工程力學 第三章 空間力系與重心

1、課 時 授 課 計 劃授課日期2011.10.22班 別1044-3題 目第三章 空間力系與重心目的要求Ø 掌握力在空間直角坐標系上的投影的計算Ø 掌握力對軸的矩的計算Ø 掌握空間力系的平衡條件Ø 掌握重心的概念重點空間力系的平衡條件難點力對軸的矩的計算教 具課本教 學 方 法課堂教學報書設(shè)計第三章 空間力系與重心第一節(jié) 力在空間直角坐標系上的投影第二節(jié) 力對軸的矩第三節(jié) 空間力系的平衡條件第四節(jié) 物體的重心教學過程：復習：1、復習約束與約束反力概念。2、復習物體受力圖的繪制。新 課：第三章 空間力系與重心第一節(jié) 力在空間直角坐標系上的投影1.力在直角坐

2、標軸上的投影和力沿直角坐標軸的分解     若已知力F與正交坐標系Oxyz三軸間的夾角分別為 、，如圖4-1所示，則力在三個軸上的投影等于力F的大小乘以與各軸夾角的余弦，即 X=cos Y=cos         (4-1) Z=cos     當力與坐標軸Ox、Oy間的夾角不易確定時，可把力先投影到坐標平面Oxy上，得到力，然后再把這個力投影到x、y軸上。在圖4-2中，已知角

3、和，則力在三個坐標軸上的投影分別為 X=sincos Y=sinsin            (4-2) Z=cos     若以、表示力F沿直角坐標軸x、y、z的正交分量，以i、j、k分別表示沿x、y、z坐標軸方向的單位矢量，如圖4-3所示，則 圖4-2=+=Xi+Yj+Zk         &#

4、160;  (4-3) 由此，力在坐標軸上的投影和力沿坐標軸的正交分矢量間的關(guān)系可表示為:=Xi，=Yj，=Zk            (4-4)如果己知力F在正交軸系Oxyz的三個投影，則力F的大小和方向余弦為 =cos(,i)=cos(,j)=            (4-5)cos(,k)=  

5、;  例：圖4-4所示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力的作用。已知斜齒輪的齒傾角(螺旋角) 和壓力角，試求力沿x、y和z軸的分力。解:先將力向z軸和Oxy平面投影，得 Z=-sin =cos 再將力向x、y軸投影，得 X=-sin=-cossin Y=-cos=-coscos 則沿各軸的分力為 =-cossini，=-coscosj，=-sink式中i、j、k為沿x、y、z軸的單位矢量，負號表明各分力與軸的正向相反。稱為軸向力，稱為圓周力，稱為徑向力。  第二節(jié) 力對軸的矩1力對點的矩

6、60;    對于平面力系，用代數(shù)量表示力對點的矩足以概括它的全部要素。但是在空間的情況下，不僅要考慮力矩的大小、轉(zhuǎn)向，而且還要注意力與矩心所組成的平面的方位。方位不同，即使力矩大小一樣，作用效果將完全不同。例如，作用在飛機尾部鉛垂舵和水平舵上的力，對飛機繞重心轉(zhuǎn)動的效果不同，前者能使飛機轉(zhuǎn)彎，而后者則能使飛機發(fā)生俯仰。因此，在研究空間力系時，必須引人力對點的矩這個概念;除了包括力矩的大小和轉(zhuǎn)向外，還應包括力的作用線與矩心所組成的平面的方位。這三個因素可以用一個矢量來表示:矢量的模等于力的大小與矩心到力作用線的垂直距離h(力臂)的乘積;矢量的方位和該力與

7、矩心組成的平面的法線的方位相同;矢量的指向按以下方法確定:從這個矢量的末端來看，物體由該力所引起的轉(zhuǎn)動是逆時針轉(zhuǎn)向，如圖4-7所示。也可由右手螺旋規(guī)則來確定。 力對點O的矩的矢量記作。即力矩的大小為 =h=2OAB 式中OAB為三角形OAB的面積。 由圖4-7易見，以r表示力作用點A的矢徑，則矢積r×的模等于三角形OAB面積的兩倍，其方向與力矩矢一致。因此可得 =r×            (4-11)&#

8、160;上式為力對點的矩的矢積表達式，即:力對點的矩矢等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢量積。 若以矩心O為原點，作空間直角坐標系Oxyz如圖4-7所示，令i、j、k分別為坐標軸x、y、z方向的單位矢量。設(shè)力作用點A的坐標為A(x,y,z)，力在三個坐標軸上的投影分別為X、Y、Z，則矢徑r和力分別為 =xiyjzk=Xi+Yj+Zk 代人式(4-11)，并采用行列式形式，得 =r×F =(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(zY-yX)k? (4-12) 由于力矩矢量的大小和方向都與矩心O的位置有關(guān)，故力矩矢的始端必須在矩

9、心，不可任意挪動，這種矢量稱為定位矢量。2力對軸的矩     工程中，經(jīng)常遇到剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的情形，為了度量力對繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的作用效果，必須了解力對軸的矩的概念。如圖4-8a所示，門上作用一力，使其繞固定軸z轉(zhuǎn)動。現(xiàn)將力分解為平行于z軸的分力和垂直于z軸的分力(此力即為力在垂直于z軸的平面Oxy上的投影)。由經(jīng)驗可知，分力不能使靜止的門繞z軸轉(zhuǎn)動，故力從對z軸的矩為零;只有分力才能使靜止的門繞z軸轉(zhuǎn)動。現(xiàn)用符號表示力對z軸的矩，點O為平面Oxy與z軸的交點,h為點O到力作用線的距離。因此，力對，軸的矩就是分力巧對點0的矩，即 =&#

10、177;h =±2OAB                (4-13) 于是，可得力對軸的矩的定義如下:力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對于這個平面與該軸的交點的矩的大小。其正負號如下確定:從，軸正端來看，若力的這個投影使物體繞該軸按逆時針轉(zhuǎn)向技妥，則取正號，反之取負號。也可按右手螺旋規(guī)則確定其正負號，如圖4-8b所示，姆指指向與z軸一致為正，

11、反之為負。 力對軸的矩等于零的情形:(1)當力與軸相交時(此時h=0);(2)當力與軸平行時(此時=0)。這兩種情形可以合起來說:當力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零。 力對軸的矩的單位為N·m。 力對軸的矩也可用解析式表示。設(shè)力F在三個坐標軸上的投影分別為X、X、Z。力作用點A的坐標為x、y、z，如圖4-9所示。根據(jù)合力矩定理，得 =+ 即 =xY-yX 同理可得其余二式。將此三式合寫為 =yZ-zY =zX-xZ      &#

12、160;     (4一14) =xY-yx以上三式是計算力對軸之矩的解析式。      例4-5  手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個力F,如圖4-10所示，它在垂直于y軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為。如果CD=,桿BC平行于x軸，桿CE平行于y軸，AB和BC的長度都等于l。試求力對x、y和z三軸的矩。 解:將力F沿坐標軸分解為和兩個分力，其中=Fsin, =Fcos。根據(jù)合力矩定理，力F對軸的矩等于分力和對同一軸的矩的代數(shù)和

13、。注意到力與軸平行或相交時的矩為零，于是有 =-(AB+CD)=-F(l+a)cos =-BC=-Flcos =-(AB+CD)=-F(l+a)sin 本題也可用力對軸之矩的解析表達式(4-14)計算。力F在x、y、z軸上的投影為X=Fsin,Y=0,Z=Fcos 力作用點D的坐標為 x=-l，y=l+a，z=0按式(4-14)，得 ?=yZ-zY=(l+a)(-Fcos)-0=-F(l+a)cos =zX-xZ=0-(-l)(-Fcos)=-Flcos =xY-yX=0-(l+a)(Fsin)=-F(l

14、+a)sin 兩種計算方法結(jié)果相同。 3力對點的矩與力對通過該點的軸的矩的關(guān)系     由矢量解析式(4-12)可知，單位矢量 i、j、k前面的三個系數(shù)，應分別表示力對點的矩矢在三個坐標軸上的投影，即=yZ-zY =zX-xz            (4-15) =xY-yX 比較式(4-15)與(4-14)，可得 = =  &

15、#160;         (4-16)= 上式說明:力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。 上述結(jié)論也可指就由力矩的定義來證明。設(shè)有力F和任意定O,如圖4-11所示，作矢表示該力對點O的矩，他垂直于三角形OAB的平面，其大小為 =2OAB 過點O作任意軸z。將力投影到通過O點且垂直于z軸的平面Oxy上，根據(jù)式(4-13)，求得力對z軸的矩為 =2Oab 而Oab是OAB在平面Oxy上的投影。根據(jù)幾何學中的定理，AQ訪的

16、0;面積等于八QAB的面積乘以這兩三角形所在平面之間夾角的余弦。這兩平面的夾角等于這兩平面法線之間的夾角,也就是矢量與，軸之間的夾角(圖4-11)，故 OABcos=Oab 則 cos=此式左端就是力矩矢在z軸上的投影，可用表示。于是上式可寫為 =即式(4-16)的第三等式。同理可證得式(4-16)的另外兩個等式。 式(4-16)建立了力對點的矩與力對軸的矩之間的關(guān)系。因為在理論分析時用力對點的矩矢較簡便，而在實際計算中常用力對軸的矩，所以建立它們二者之間的關(guān)系是很有必要的。 如果力對通過點O的直角坐標軸x、y、z的矩是己知的，則可求

17、得該力對點O的矩的大小和方向余弦為 = cos= cos= cos=  (4-17)式中、分別為矢與x、y、z軸間的夾角。 第三節(jié) 空間力系的平衡條件1空間匯交力系的合力與平衡條件     將平面匯交力系的合成法則擴展到空間，可得:空間匯交力系力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。合力矢為 =+= (4-6) 由式(4-3)可得 =i+j+k (4-7) 其中、為合沿x、y、z軸投影。由此可得合力的大小和方向余弦為 =

18、 cos(,i)= cos(,j)= (4-8) cos(,k)=      例：如圖4-6a所示，用起重桿吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上的點C和D，連線CD平行于。軸。已知:CE=EB=DE，=30°，CDB平面與水平面間的夾角EBF=30°(參見圖4-6b)，物重P=l0kN。如起重桿的重量不計，試求起重桿所受的壓力和繩子的拉力。 解:取起重桿AB與重物為研究對象，其上受有主動力P,B處受繩拉力與;球鉸鏈A的約束反力方向一般不能預先確定，可用三個正交分力表示。本題中，由于桿重不計，又只在A、B兩端受力，所以起重桿AB為二力構(gòu)件，球鉸A對AB桿的反力必沿A、B連線。P，和四個力匯交于點B，為一空間匯交力系。 取坐標軸如圖所示。由已知條件知: CBE=DBE=45°，列平衡方程 =O, sin45°-sin45°=0=O, sin30°-cos45°cos30°