函數(shù)的奇偶性的經(jīng)典總結(jié)

1、函數(shù)的奇偶性一、函數(shù)奇偶性的基本概念1偶函數(shù)：一般地，如果對(duì)于函數(shù)fC)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x),f(-x)-f(x)=0，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。2奇函數(shù)：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一個(gè)x，都有f(-x)二-f(x)，f(-x)+f(x)=0，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。注意：(1)判斷函數(shù)的奇偶性，首先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是非奇非偶函數(shù)，若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷f(-x)二土fC)之一是否成立。(2)在判斷fC)與f(-x)的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證f(-x)土f0=0及/U=土1是否成立即f(x)可來(lái)確定函數(shù)的奇偶性。

2、題型一判斷下列函數(shù)的奇偶性。f(x)=x2+|x|，(2)f(x)=x3-x(3)G(x)=f(x)f(x),xeR(5)f(x)=xcosx(6)f(x)=xsinx(7)f(x)=2x-2-x，(8)提示：上述函數(shù)是用函數(shù)奇偶性的定義和一些性質(zhì)來(lái)判斷判斷上述函數(shù)的奇偶性的方法就是用定義。常見的奇函數(shù)有：f(x)=x，f(x)=x3，f(x)=sinx，常見的奇函數(shù)有：f(x)=x2，f(x)=|x|，f(x)=cosx若f0、gC)都是偶函數(shù),那么在f0與gC)的公共定義域上，fC)+gC)為偶函數(shù)，fC)-gC)為偶函數(shù)。當(dāng)g0時(shí)，也為偶函數(shù)。g(x)若fC),gC)都是奇函數(shù)，那么在f

3、C)與g(x)的公共定義域上，fC)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)-g(x)是奇函數(shù)，fC)gC)是偶函數(shù)，當(dāng)g(x)/0時(shí)，凹是偶函數(shù)。g(x)(6)常函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))是偶函數(shù)，f(x)=0既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)。(7)在公共定義域內(nèi)偶函數(shù)的和、差、積、商分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù).(8)對(duì)于復(fù)合函數(shù)FC)=fgC)；若gC)為偶函數(shù)，f(x)為奇(偶)函數(shù)，則FC)都為偶函數(shù)；若gC)為奇函數(shù)，fc)為奇函數(shù)，則F(X)為奇函數(shù);若gC)為奇函數(shù)，fc)為偶函數(shù)，則F(x)

4、為偶函數(shù).題型二三次函數(shù)奇偶性的判斷已知函數(shù)/(x)二ax3+bx2+cx+d，證明：(1)當(dāng)a二c二0時(shí)，f(x)是偶函數(shù)當(dāng)b=d=0時(shí)，f(x)是奇函數(shù)提示：通過(guò)定義來(lái)確定三次函數(shù)奇偶性中的常見題型，如f(x)二ax2+bx+c，當(dāng)b二0,f(x)是偶函數(shù)；當(dāng)a二c二0，f(x)是奇函數(shù)。題型三利用函數(shù)奇偶性的定義來(lái)確定函數(shù)中的參數(shù)值函數(shù)f(x)二ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閍-1,2a，則a+b=3-2設(shè)f(x)=ax2+bx+2是定義在11+a,2上的偶函數(shù)，則f(x)的值域是-10,2_.sinx3已知f(x)=是奇函數(shù)，則a的值為1(x-1)(x+a)4已知f(x)=s

5、inxln(x+*x2+a)是偶函數(shù)，則a的值為1提示：(1)上述題型的思路是用函數(shù)奇偶性的定義，f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)。(2)因?yàn)槭翘羁疹}，所以還可以用f(-1)=-f(1),f(-1)=f(1)。還可以用奇偶性的性質(zhì)，如奇函數(shù)乘以奇函數(shù)是偶函數(shù)，奇函數(shù)乘以偶函數(shù)是奇函數(shù)等題型四利用函數(shù)奇偶性的對(duì)稱1下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(B)A.y=x2sinxy=xB.y=x2cosxC.y=|lnxD.y=2-x2下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是AA.B.C.D.3下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是(C)Ay=x+1B.yC.y=x4D.y=xx4函數(shù)f(x)-x的圖像關(guān)于(C)

6、xA.y軸對(duì)稱B.直線y-x對(duì)稱C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.直線yx對(duì)稱5已知函數(shù)f(x+1)是R上的奇函數(shù)，且f(-1)4，則f=-46已知函數(shù)f(x+2)是R上的偶函數(shù)，則f(-3)-3，則f(7)=-3提示：(1)上述題型的思路是用函數(shù)奇偶性的定義，f(-x)f(x),f(-x)-f(x)。奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。在原點(diǎn)有定義的奇函數(shù)必有f(0)0。已知函數(shù)f(x+1)是R上的奇函數(shù)，則f(x)關(guān)于點(diǎn)(t,0)對(duì)稱。已知f(x+1)是偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于直線xt對(duì)稱。題型五奇偶函數(shù)中的分段問(wèn)題1設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x+2x+b(b為常數(shù))，

7、則f(-1)-32已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x|x-，求x0時(shí)，f(x)2x3-x2，則f(-3)=-45已知f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2+2x，求f(-4)24設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)2x-4(x0)，則(x-2)xIx4提示：(1)已知奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0，f(x)g(x)，則當(dāng)x0，f(x)g(x)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)g(-x)。類型六奇函數(shù)的特殊和性質(zhì)1已知函數(shù)f(x)=ax3+2，求/(一2)+/的和為42已知f(x)=x7-bx5+ex3+dx+6,且f(-3)=12，則f=03已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,f(2)=

8、_-26_4已知函數(shù)f(x)二匕罕1，若f(a)=2，則f(-a)=(4)x2+133提示：已知f(x)滿足，f(x)=g(x)+1，其中g(shù)(x)是奇函數(shù)，則有f(a)+f(-a)=2t。題型七函數(shù)奇偶性的結(jié)合性質(zhì)1設(shè)f(x)、g(x)是R上的函數(shù)，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則結(jié)論正確的是A.f(x)g(x)是偶函數(shù)Bf(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)2設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是A.f(x)+|g(x)|是偶函B.f(x)-|g(x)|是奇函數(shù)C.f(x)|+g(x)|是偶函數(shù)D.

9、f(x)-g(x)|是奇函數(shù)3設(shè)函數(shù)與的定義域是且,是偶函數(shù),是奇函數(shù),且,求和的解析式,提示：(1)已知f(x)是奇函數(shù)，則If(x)|是偶函數(shù)。(2)已知h(x)是R上的函數(shù)，且f(x)也是R上的偶函數(shù)和也是R上的奇函數(shù)，滿足h(x)=f(x)+g(x)，則有g(shù)(x)=h(-x)+h(x)2f(x)=h(x)一h(-x)題型八函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性1下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的是()A1y=xBy=e-xCy=-x2+1D.y=lgx(A)y=cos2x,XeR下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為(B)y=log2|,xeR且xH0C)exe-x

10、(D)y二x3+1,xeR設(shè)，則(B)A既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C有零點(diǎn)的減函數(shù)D沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)4設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+Q上為增函數(shù)，且f=0，則不等式f(x)f(x)0，則x的取值范圍是(1,3).126已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足0時(shí),f(x)0，又f(1)=2(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(3)求f(x)在區(qū)間-2,6上的最值。最大值1,最小值-3。，且有f2a2+a+10.則f(x)為(B)-1,x0A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)5已知f(X)為奇函數(shù)，則f(x)-x為(A)A奇函數(shù)

11、B.偶函數(shù)C.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)6已知點(diǎn)6,3)是偶函數(shù)f(x)圖像上一點(diǎn)，則f(-1)等(B)7若點(diǎn)(-1,3)在奇函數(shù)y=f(x)的圖象上，則f(1)等于(D)8已知y二f(x)+x2是奇函數(shù)，且f(1)=1若g(x)=f(x)+2，則g(-1)=-1.9設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)，在上一定是(A)A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D非奇非偶函數(shù)10設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則2f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=011已知偶函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x二2對(duì)稱，f=3，則f(-1)=_3.12設(shè)函

12、數(shù)fC)對(duì)于任意x,yeR都有f(x+y)=f(x)+f(y)，求證：fC)是奇函數(shù)。13已知teR，函數(shù)f(x)=2x+,x-0,為奇函數(shù)，則t=-1,g(f(-2)=g(x),x0),求f2(x)-4f(x)+3二0的個(gè)數(shù)7已知偶函數(shù)f(x)=x2一4|x|+6(x0)，求f3(x)一12f2(x)+44f(x)一48=0的個(gè)數(shù)9四、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)1已知f(x+3)是偶函數(shù)，且f(0)=2，則2f(6)-3的值為1已知f(x)=x+2，則f(一3)+f的值43已知其中為常數(shù)，若，則的值等于(-10)b15已知f(x)=ax+2，則f(ln3)+f(ln)的值-4已知f(x)=ax2，則f

13、(-3)+f的值-4xb17已知函數(shù)f(x)=In6已知f(x)=ax+-csinx+3，貝gf(ln3)+f(ln)的值6+2，則f(lg5)+flg-k5丿8已知函數(shù)f(X)二Inl+9x2-3x1,貝f(lg2)+flg-k2丿9已知函數(shù)f(x)=ax3+bsinx+4(a,bgR),f(lg(log10)=5，則f(lg(lg2)=3210設(shè)函數(shù)f(x)=的最大值為M，最小值為m，則M+m=_2x2+111已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xg(-0)時(shí)，f(x)=2x3+x2，則f=11在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足f(x)+g(x)二ax-a-x+2(0,且)若，則二12若函數(shù)f

14、(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)-g(x)二ex，則有(D)Affg(0)Bg(0)ffCfg(0)fD.g(0)f(2)f(3)13若函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)且當(dāng)0 x0)上的最大值為M，最小值為ex+1m，則M+m=4.20奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+2)為偶函數(shù)，且f(1)=1，則f(8)+f(9)=(1)21設(shè)定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x)=f(x+2)，那么f(1)+f+f(2017)的值022已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0，都有f(x+2)=f(x)，且當(dāng)xe0,2)時(shí)，f(x)=log2(x+1)，則有f(-2016)+f(2017

15、)的值1五、函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用1已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是2設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+Q上為增函數(shù)，且f=0，則不等式f(x)二f(x)0，則x的取值范圍是(-1,3).127已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加，則滿足0),則xI/(x-2)0=xIx410已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù),且在區(qū)間(-+8)上單調(diào)遞減,若/(3x+1)+/(1)0，則x的取值范圍是_(-3，+s)_.11已知/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)A滿足13/(2iA-1I)/(-邁)，貝UA的取值范圍是(_,_)12已知定義在R上的函數(shù)/(X)二2x-M-1(m為實(shí)數(shù))為偶

16、函數(shù)，記a=/(log3),B=/(log5),c=/(2m)，則a,B,c的大小關(guān)系為cAb0.5213/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-8,0上是減函數(shù)，且/=0,則使得/(x)0的解集是(4,10),g(x)0的解集為(2,5),則/(x)-G(x)0的解集為(-5,-4)U(4,5)17已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在0,+8)上是增函數(shù)，令2兀5兀5兀a=/(sin),B=/(cos_7),c=/(tan),則a,B,c的大小，caB18已知函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，若當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，F(xiàn)(x)=lg(x+4),則滿足/(x)0的解集，(-5,0)U(5,+8)19設(shè)是奇

17、函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是()20設(shè)f(x)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍21函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在0,+)上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是(B)ABCD22R上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有則A.（A）（B）（C）（D）23設(shè)函數(shù)f（x）=In（1+x）In（1-x），則f。）是（A）A奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)C偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)24已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2x),則A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增c.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=i對(duì)稱B奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

18、B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減D.y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱25函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的的取值范圍是26函數(shù)f(x)(x豐0)是奇函數(shù)，且當(dāng)xe(0,+8)時(shí)是增函數(shù)，若f(1)=0，求不等式f(x10的解集。I2丿27已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y=f(x2+2)+f(2x-m)只有一個(gè)4零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)=mx+(x1)的最小值是(5)x128已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m0)在區(qū)間L8,8上有四個(gè)不同的根x,x,x,x1234x+x+x+x=.-81234已

19、知函數(shù)f(x)二x3-4x，求f(x-2)0的解集(0,2)(4,+8)已知R上的奇函數(shù)f(x)=x2-4x+4+b(x0)，求f(x)0時(shí)，f(x)=1(|x-a21+|x-2a21-32)。若VxeR,f(x-1)f(x)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為-6,11662已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(meZ)是偶函數(shù)，且f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.(I)求m的值，并確定f(x)的解析式；(口)g(x)=log32xf(x),求g(x)的定2義域和值域.答案：(I)m=1,f(x)=x2；(n)(8,2已知函數(shù)的定義域?yàn)椋彝瑫r(shí)滿足下列條件：是奇函數(shù)；(2)在定義域上單調(diào)遞減；(3)求的取值范圍。已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，證明：(1)函數(shù)是上的減函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)。5已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x).求f(2012)的值；0求證：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱；若f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，試比較f(-25),f(11),f(80)的大小.f(-25)f(80)h(log(2a+1)對(duì)任意xe1,+刈恒成