專題探究課四

1、.高考導(dǎo)航1.立體幾何是高考考察的重要內(nèi)容，每年的高考試題中根本上都是“一大一小兩題，即一個(gè)解答題，一個(gè)選擇題或填空題，題目難度中等偏下；2.高考試題中的選擇題或填空題主要考察學(xué)生的空間想象才能及計(jì)算才能，解答題那么主要采用“論證與計(jì)算相結(jié)合的形式，即首先是利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)展空間角的計(jì)算，重在考察學(xué)生的邏輯推理才能及計(jì)算才能，熱點(diǎn)題型主要有平面圖形的翻折、探究性問(wèn)題等；3.解決立體幾何問(wèn)題要用的數(shù)學(xué)思想方法主要有：1轉(zhuǎn)化與化歸空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題；2數(shù)形結(jié)合根據(jù)空間位置關(guān)系利用向量轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.熱點(diǎn)一空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及空間

2、角的計(jì)算教材VS高考空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系通?？疾炱叫?、垂直關(guān)系的證明，一般出如今解答題的第1問(wèn)，解答題的第2問(wèn)?？疾烨罂臻g角，一般都可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【例1】 總分值12分2019·全國(guó)卷如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90°，E是PD的中點(diǎn).1證明：直線CE平面PAB；2點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角MABD的余弦值.教材探源此題源于教材選修21P109例4，在例4的根底上進(jìn)展了改造，刪去了例4的第2問(wèn)，引入線面角的求解.總分值解

3、答1證明取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EFAD，EFAD，1分得分點(diǎn)1由BADABC90°得BCAD，又BCAD，所以EF綉B(tài)C，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF，3分得分點(diǎn)2又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.4分得分點(diǎn)32解由得BAAD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長(zhǎng)度，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，那么A0，0，0，B1，0，0，C1，1，0，P0，1，1，0，1，0，0.設(shè)Mx，y，z0<x<1，那么x1，y，z，x，y1，z.6分得分點(diǎn)4因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而n0，

4、0，1是底面ABCD的一個(gè)法向量，所以|cos，n|sin 45°，即x12y2z20.又M在棱PC上，設(shè)，那么x，y1，z.由，解得舍去，所以M，從而.8分得分點(diǎn)5設(shè)mx0，y0，z0是平面ABM的法向量，那么即所以可取m0，2.10分得分點(diǎn)6于是cosm，n.因此二面角MABD的余弦值為.12分得分點(diǎn)7得步驟分：抓住得分點(diǎn)的解題步驟，“步步為贏，在第1問(wèn)中，作輔助線證明線線平行證明線面平行；第2問(wèn)中，建立空間直角坐標(biāo)系根據(jù)直線BM和底面ABCD所成的角為45°和點(diǎn)M在直線PC上確定M的坐標(biāo)求平面ABM的法向量求二面角MABD的余弦值.得關(guān)鍵分：1作輔助線；2證明CEBF

5、；3求相關(guān)向量與點(diǎn)的坐標(biāo)；4求平面的法向量；5求二面角的余弦值，都是不可少的過(guò)程，有那么給分，無(wú)那么沒(méi)分.得計(jì)算分：解題過(guò)程中計(jì)算準(zhǔn)確是得總分值的根本保證，如得分點(diǎn)4，得分點(diǎn)5，得分點(diǎn)6，得分點(diǎn)7. 利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系.第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo).第三步：求向量直線的方向向量、平面的法向量坐標(biāo).第四步：計(jì)算向量的夾角或函數(shù)值.第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角.第六步：反思回憶，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題標(biāo)準(zhǔn).【訓(xùn)練1】 2019·長(zhǎng)沙模擬在四棱錐PABCE中，PA底面ABCE，CDAE，AC平分BAD，G為PC的中點(diǎn)，PAAD2，BCDE，AB3，CD2，F(xiàn)

6、，M分別為BC，EG上一點(diǎn)，且AFCD.1求的值，使得CM平面AFG；2求直線CE與平面AFG所成角的正弦值.解1在RtADC中，ADC為直角，tanCAD，那么CAD60°，又AC平分BAD，BAC60°，AB3，AC2AD4，在ABC中，由余弦定理可得BC，DE.連接DM，當(dāng)時(shí)，AGDM，又AFCD，AFAGA，平面CDM平面AFG，又CM平面CDM，CM平面AFG.2分別以DA，AF，AP為x，y，z軸的正方向，A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如下圖，那么A0，0，0，C2，2，0，D2，0，0，P0，0，2，E2，0，0，可得G1，1，那么1，1，0，2，0，

7、2，0.設(shè)平面AFG的法向量為nx，y，z，AFCD，即令x1，得平面AFG的一個(gè)法向量為n1，0，1.直線CE與平面AFG所成角的正弦值為|cos，n|.熱點(diǎn)二立體幾何中的探究性問(wèn)題此類試題一般以解答題形式呈現(xiàn)，常涉及線、面平行、垂直位置關(guān)系的探究或空間角的計(jì)算問(wèn)題，是高考命題的熱點(diǎn)，一般有兩種解決方式：1根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；2利用空間向量，先假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件判斷該點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在.【例2】 如下圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PACD，PA1，PD，E為PD上一點(diǎn)，PE2ED.1求證：PA平面ABCD；2在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF平面AEC？

8、假設(shè)存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.1證明PAAD1，PD，PA2AD2PD2，即PAAD.又PACD，ADCDD，AD，CD平面ABCD，PA平面ABCD.2解存在.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.那么A0，0，0，B1，0，0，C1，1，0，P0，0，1，E，所以1，1，0，.設(shè)平面AEC的法向量為nx，y，z，那么即令y1，那么n1，1，2.假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點(diǎn)F，且01，使得BF平面AEC，那么·n0.又0，1，0，1，·n120，存在點(diǎn)F，使得BF平面AEC，且F為PC的中點(diǎn).探究進(jìn)步1對(duì)于存

9、在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解等.2對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).【訓(xùn)練2】 2019·河北“五個(gè)一名校二模如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120°，四邊形BFED是以BD為直角腰的直角梯形，DE2BF2，平面BFED平面ABCD.1求證：AD平面BFED；2在線段EF上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的位置；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.1證明在梯形A

10、BCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120°，AB2，在DCB中，由余弦定理得BD2DC2BC22DC·BCcosBCD3，AB2AD2BD2，BDAD.平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，AD平面ABCD，AD平面BFED.2解存在.理由如下：假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)P，AD平面BFED，ADDE，以D為原點(diǎn)，DA，DB，DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么D0，0，0，A1，0，0，B0，0，E0，0，2，F(xiàn)0，1，那么0，1，1，0，1，0，2，設(shè)P是線段上一點(diǎn)，那么存在0，1，使得，那么0，1，在AEP中，1，0，

11、20，11，2.取平面ADE的一個(gè)法向量為n0，1，0，設(shè)平面PAB的法向量為mx，y，z，由得令y2，那么m2，2，1為平面PAB的一個(gè)法向量，二面角APDC為銳二面角，cosm，n，解得，故P為線段EF上靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn).熱點(diǎn)三立體幾何中的折疊問(wèn)題將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，這類問(wèn)題稱為立體幾何中的折疊問(wèn)題，折疊問(wèn)題常與空間中的平行、垂直以及空間角相結(jié)合命題，考察學(xué)生的空間想象力和分析問(wèn)題的才能.【例3】 2019·全國(guó)卷如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB5，AC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF

12、折到DEF的位置，OD.1證明：DH平面ABCD；2求二面角BDAC的正弦值.1證明由得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，從而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以O(shè)H1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD.2解如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Hxyz.那么H0，0，0，A3，1，0，B0，5，0，C3，1，0，D0，0，3，3，4，0，6，0，0，3，1，3.設(shè)mx1，y1，z1是平面ABD的法向量，那么即所以可取m4，3，5.設(shè)nx2，y2，z

13、2是平面ACD的法向量，那么即所以可取n0，3，1.于是cosm，n.sinm，n.因此二面角BDAC的正弦值是.探究進(jìn)步立體幾何中的折疊問(wèn)題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況，一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.【訓(xùn)練3】 2019·衡水中學(xué)調(diào)研如圖1所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是線段AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn).將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2所示.1證明：CD平面A1OC；2假設(shè)平面A1BE平面BCDE，求直線BD與平面A1BC所成角的正弦值.1證明在題圖1中

14、，連接CE，因?yàn)锳BBC1，AD2，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以四邊形ABCE為正方形，四邊形BCDE為平行四邊形，所以BEAC.在題圖2中，BEOA1，BEOC，又OA1OCO，OA1，OC平面A1OC，從而B(niǎo)E平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.2解由1知BEOA1，BEOC，所以A1OC為二面角A1BEC的平面角，又平面A1BE平面BCDE，所以A1OC，所以O(shè)B，OC，OA1兩兩垂直.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么B，0，0，E，0，0，A10，0，C0，0，得，0，0，由，0，0，得D，0.所以，0.設(shè)平面A1B

15、C的法向量為nx，y，z，直線BD與平面A1BC所成的角為，那么得取x1，得n1，1，1.從而sin |cos，n|，即直線BD與平面A1BC所成角的正弦值為.1.2019·成都診斷如下圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，PA2，ABC90°，AB，BC1，AD2，ACD60°，E為CD的中點(diǎn).1求證：BC平面PAE；2求直線PD與平面PBC所成角的正弦值.1證明AB，BC1，ABC90°，AC2，BCA60°.在ACD中，AD2，AC2，ACD60°，由余弦定理得：AD2AC2CD22AC·CD·cosAC

16、D，解得CD4，AC2AD2CD2，ACD是直角三角形.又E為CD的中點(diǎn)，AECDCE，又ACD60°，ACE是等邊三角形，CAE60°BCA，BCAE.又AE平面PAE，BC平面PAE，BC平面PAE.2解由1可知BAE90°，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB，AE，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么P0，0，2，B，0，0，C，1，0，D，3，0，0，2，1，2，3，2.設(shè)nx，y，z為平面PBC的法向量，那么即設(shè)x1，那么y0，z，n，cosn，直線PD與平面PBC所成角的正弦值為.2.2019·鄭州調(diào)研在矩形ABCD中，AB1

17、，AD2，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，沿BE將ABE折起至PBE，如下圖，點(diǎn)P在平面BCDE的射影O落在BE上.1求證：BPCE；2求二面角BPCD的余弦值.1證明由條件，點(diǎn)P在平面BCDE的射影O落在BE上，平面PBE平面BCDE，且在BCE中，BE2CE2BC2，BE22，CE22，BC24，BECE，又平面PBE平面BCDEBE，CE平面BCDE，CE平面PBE，又BP平面PBE，BPCE.2解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)O且平行于CD的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且平行于BC的直線為y軸，直線PO為z軸，建立如下圖空間直角坐標(biāo)系.那么B，0，C，0，D，0，P0，0，設(shè)平面PCD的法向量為n1x1，y1，z1，那

18、么即令z1，可得n1，設(shè)平面PBC的法向量為n2x2，y2，z2，那么即令z2，可得n22，0，cosn1，n2，結(jié)合圖形判斷二面角BPCD為鈍二面角，那么二面角BPCD的余弦值為.3.2019·西安模擬如圖在直角梯形BB1C1C中，CC1B190°，BB1CC1，CC1B1C12BB12，D是CC1的中點(diǎn)，四邊形AA1C1C可以通過(guò)直角梯形BB1C1C以CC1為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B1CC1A為120°.1假設(shè)點(diǎn)E是線段A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，求證：DE平面ABC；2求二面角BACA1的余弦值.1證明連接DA1，DB1，CDAA1且CDAA1，四邊形AA1DC是平行四

19、邊形，ACA1D，同理BCDB1，A1D平面ABC，DB1平面ABC，又A1DDB1D，A1D，DB1平面DA1B1，平面DA1B1平面CAB，又DE平面DA1B1，DE平面ABC.2解在平面A1B1C1內(nèi)，過(guò)C1作C1FB1C1，由題知CC1C1B1，CC1A1C1，CC1平面A1B1C1.分別以C1F，C1B1，C1C為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系C1xyz，那么C10，0，0，A，1，1，C0，0，2，B0，2，1，所以，1，1，0，0，2，1，1，0，2，1，設(shè)平面A1AC的法向量為mx，y，z，平面BAC的法向量為na，b，c，有那么可取m，3，0，有那么可取n，1，2，

20、cosm，n，所以二面角BACA1的余弦值為.4.2019·武漢模擬如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形BDEF為矩形，ACBF，G為EF的中點(diǎn).1求證：BF平面ABCD；2二面角CBGD的大小可以為60°嗎，假設(shè)可以求出此時(shí)的值，假設(shè)不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.1證明四邊形ABCD是正方形，四邊形BDEF為矩形，BFBD，又ACBF，AC，BD為平面ABCD內(nèi)兩條相交直線，BF平面ABCD.2解假設(shè)二面角CBGD的大小可以為60°，由1知BF平面ABCD，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，不妨設(shè)ABAD2，BFhh>0，那么A0，

21、0，0，B2，0，0，D0，2，0，C2，2，0，EF的中點(diǎn)G1，1，h，1，1，h，0，2，0.設(shè)平面BCG的法向量為nx，y，z，那么即取nh，0，1.由于ACBF，ACBD，AC平面BDG，平面BDG的法向量為2，2，0.由題意得cos 60°，解得h1，此時(shí).當(dāng)時(shí)，二面角CBGD的大小為60°.5.2019·湘中名校調(diào)研如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ADDC，PD平面ABCD，E，F(xiàn)，M分別是棱PD，PC和BC上的點(diǎn)，且，N是PA上一點(diǎn)，ADPD.1求當(dāng)為何值時(shí)，平面NEF平面MEF；2在1的條件下，假設(shè)ABDC2，PD3，求平面BCN與平面MEF所成銳二面角的余弦值.解1在AD上取一點(diǎn)G，使得，連接EG，MG，EGPA，MGCD.PD平面ABCD，PDCD，ADCD，CD平面PAD，EFDC，那么EF平面PAD.平面NEF平面MEF，NEG90°，在RtPAD中，ADPD，PAPD，在PNE中，由正弦定理得PNPD.當(dāng)2時(shí)，平面NEF平面MEF.2以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，那么A3，0，0，B3，2，0，C0