課堂導(dǎo)學（1.3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（一））

1、.課堂導(dǎo)學三點剖析一、求函數(shù)極值【例1】 確定函數(shù)fx=在區(qū)間-2,2上的單調(diào)性并求fx在區(qū)間-2,2上的極大值、極小值、最大值和最小值.解：由得fx=.令fx=0,解得x=-1或x=1.列出下表:x-2-2,-1-1-1,111,22fx-0+0-fx極小值極大值 由表可知，fx的極小值是f-1=;極大值是f1=.又f-2=,f2=,fx在區(qū)間-2,2上的最大值是,最小值是.溫馨提示 對任意實數(shù)x,x2+10,即函數(shù)fx=的定義域為R.又=0,fx在R上的最大值與最小值還分別為和.又f0=0,函數(shù)fx=在R上的值域為,.二、極值的應(yīng)用【例2】 函數(shù)fx=x3-3ax2+2bx在點x=1處有極

2、小值-1,試確定a、b的值,并求出fx的單調(diào)區(qū)間.解：由,得f1=1-3a+2b=-1,又fx=3x2-6ax+2b f1=3-6a+2b=0 由得a=,b=.故函數(shù)的解析式為fx=x3-x2-x.由此得fx=3x2-2x-1,由二次函數(shù)的性質(zhì),當x1時,fx0;當x1時,fx0.因此,在區(qū)間-,和1,+上,函數(shù)fx為增函數(shù);在區(qū)間,1內(nèi),函數(shù)fx為減函數(shù).三、利用函數(shù)極值求函數(shù)的解析式【例3】 設(shè)x=1與x=2是函數(shù)fx=alnx+bx2+x的兩個極值點.試確定常數(shù)a和b的值.解：fx=+2bx+1,f1=f2=0,解得fx=lnx-x2+x.各個擊破類題演練 1 求函數(shù)y=x4-2x2-1

3、的極值.解:y=4x3-4x,令y=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.將x、y及在相應(yīng)區(qū)間上y的符號關(guān)系列表如下:X-,-1-1-1,000,111,+Y-0+0-0+Y極小值-2極大值-1極小值-2 所以當x=-1時,函數(shù)有極小值-2;當x=0時,函數(shù)有極大值-1;當x=1時函數(shù)有極小值-2.變式提升 1 求函數(shù)fx=x3-3x2-9x+5的極值.解:fx=3x2-6x-9=3x+1x-3,令fx=0,解得x1=-1,x2=3,x0,函數(shù)fx遞增;-1x3時,fx3時,fx0,函數(shù)fx遞增.fx極大值=f-1=10;fx極小值=f3=-22.類題演練2 假設(shè)fx=x3+3ax2+3a+2x+1有極大值和極小值,求a的取值范圍.解:fx為三次函數(shù),fx為二次函數(shù),要使fx既有極大值又有極小值,需fx=0有兩個不相等的實數(shù)根,從而有=2a2-4a+20,解得a2.變式提升2 求函數(shù)y=8x3-12x2+6x+1的極值.解:y=24x2-24x+6.令y=0,即24x2-24x+6=0,解得x=.當x時,y0;當x0.所以此函數(shù)無極值.類題演練 3 函數(shù)fx=x+b有極小值2，求a、b應(yīng)滿足的關(guān)系.解:由fx=x+b得fx=.因為fx有極小值，故方程x2-a=0有實根，故a0.fx=0的兩根為與.顯然fx=，且x0；x0時fx