知c=17,b=8, 求a。已知a：b=1：2,c=5, 求a。已知b=15，A=30°，求a，c。分析：剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標好圖形，理清邊之間的關(guān)系。已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理。已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式。已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明確已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，學(xué)會見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想。例2（補充）已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊。分析：已知兩邊中較大邊12可

9、能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進形計算。讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。例3（補充）已知：如圖，等邊ABC的邊長是6cm。求等邊ABC的高。 求SABC。分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。欲求高CD，可將其置身于RtADC或RtBDC中，但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求AD=CD=AB=3cm，則此題可解。六、課堂練習(xí)1填空題在RtABC，C=90°，a=8，b=15，則c= 。在RtABC，B=90°，a=3，b=4，則c= 。在RtABC，C=90

10、76;，c=10，a：b=3：4，則a= ，b= 。一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為 。已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm，則第三邊長為 。已知等邊三角形的邊長為2cm，則它的高為 ，面積為 。2已知：如圖，在ABC中，C=60°，AB=，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長。 3已知等腰三角形腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。七、課后練習(xí)1填空題在RtABC，C=90°，如果a=7，c=25，則b= 。如果A=30°，a=4，則b= 。如果A=45°，a=3，則c= 。如果c=10，a-b=2，則b=

11、。如果a、b、c是連續(xù)整數(shù)，則a+b+c= 。如果b=8，a：c=3：5，則c= 。2已知：如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADDC， ABAC，B=60°，CD=1cm，求BC的長。板書設(shè)計教學(xué)反思171 勾股定理（三）作課時間一、教學(xué)目標1會用勾股定理解決簡單的實際問題。2樹立數(shù)形結(jié)合的思想。二、重點、難點1重點：勾股定理的應(yīng)用。2難點：實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。三、例題的意圖分析例1（教材P74頁探究1）明確如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意條件的轉(zhuǎn)化；學(xué)會如何利用數(shù)學(xué)知識、思想、方法解決實際問題。例2（教材P75頁探究2）使學(xué)生進一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形三邊的關(guān)

12、系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。四、課堂引入勾股定理在實際的生產(chǎn)生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使用解決了許多生活中的問題，今天我們就來運用勾股定理解決一些問題，你可以嗎？試一試。五、例習(xí)題分析例1（教材P74頁探究1）分析：在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框為長方形，四個角都是直角。讓學(xué)生深入探討圖中有幾個直角三角形？圖中標字母的線段哪條最長？指出薄木板在數(shù)學(xué)問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？轉(zhuǎn)化為勾股定理的計算，采用多種方法。注意給學(xué)生小結(jié)深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。例2（教材P75頁探究2）分析：在AOB中，已知AB=3，AO=2.

13、5，利用勾股定理計算OB。 在COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理計算OD。則BD=ODOB，通過計算可知BDAC。進一步讓學(xué)生探究AC和BD的關(guān)系，給AC不同的值，計算BD。六、課堂練習(xí)1小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹的離地面的高度是 米。2如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4米，則這兩株樹之間的垂直距離是 米，水平距離是 米。2題圖 3題圖 4題圖3如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是 。4如圖，原計劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術(shù)攻關(guān)，可以打隧道由A地到B地直接修建，

14、已知高速公路一公里造價為300萬元，隧道總長為2公里，隧道造價為500萬元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費用是多少？七、課后練習(xí)1如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC=50米，B=60°，則江面的寬度為 。2有一個邊長為1米正方形的洞口，想用一個圓形蓋去蓋住這個洞口，則圓形蓋半徑至少為 米。3一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q兩點，PQ=16厘米，且RPPQ，則RQ= 厘米。4如圖，鋼索斜拉大橋為等腰三角形，支柱高24米，B=C=30°，E、F分別為BD、CD中點，試求B、C兩點之間的距離

15、，鋼索AB和AE的長度。（精確到1米）板書設(shè)計教學(xué)反思八、參考答案：課堂練習(xí)：1； 26， ；318米； 411600；課后練習(xí)1米； 2；320； 483米，48米，32米；171 勾股定理（四）作課時間一、教學(xué)目標1會用勾股定理解決較綜合的問題。2樹立數(shù)形結(jié)合的思想。二、重點、難點1重點：勾股定理的綜合應(yīng)用。2難點：勾股定理的綜合應(yīng)用。三、例題的意圖分析例1（補充）“雙垂圖”是中考重要的考點，熟練掌握“雙垂圖”的圖形結(jié)構(gòu)和圖形性質(zhì)，通過討論、計算等使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有：3個直角三角形，三個勾股定理及推導(dǎo)式BC2-BD2=AC2-AD2，兩對相等銳角，四對互余

16、角，及30°或45°特殊角的特殊性質(zhì)等。例2（補充）讓學(xué)生注意所求結(jié)論的開放性，根據(jù)已知條件，作適當(dāng)輔助線求出三角形中的邊和角。讓學(xué)生掌握解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。使學(xué)生清楚作輔助線不能破壞已知角。例3（補充）讓學(xué)生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。在轉(zhuǎn)化的過程中注意條件的合理運用。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識和新知識綜合運用，提高解題的綜合能力。例4（教材P76頁探究3）讓學(xué)生利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)的理論。四、課堂

17、引入復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用。五、例習(xí)題分析例1（補充）1已知：在RtABC中，C=90°，CDBC于D，A=60°，CD=，求線段AB的長。分析：本題是“雙垂圖”的計算題，“雙垂圖”是中考重要的考點，所以要求學(xué)生對圖形及性質(zhì)掌握非常熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有：3個直角三角形，三個勾股定理及推導(dǎo)式BC2-BD2=AC2-AD2，兩對相等銳角，四對互余角，及30°或45°特殊角的特殊性質(zhì)等。 要求學(xué)生能夠自己畫圖，并正確標圖。引導(dǎo)學(xué)生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊

18、角，求出BD=3和AD=1?；蛴驛B，可由，分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。例2（補充）已知：如圖，ABC中，AC=4，B=45°，A=60°，根據(jù)題設(shè)可知什么？分析：由于本題中的ABC不是直角三角形，所以根據(jù)題設(shè)只能直接求得ACB=75°。在學(xué)生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置AB邊上的高這條輔助線，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及SABC。讓學(xué)生充分討論還可以作其它輔助線嗎？為什么？小結(jié)：可見解一般三角形的問題常常通過作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。并指出如何作輔助線？解略。例3（補充）已知：如圖，B=D=90°，A=

19、60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。教學(xué)中要逐層展示給學(xué)生，讓學(xué)生深入體會。解：延長AD、BC交于E。A=60°，B=90°，E=30°。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四邊形ABCD=SABE-SCDE=AB·BE-CD·DE=小結(jié)：不規(guī)則圖

20、形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。例4（教材P76頁探究3）分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)的理論。變式訓(xùn)練：在數(shù)軸上畫出表示的點。六、課堂練習(xí)1ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,則BC= ，SABC= 。2ABC中，若A=2B=3C，AC=cm，則A= 度，B= 度,C= 度，BC= ，SABC= 。3ABC中，C=90°，AB=4，BC=，CDAB于D，則AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,SABC= 。4已知：如圖，ABC中，AB=26，

21、BC=25，AC=17，求SABC。七、課后練習(xí)1在RtABC中，C=90°，CDBC于D，A=60°，CD=，AB= 。2在RtABC中，C=90°，SABC=30，c=13，且ab，則a= ，b= 。3已知：如圖，在ABC中，B=30°，C=45°，AC=，求（1）AB的長；（2）SABC。4在數(shù)軸上畫出表示的點。板書設(shè)計教學(xué)反思八、參考答案：課堂練習(xí)：130cm，300cm2；290，60，30，4，；32，3，1，；4作BDAC于D，設(shè)AD=x，則CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，SABC=AC&

22、#183;BD=254；課后練習(xí)：14； 25，12；3提示：作ADBC于D，AD=CD=2，AB=4，BD=，BC=2+，SABC= =2+；4略。172 勾股定理的逆定理（一）作課時間一、教學(xué)目標1體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的證明方法。3理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。二、重點、難點1重點：掌握勾股定理的逆定理及證明。2難點：勾股定理的逆定理的證明。三、例題的意圖分析例1（補充）使學(xué)生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關(guān)系。例2（P82探究）通過讓學(xué)生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，鍛煉

23、學(xué)生的動手操作能力，再通過探究理論證明方法，使實踐上升到理論，提高學(xué)生的理性思維。例3（補充）使學(xué)生明確運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：先判斷那條邊最大。分別用代數(shù)方法計算出a2+b2和c2的值。判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。四、課堂引入創(chuàng)設(shè)情境：怎樣判定一個三角形是等腰三角形？怎樣判定一個三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進行對比，從勾股定理的逆命題進行猜想。五、例習(xí)題分析例1（補充）說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行。如果兩個實數(shù)的平方相等，那么兩個實數(shù)平方相等。線段

24、垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。分析：每個命題都有逆命題，說逆命題時注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運用。理順他們之間的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假。解略。例2（P82探究）證明：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。分析：注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖形，然后寫已知求證。如何判斷一個三角形是直角三角形，現(xiàn)在只知道若有一個角是直角的三角形是直角三角形，從而將問題轉(zhuǎn)化為如何判斷一個角是直角。利用已知條件作一個

25、直角三角形，再證明和原三角形全等，使問題得以解決。先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計算斜邊A1B1=c，則通過三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等可證。先讓學(xué)生動手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，再探究理論證明方法。充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動手操作能力，由實踐到理論學(xué)生更容易接受。證明略。例3（補充）已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）求證：C=90°。分析：運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：先判斷那條邊最大。分別用代數(shù)方法計算出a2+b2和c2的值。判斷a2+b2

26、和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。要證C=90°，只要證ABC是直角三角形，并且c邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明a2+b2=c2即可。由于a2+b2= （n21）2（2n）2=n42n21，c2=（n21）2= n42n21，從而a2+b2=c2，故命題獲證。六、課堂練習(xí)1判斷題。在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對的角是直角。命題：“在一個三角形中，有一個角是30°，那么它所對的邊是另一邊的一半。”的逆命題是真命題。勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。AB

27、C的三邊之比是1：1：，則ABC是直角三角形。2ABC中A、B、C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（ ）A如果CB=A，則ABC是直角三角形。B如果c2= b2a2，則ABC是直角三角形，且C=90°。C如果（ca）（ca）=b2，則ABC是直角三角形。D如果A：B：C=5：2：3，則ABC是直角三角形。3下列四條線段不能組成直角三角形的是（ ）Aa=8，b=15，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca=，b=，c=Da：b：c=2：3：44已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？ a=，b

28、=，c=； a=5，b=7，c=9；a=2，b=，c=； a=5，b=，c=1。七、課后練習(xí)，1敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。如果a30，那么a20；如果三角形有一個角小于90°，那么這個三角形是銳角三角形；如果兩個三角形全等，那么它們的對應(yīng)角相等；關(guān)于某條直線對稱的兩條線段一定相等。2填空題。任何一個命題都有 ，但任何一個定理未必都有 ?！皟芍本€平行，內(nèi)錯角相等?！钡哪娑ɡ硎?。在ABC中，若a2=b2c2，則ABC是 三角形， 是直角；若a2b2c2，則B是 。若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c= m2n2，則ABC是 三角形。3若三角形的三邊是 1、2；

29、； 32，42，52 9，40，41； （mn）21，2（mn），（mn）21；則構(gòu)成的是直角三角形的有（ ）A2個 B個個個4已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？a=9，b=41，c=40； a=15，b=16，c=6；a=2，b=，c=4； a=5k，b=12k，c=13k（k0）。板書設(shè)計教學(xué)反思 八、參考答案：課堂練習(xí)：1對，錯，錯，對； 2D；3D； 4是，B；不是；是，C；是，A。課后練習(xí)：1如果a20，那么a30；假命題。如果三角形是銳角三角形，那么有一個角是銳角；真命題。如果兩個三角形的對應(yīng)角相

30、等，那么這兩個三角形全等；假命題。兩條相等的線段一定關(guān)于某條直線對稱；假命題。2逆命題，逆定理；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；直角，B，鈍角；直角。 3B 4是，B；不是，；是，C；是，C。172 勾股定理的逆定理（二）作課時間一、教學(xué)目標1靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。2進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認識。二、重點、難點1重點：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。2難點：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。三、例題的意圖分析例1（P83例2）讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意識。例2（補充）培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問題，進一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實際問題的意

31、識。四、課堂引入創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法。五、例習(xí)題分析例1（P83例2）分析：了解方位角，及方位名詞；依題意畫出圖形；依題意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30；因為242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據(jù)勾股定理 的逆定理，知QPR=90°；PRS=QPR-QPS=45°。小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。例2（補充）一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形

32、的形狀。分析：若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長；設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形。解略。六、課堂練習(xí)1小強在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是 。2如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿，早晨測得它的影長為4米，中午測得它的影長為1米，則A、B、C三點能否構(gòu)成直角三角形？為什么？3如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲

33、巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，問：甲巡邏艇的航向？七、課后練習(xí)1一根24米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為 ，此三角形的形狀為 。2一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC=15米，AD=13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D兩點之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？3如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90°。

34、板書設(shè)計教學(xué)反思八、參考答案：課堂練習(xí)：1向正南或正北。2能，因為BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；3由ABC是直角三角形，可知CAB+CBA=90°，所以有CAB=40°，航向為北偏東50°。 課后練習(xí)：16米，8米，10米，直角三角形；2ABC、ABD是直角三角形，AB和地面垂直。3提示：連結(jié)AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此CAB=90°，S四邊形=SADC+SABC=36平方米。172 勾股定理的逆定理（三）作課時間一、教學(xué)目標1應(yīng)用勾股定理的逆定理

35、判斷一個三角形是否是直角三角形。 2靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。3進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認識。二、重點、難點1重點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。2難點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。三、例題的意圖分析例1（補充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。例2（補充）使學(xué)生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明DE就是平行線間距離。例3（補充）勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。四、課堂引入勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔，經(jīng)常綜合應(yīng)用來解決一些難度

36、較大的題目。五、例習(xí)題分析例1（補充）已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷ABC的形狀。分析：移項，配成三個完全平方；三個非負數(shù)的和為0，則都為0；已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形。例2（補充）已知：如圖，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四邊形ABCD的面積。分析：作DEAB，連結(jié)BD，則可以證明ABDEDB（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC中，3、4、5勾股數(shù)，DEC為直角三角形，DEBC；利用梯形面積公式可解，或

37、利用三角形的面積。例3（補充）已知：如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD。求證：ABC是直角三角形。 分析：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2六、課堂練習(xí)1若ABC的三邊a、b、c，滿足（ab）（a2b2c2）=0，則ABC是（ ）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2若ABC的三邊a、b、c，滿足a：b：c=1：1：，試判斷ABC的形狀。3已知：如圖，四邊形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB

38、BC。求：四邊形ABCD的面積。4已知：在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，且CD2=AD·BD。求證：ABC中是直角三角形。七、課后練習(xí)，1若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC的面積。2在ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中線BD=5cm。求證：ABC是等腰三角形。3已知：如圖，1=2，AD=AE，D為BC上一點，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。求證：AB2=AE2+CE2。4已知ABC的三邊為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，試判定ABC的形狀。 板書設(shè)計教學(xué)反思八、參考答案：課堂練習(xí)：1C；2AB

39、C是等腰直角三角形； 3 4提示：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，ACB=90°。課后練習(xí)：16；2提示：因為AD2+BD2=AB2，所以ADBD，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=BC。 3提示：有AC2=AE2+CE2得E=90°；由ADCAEC，得AD=AE，CD=CE，ADC=BE=90°，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=AC，則AB2=AE2+CE2。4提示：直角三角形，用代數(shù)方法證明，因為（a+b）2=16，a2+2ab+b2=

40、16，ab=1，所以a2+b2=14。又因為c2=14，所以a2+b2=c2 。 第十七章 勾股定理小結(jié)與復(fù)習(xí)作課時間教學(xué)目標對本章作知識點梳理，通過中考點呈現(xiàn)和易錯題分析提高學(xué)生的水平。知識梳理1.勾股定理（1）內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么_，即直角三角形兩直角邊的_等于斜邊的_.（2）表示方法：在RtABC中，C=90°，則a2+b2=c2.溫馨提示：勾股定理揭示的是直角三角形三邊的平方關(guān)系；勾股定理只對直角三角形適用，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形.（3）應(yīng)用：已知直角三角形的任意兩邊，能求出第三邊.2.勾股定理的逆定理（1）內(nèi)容：如果三角形

41、的三邊長a，b，c滿足_，那么這個三角形是直角三角形.（2）應(yīng)用：判斷某三角形是否為直角三角形或說明兩條線段垂直.3. 如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的_.一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，它也是一個定理，稱這兩個定理互為_.考點呈現(xiàn)考點1 勾股定理圖1例1 （2011年貴州遵義）如圖1，由四個邊長為1的小正方形構(gòu)成一個大正方形，連接小正方形的三個頂點，可得到ABC，則ABC中BC邊上的高是_.解析：由題意知，B，C分別為EF，F(xiàn)D的中點，所以SABC=S正方形AEFDSAEBSBFCSCDA=2&#

42、215;2-=.又BC=，所以ABC中BC邊上的高是故填或CBA圖2考點2 勾股定理的逆定理例2 （2011年四川眉山）如圖2，每個小正方形的邊長為1，A，B，C是小正方形的頂點，則ABC的度數(shù)為 ( )A90° B60° C45° D30°解析：連接AC，因為每個小正方形的邊長為1，A，B，C是小正方形的頂點，所以分別由勾股定理求得AC25，BC25，所以ACBC.又AB210，所以AC2+BC2AB2，所以ABC是等腰直角三角形，所以ABC45°，故選C.考點3 勾股定理的實際應(yīng)用例3 （2011年浙江麗水）如圖3，西安路與南京路平行，并且

43、與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為（ ）A600 m B500 m C400 m D300 m 圖3解析：因為BCAD，所以DAE=ACB.因為BCAB，DEAC，所以ABC=DEA=90°.又AB=DE=400，所以ABCDEA.所以EA=BC=300.在RtABC中，AC=，所以CE=ACAE=200.從B到E有兩種走法：BA+AE=700；BC+CE=500.所以最近的路程是500 m故選B考點4 確定最短線路例4 (2011年湖北荊州，改編)如圖4，長方體的底面邊長分別為2 cm和4 cm，高為5

44、cm，若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為cm；如果從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面繞n圈到達Q點，那么所爬行的最短路徑長為cm.圖4 圖5分析：這是求立體圖形上兩點間的最短路線問題，需要將立體圖形展開，轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后利用兩點之間線段最短求解解：如圖5是長方體的側(cè)面展開圖，其中OP=4×2+2×2=12，OQ=5在RtOPQ中，由勾股定理，得PQ=13(cm)；如果從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面繞n圈到達Q點，則OP=（4×2+2×2）n=12n. 在RtOPQ中，由勾股定理，得PQ=（cm）.故填13，.誤區(qū)點撥一、錯在添加條

45、件例1 在ABC中，三邊的長分別為a，b，c，且a=3，b=4，c為質(zhì)數(shù)，求c.錯解:由勾股定理，得剖析:因ABC是一般三角形，故不能用勾股定理來解，只能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理來解.只有在直角三角形中，勾股定理才是成立的.造成錯解的原因是受“勾3股4弦5”思維定勢的影響.正解：由三角形的三邊關(guān)系定理，得b-acb+a，即4-3c4+3，則1c7.因為c為質(zhì)數(shù)，所以c=2，或c=3，或c=5.二、未弄清最大邊，出現(xiàn)錯判例2 ABC中，已知a=n2-1,b=n2+1,c=2n(n1)，試判斷ABC是否為直角三角形.錯解:因為a2+ b2=（n2-1）2+（n2+1）2=n4-2n2+1+n4+2

46、n2+1=2n4+2,而c2=(2n)2=4n2,所以a2+ b2c2.故這個三角形不是直角三角形.剖析：錯因在于沒有弄清楚哪條邊是最大邊,只是簡單地考查了其中兩邊的平方和是否等于第三邊的平方就得出結(jié)論.在運用勾股定理的逆定理判斷能否組成直角三角形時,應(yīng)先確定最大邊,再考查最大邊的平方是否等于其他兩邊的平方和.正解: 因為n1，所以ba，bc.又a2+c2=（n2-1）2+(2n)2=n4+2n2+1，b2=（n2+1）2=n4+2n2+1，所以a2+c2=b2.故ABC是直角三角形,且B=90°.三、忽視分類討論，出現(xiàn)漏解例3 等腰三角形中，一邊長是6，另一邊長是8，求一腰上的高8

47、圖1ADCB6圖2BDC68A錯解：如圖1，作BDAC于點D，則在RtABD和RtCBD中，分別由勾股定理，得BD2AB2AD2BC2CD2，即AB2AD2BC2(ACAD)2，所以82AD262(8AD)2，則AD，所以BD剖析：對于已知等腰三角形的兩邊應(yīng)分類討論，漏解的原因是只對圖1中的一種情況計算，而忽視了如圖2的情形正解：分兩種情況討論：若以6 cm為底，8 cm為腰，則如圖1，得BD； 若以8 cm為底，6 cm為腰，則如圖2，在RtABD和RtCBD中，分別由勾股定理，得BD2AB2AD2BC2CD2，即AB2AD2BC2(ACAD)2，所以62AD282(6AD)2，則AD，所以BD所以一腰上的高為或. 勾股趣題一、鳥兒捉魚（11世紀阿拉伯民間趣題）小溪邊長著兩棵棕櫚樹，恰好隔岸相望一棵樹高30尺，另外一棵樹高20尺；兩棵棕櫚樹之間的距離是50尺，每棵樹頂上都停著一只鳥忽然，兩只鳥同時看見棕櫚樹間的水面上游出一條魚，