比較法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、比較法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用駐馬店高中 梁秀紅一 數(shù)學(xué)教學(xué)中比較的作用比較是在思維中確定所研究對(duì)象的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).“有比較才有鑒別”.比較是數(shù)學(xué)教學(xué)的必要手段，是學(xué)生理解和掌握知識(shí)的重要方法，教學(xué)實(shí)踐表明，要使學(xué)生經(jīng)過(guò)抽象概括得到理性的認(rèn)識(shí)，首先要通過(guò)比較.不與已有知識(shí)比較的新知識(shí)的學(xué)習(xí)是很困難的，有時(shí)甚至是不可能的.教學(xué)中在給學(xué)生提供感性材料的同時(shí).借助學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用比較，有利于引導(dǎo)他們逐步分辨事物的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征.正如前蘇聯(lián)著名教育家烏申斯基所說(shuō)的那樣：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ).我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的.如果我們面前出現(xiàn)某種新東西，而我們既不能拿他去與其他什

2、么東西比較，又不能把他同什么東西區(qū)別開(kāi)來(lái)，那么，我們就不能對(duì)它形成一種思想，也不能對(duì)他說(shuō)出一句話來(lái).”數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用比較，不但能突出事物的本質(zhì)，明確概念的內(nèi)涵和外延，而且可以簡(jiǎn)化某些問(wèn)題的教學(xué).例如，在學(xué)習(xí)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，和整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行比較，學(xué)生就能很快的掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).思維的基本形式是：概念、判斷和推理，其中判斷和推理都以概念為基本要素.判斷是在比較兩個(gè)或兩個(gè)以上概念的特征之后，對(duì)思維對(duì)象有所肯定或否定的思維形式；推理以演繹推理和歸納推理為主要形式，其中歸納推理以比較某些事物特征為前提，演繹推理則需要在比較一般原理與具體事物的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行.因此，可以說(shuō)

3、，數(shù)學(xué)教學(xué)中教給學(xué)生比較的方法，不僅有利于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，而且是學(xué)生進(jìn)行判斷和推理的重要的思想方法，它有助于學(xué)生提高認(rèn)識(shí)事物和解決問(wèn)題的能力.二 數(shù)學(xué)教學(xué)中的比較形式數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常采用的比較，按應(yīng)用的目的來(lái)分，大致有四種形式：1 相對(duì)概念的比較在數(shù)學(xué)概念的體系中，存在一些帶“可逆性”的概念，如加與減，乘與除，正與負(fù)，等于不等，對(duì)數(shù)與指數(shù)，函數(shù)與反函數(shù)等等，我們把這樣的概念成為相對(duì)概念.相對(duì)概念的比較就是將相對(duì)的概念成對(duì)的出現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生用統(tǒng)一的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)他們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).在實(shí)際教學(xué)中，讓學(xué)生先學(xué)習(xí)相對(duì)概念之一，再以此為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)后一概念，這時(shí)先前概念的學(xué)習(xí)為后一概念的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備了

4、認(rèn)知條件，具有同化新知識(shí)后一概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此，相對(duì)概念的比較學(xué)習(xí)有利于學(xué)生較快地掌握新知識(shí)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).相對(duì)概念的比較學(xué)習(xí)還有利于學(xué)生逆向思維能力的發(fā)展.可逆思維能力是兒童智力發(fā)展中起重要作用的一種思維能力，皮亞杰在發(fā)生認(rèn)識(shí)論中明確提出可逆性是兒童認(rèn)識(shí)由前運(yùn)算階段向具體運(yùn)算階段過(guò)渡的主要指標(biāo)之一.我們知道，加法的進(jìn)行是單向的，與加法相應(yīng)的減法運(yùn)算本身也是單項(xiàng)的，將加法與減發(fā)聯(lián)系起來(lái)，比較著進(jìn)行，就揭示了它們之間的互逆關(guān)系，給學(xué)生認(rèn)識(shí)可逆性提供了機(jī)會(huì)，有助于他們可逆性思維能力的發(fā)展.2. 同類事物的比較所謂同類事物，是指這類對(duì)象具有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或某種數(shù)學(xué)關(guān)系.數(shù)學(xué)教學(xué)中的這類比較主

5、要用于形成概念或認(rèn)識(shí)某類事物的規(guī)律.同類事物的比較能使學(xué)生從感性材料出發(fā)認(rèn)識(shí)事物的數(shù)學(xué)特征，從而能夠較容易地理解抽象的數(shù)學(xué)理論，達(dá)到教學(xué)尋根探源的目的，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系的能力.例如，在引入等差數(shù)列的概念時(shí)，可以讓學(xué)生觀察比較幾個(gè)給定的數(shù)列，并從中找出具有相同性質(zhì)的那些數(shù)列，然后發(fā)現(xiàn)這些數(shù)列的共同特點(diǎn)和構(gòu)造方法：1）2，4，6，8，10，2）-3，-5，-7，-9，-11，-13，-15，3）1，-2，5，-8，11，4）1，2，3，4，5，6，7，5）2，5，8，11，14，17，比較的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，1），2），4），5）具有相同的性質(zhì)：an+1-an=an-an-1,或an+1

6、-an=d（其中d是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，對(duì)于不同的數(shù)列d的值可能不同）.通過(guò)這樣的比較學(xué)生就可以從具體的例子中發(fā)現(xiàn)并理解等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式an=an-1+d=a1+(n-1)d及，這自然得于比較的過(guò)程中.3.易混淆概念的比較在數(shù)學(xué)概念體系中，由于某些概念具有某種相似性或者有些概念有幾種不同的表示方法，以使學(xué)生在學(xué)習(xí)中容易發(fā)生錯(cuò)誤，產(chǎn)生概念之間的混淆，或把不同的概念認(rèn)為是一致的，或看不出不同形式下概念實(shí)質(zhì)上的一致性.如有理數(shù)四則運(yùn)算中，“加減的運(yùn)算符號(hào)與數(shù)的性質(zhì)符號(hào)”，它們形式相同，但性質(zhì)不同.學(xué)習(xí)中學(xué)生有時(shí)把負(fù)號(hào)看成減號(hào)，或把減號(hào)看成負(fù)號(hào)，又如，“等腰三角形底邊上的高線與中線”，是兩個(gè)概念，

7、但它們的實(shí)質(zhì)是一致的.像這種容易混淆的概念我們稱之為易混概念.易混概念的比較就是將易混概念同時(shí)展現(xiàn)在學(xué)生面前，異中求同，同中求異，以使學(xué)生認(rèn)清它們的區(qū)別與聯(lián)系.易混概念之間比較的目的在于幫助學(xué)生分清概念的有關(guān)特征和無(wú)關(guān)特征，加深對(duì)概念的理解；在各種場(chǎng)合下針對(duì)概念的各種變式，抓住本質(zhì)特征，有區(qū)別有聯(lián)系的認(rèn)識(shí)具有某種相似性的概念.例如函數(shù)的極大值和最大值就是兩個(gè)易混概念.最大值是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)取得的最大函數(shù)值，而極大值則是函數(shù)在局部區(qū)間上的性質(zhì).如圖1，A點(diǎn)是最大值但不是極大值，B點(diǎn)是極大值但不是最大值.但有時(shí)函數(shù)的某個(gè)極大值就是函數(shù)的最大值，如圖2，A點(diǎn)既是函數(shù)的極大值又是函數(shù)的最大值.這時(shí)

8、，借助于直觀圖形的比較，突出最大值的“整體性”以及極大值的“局部性”，就能使學(xué)生明確極大值和最大值的概念. A A B B數(shù)學(xué)中的易混概念是很多的，教學(xué)中應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋容^，加以區(qū)分.4 新舊知識(shí)的比較新舊知識(shí)是就教學(xué)中知識(shí)出現(xiàn)的先后順序而言的，舊知識(shí)是指學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，新知識(shí)是指學(xué)生即將學(xué)習(xí)或正在學(xué)習(xí)的知識(shí).數(shù)學(xué)教學(xué)中常常將新舊知識(shí)聯(lián)系在一起，結(jié)合著舊知識(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)，并確定新舊知識(shí)的區(qū)別和聯(lián)系，這就是新舊知識(shí)的比較，它可以是易混概念的比較，也可以是數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)規(guī)律的比較.例如，學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題.這時(shí)小學(xué)學(xué)習(xí)的算術(shù)解法對(duì)目前的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)是舊知識(shí)，教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生雖然學(xué)習(xí)了

9、代數(shù)解法，但仍然習(xí)慣于用小學(xué)學(xué)習(xí)的算術(shù)解法求解，即使設(shè)了未知數(shù)x，也往往把列方程寫作“x=”,等式右邊是一個(gè)算術(shù)運(yùn)算式，原因在于學(xué)生的思維方式還停留在過(guò)去的算術(shù)水平，不會(huì)運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行思考，原來(lái)的算術(shù)方法抑制了代數(shù)方法的接受.如果將代數(shù)方法與算術(shù)方法放到一起進(jìn)行比較，使學(xué)生在比較中認(rèn)識(shí)到代數(shù)解法中的未知數(shù)x與已知數(shù)的同等地位，以及代數(shù)方程所反映問(wèn)題的直接性.這樣，便突出了代數(shù)解法的特點(diǎn)，消除了算數(shù)式子概念對(duì)理解代數(shù)方程概念的障礙.教學(xué)實(shí)踐證明，這種做法收效良好，可以幫助學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)由算術(shù)向代數(shù)的過(guò)渡.實(shí)踐證明，新舊知識(shí)的比較對(duì)于學(xué)生消除舊知識(shí)的負(fù)遷移，順利完成新知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)于學(xué)生鞏固舊知識(shí)

10、，突出新知識(shí)的特點(diǎn)，使新舊知識(shí)在頭腦中清晰地聯(lián)系起來(lái)起著積極的作用.不僅如此，新舊知識(shí)的比較還可以促進(jìn)知識(shí)和方法的正遷移.例如，結(jié)合著分?jǐn)?shù)的特性學(xué)習(xí)分式的性質(zhì)，就能把分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)遷移到分式的學(xué)習(xí)中去，使分式的學(xué)習(xí)變得容易.三數(shù)學(xué)教學(xué)中比較的應(yīng)用前面說(shuō)過(guò)，比較就是在思維中確定所研究對(duì)象的相同點(diǎn)和不同點(diǎn).那么是先確定事物的相同點(diǎn)，再確定事物的不同點(diǎn)呢？還是先確定事物的不同點(diǎn)，再確定事物的相同點(diǎn)？關(guān)于這個(gè)問(wèn)題曾有不同的觀點(diǎn).前蘇聯(lián)心理學(xué)家沙爾達(dá)科夫指出，低年級(jí)學(xué)生在比較中確定對(duì)象的差異較容易，而確定對(duì)象的相似點(diǎn)、相同點(diǎn)較難，所以他認(rèn)為在低年級(jí)教學(xué)中，比較最好從尋找差異開(kāi)始，然后過(guò)渡到確定相似之處，使比

11、較完善起來(lái).可是，后來(lái)有人進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，低年級(jí)學(xué)生在比較客體時(shí)，認(rèn)識(shí)客體異同特征的難易，是隨著許多比較的條件而變化的.在一些比較條件下，學(xué)生尋找客體間的差別較容易；在另一些比較條件下，找出客體間的相似之處較容易.我們認(rèn)為，如果教學(xué)是要找出客體間的共同的本質(zhì)特征，如同類事物間的比較，則需從比較相同點(diǎn)入手，循序漸進(jìn)的進(jìn)行比較，最終達(dá)到認(rèn)識(shí)共同特征的目的.如果教學(xué)是要尋找事物的區(qū)別，如易混概念的比較，一般從比較差異入手.至于相對(duì)概念的比較和新舊知識(shí)的比較，應(yīng)“因地制宜”，從學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)的特點(diǎn)開(kāi)始，比較差異與聯(lián)系交錯(cuò)的進(jìn)行，形成全面而完整的比較.數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用比較時(shí)，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1） 比較要

12、有確定的標(biāo)準(zhǔn)與參照點(diǎn) 事物的性質(zhì)是多樣的，采用不同的標(biāo)準(zhǔn)，比較的結(jié)果是不一樣的.無(wú)論是比較相同點(diǎn)還是不同點(diǎn)，都應(yīng)根據(jù)有關(guān)概念與法則所提供的本質(zhì)標(biāo)志，確定相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)與參照點(diǎn).如果不提供比較的標(biāo)準(zhǔn)與參照點(diǎn)，學(xué)生就難以取得與前人相一致的認(rèn)識(shí)，更談不上達(dá)到教學(xué)中運(yùn)用比較的目的.其次，學(xué)生所具有的感性知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是有限的，事物的本質(zhì)特征又常常是隱蔽的，因而在比較的過(guò)程中學(xué)生往往容易忽略事物所具有的一些特征，所以需要同有關(guān)的定義相對(duì)照，使比較過(guò)程順利地進(jìn)行.（2） 比較要有明確的目的數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用比較法是為了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的有關(guān)本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征，是為一定的教學(xué)目的服務(wù)的.因此，要有計(jì)劃有目的地采取措施，引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行比較.也就是說(shuō)比較要