SAS講義因子分析

1、第三十六課 因子分析因子分析（Factor Analysis）是主成分分析的推廣，它也是從研究相關(guān)矩陣內(nèi)部的依賴關(guān)系出發(fā)，把一些具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)綜合因子的一種多變量統(tǒng)計(jì)分析方法。具體地說(shuō)，就是要找出某個(gè)問(wèn)題中可直接測(cè)量的、具有一定相關(guān)性的諸指標(biāo)，如何受少數(shù)幾個(gè)在專業(yè)中有意義，又不可直接測(cè)量到，且相對(duì)對(duì)立的因子支配的規(guī)律，從而可用諸指標(biāo)的測(cè)定來(lái)間接確定諸因子的狀態(tài)。一、 何為因子分析因子分析的目的是用有限個(gè)不可觀察的潛在變量來(lái)解釋原變量間的相關(guān)性或協(xié)方差關(guān)系。在這里我們把不可觀察的潛在變量稱為公共因子（common factor）。在研究樣品時(shí)，每個(gè)樣品需要檢測(cè)很多指標(biāo)，假設(shè)

2、測(cè)得個(gè)指標(biāo)，但是這個(gè)指標(biāo)可能受到(<)個(gè)共同因素的影響，再加上其他對(duì)這些指標(biāo)有影響的因素。寫成數(shù)學(xué)的形式就是：(36.1)利用矩陣記號(hào)有(36.2)各個(gè)指標(biāo)變量都受到的影響，因此稱為公共因子，稱為因子載荷矩陣，是單變量所特有的因子，稱為的特殊因子（unique factor）。設(shè)，分別是均值為0，方差為1的隨機(jī)變量，即；特殊因子，分別是均值為0，方差為，的隨機(jī)變量，即；各特殊因子之間及特殊因子與公共因子之間都是相互獨(dú)立的，即及。錯(cuò)誤！未定義書簽。是第個(gè)變量在第個(gè)公共因子上的負(fù)荷，從投影的角度看，就是在坐標(biāo)軸上的投影。主成份分析的目標(biāo)是降維，而因子分析的目標(biāo)是找出公共因素及特有的因素，即公

3、共因子與特殊因子。在主成份分析中，殘差通常是彼此相關(guān)的。在公因子分析中，特殊因子起到殘差的作用，但被定義為彼此不相關(guān)且和公因子也不相關(guān)。而且每個(gè)公因子假定至少對(duì)兩個(gè)變量有貢獻(xiàn)，否則它將是一個(gè)特殊因子。在開(kāi)始提取公因子時(shí)，為了簡(jiǎn)便還假定公因子彼此不相關(guān)且具有單位方差。在這種情況下，向量的協(xié)方差矩陣可以表為(36.3)這里D=diag()，diag表示對(duì)角矩陣。如果假定已將錯(cuò)誤！未定義書簽。標(biāo)準(zhǔn)化，也就是說(shuō)錯(cuò)誤！未定義書簽。的每一個(gè)分量的均值都為0，方差都是1，即，那么(36.4)記，則有(36.5)錯(cuò)誤！未定義書簽。反映了公共因子f對(duì)的影響，稱為公共因子f對(duì)的“貢獻(xiàn)”。實(shí)際反映了變量對(duì)公共因子f

4、的依賴程度。另一方面，還可以考慮指定的一個(gè)公共因子對(duì)各個(gè)變量的影響。實(shí)際上，對(duì)各個(gè)變量的影響可由中第列的元素來(lái)描述，那么(36.6)稱為公共因子對(duì)的“貢獻(xiàn)”。顯然越大，對(duì)的影響就越大，成為衡量因子重要性的一個(gè)尺度。實(shí)際上(36.7)那么矩陣的統(tǒng)計(jì)意義就非常清楚：l 錯(cuò)誤！未定義書簽。是和的相關(guān)系數(shù)；l 錯(cuò)誤！未定義書簽。是對(duì)公共因子的依賴程度；l 錯(cuò)誤！未定義書簽。是公共因子對(duì)的各個(gè)分量總的影響。下面我們來(lái)看怎樣求解因子載荷矩陣。二、 因子載荷矩陣的求解如果已知協(xié)方差矩陣和，可以很容易地求出。根據(jù)(36.3)有(36.8)記，則是非負(fù)定矩陣。若記矩陣的p個(gè)特征值 > = = = 0，且m

5、個(gè)非零特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則的譜分解式為(36.9)只要令(36.10)就可以求出因子載荷矩陣。但在實(shí)際問(wèn)題中，我們并不知道、，即不知道，已知的只是個(gè)樣品，每個(gè)樣品測(cè)得個(gè)指標(biāo)，共有個(gè)數(shù)據(jù)，樣品數(shù)據(jù)見(jiàn)表6.1所示。為了建立公因子模型，首先要估計(jì)因子載荷錯(cuò)誤！未定義書簽。和特殊因子方差。常用的參數(shù)估計(jì)方法有以下三種：主成份法、主因子解法和極大似然法。1. 主成份法主成份法求因子載荷矩陣的具體求法如下：首先從資料矩陣出發(fā)求出樣品的協(xié)方差矩陣，記之為，其特征值為，相應(yīng)單位正交特征向量為，當(dāng)最后個(gè)特征值較小時(shí)，則對(duì)進(jìn)行譜分解可以近似為(36.11)其中 > 0是協(xié)方差矩陣相應(yīng)的前個(gè)較大特

6、征值。先取，然后看是否接近對(duì)角陣。如果接近對(duì)角陣，說(shuō)明公共因子只要取一個(gè)就行了，所有指標(biāo)主要受到這一個(gè)公共因子的影響；如果不是近似對(duì)角陣，就取，然后看是否接近對(duì)角陣，如果接近對(duì)角陣，就取兩個(gè)公共因子；否則再取，直到滿足“要求”為止。這里的“要求”要視具體情況而定，一般而言，就象主成分分析一樣，直接取前個(gè)特征值和特征向量，使得它們的特征值之和占全部特征值之和的85以上即可。此時(shí)，特殊因子方差。2. 主因子解法主因子解法是主成份法的一種修正，它是從資料矩陣出發(fā)求出樣品的相關(guān)矩陣，設(shè)，則。如果我們已知特殊因子方差的初始估計(jì)，也就是已知了先驗(yàn)公因子方差的估計(jì)為，則約相關(guān)陣為(36.12)計(jì)算的特征值和

7、特征向量，取前個(gè)正特征值及相應(yīng)特征向量為，則有近似分解式(36.13)其中，令，則和為因子模型的一個(gè)解，這個(gè)解就稱為主因子解。上面的計(jì)算是我們假設(shè)已知特殊因子方差的初始估計(jì)，那么特殊因子方差的初始估計(jì)值如何得到呢？由于在實(shí)際中特殊因子方差（或公因子方差）是未知的。以上得到的解是近似解。為了得到近似程度更好的解，常常采用迭代主因子法。即利用上面得到的作為特殊方差的初始估計(jì)，重復(fù)上述步驟，直到解穩(wěn)定為止。公因子方差（或稱變量的共同度）常用的初始估計(jì)有下面三種方法：l 取為第個(gè)變量與其他所有變量的多重相關(guān)系數(shù)的平方（或者取，其中是相關(guān)矩陣的可逆矩陣的對(duì)角元素，則）；l 取為第個(gè)變量與其他所有變量相關(guān)

8、系數(shù)絕對(duì)值的最大值；l 取=1，它等價(jià)于主成份解。3. 極大似然法假定公共因子f和特殊因子服從正態(tài)分布，那么我們可得到因子載荷陣和特殊方差的極大似然估計(jì)。設(shè)維的個(gè)觀察向量為來(lái)自正態(tài)總體的隨機(jī)樣本，則樣本似然函數(shù)為和的函數(shù)。設(shè)，取，對(duì)于一組確定的隨機(jī)樣本，已經(jīng)變成了確定已知的值，則似然函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為和的函數(shù)。接下來(lái)就可以求和取什么值，函數(shù)能達(dá)到最大。為了保證得到唯一解，可以附加唯一性條件對(duì)角陣，再用迭代方法可求得極大似然估計(jì)的和的值。三、 因子旋轉(zhuǎn)因子模型被估計(jì)后，還必須對(duì)得到的公因子進(jìn)行解釋。進(jìn)行解釋通常意味著對(duì)每個(gè)公共因子給出一種意義明確的名稱，它用來(lái)反映在預(yù)測(cè)每個(gè)可觀察變量中這個(gè)公因子的重

9、要性，這個(gè)公因子的重要程度就是在因子模型矩陣中相應(yīng)于這個(gè)因子的系數(shù)，顯然這個(gè)因子的系數(shù)絕對(duì)值越大越重要，而接近0則表示對(duì)可觀察變量沒(méi)有什么影響。因子解釋是一種主觀的方法，有時(shí)侯，通過(guò)旋轉(zhuǎn)公因子可以減少這種主觀性，也就是要使用非奇異的線性變換。設(shè)維可觀察變量滿足因子模型。設(shè)錯(cuò)誤！未定義書簽。是任一正交陣，則因子模型可改寫為(36.14)其中，。根據(jù)我們前面假定：每個(gè)公因子的均值為0，即，每個(gè)公因子的方差為1，即，各特殊因子之間及特殊因子與公共因子之間都是相互獨(dú)立的，即及?？梢宰C明(36.15)(36.16)(36.17)(36.18)因此，。這說(shuō)明，若和是一個(gè)因子解，任給正交陣錯(cuò)誤！未定義書簽。

10、，和也是因子解。由于正交陣錯(cuò)誤！未定義書簽。是任給的，所以因子解不是唯一的。在實(shí)際工作中，為了使載荷矩陣有更好的實(shí)際意義，在求出因子載荷矩陣后，再右乘一個(gè)正交陣，這樣就變換了因子載荷矩陣，這種方法稱為因子軸的正交旋轉(zhuǎn)。我們知道，一個(gè)所有系數(shù)接近0或±1的旋轉(zhuǎn)模型矩陣比系數(shù)多數(shù)為0與±1之間的模型容易解釋。因此，大多數(shù)旋轉(zhuǎn)方法都是試圖最優(yōu)化模型矩陣的函數(shù)。在初始因子提取后，這些公因子是互不相關(guān)的。如果這些因子用正交變換（orthogonal transformation）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的因子也是不相關(guān)的。如果因子用斜交變換（oblique transformation）進(jìn)行

11、旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后的因子變?yōu)橄嚓P(guān)的。但斜交旋轉(zhuǎn)常常產(chǎn)生比正交旋轉(zhuǎn)更有用的模型。旋轉(zhuǎn)一組因子并不能改變這些因子的統(tǒng)計(jì)解釋能力。如果兩種旋轉(zhuǎn)模型導(dǎo)出不同的解釋，這兩種解釋不能認(rèn)為是矛盾的。倒不如說(shuō)，是看待相同事物的兩種不同方法。從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)看，不能說(shuō)一些旋轉(zhuǎn)比另一些旋轉(zhuǎn)好。在統(tǒng)計(jì)意義上，所有旋轉(zhuǎn)都是一樣的。因此在不同的旋轉(zhuǎn)之間進(jìn)行選擇必須根據(jù)非統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)。在多數(shù)應(yīng)用中，我們選擇最容易解釋的旋轉(zhuǎn)模型。四、 應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題l 因子分析是主成分分析的推廣，它也是一種降維技術(shù)，其目的是用有限個(gè)不可觀測(cè)的隱變量來(lái)解釋原始變量之間的相關(guān)關(guān)系。l 因子模型在形式上與線性回歸模型很相似，但兩者有著本質(zhì)的區(qū)別：回歸模型中

12、的自變量是可觀測(cè)到的，而因子模型中的各公因子是不可觀測(cè)的隱變量。而且，兩個(gè)模型的參數(shù)意義很不相同。l 因子載荷矩陣不是唯一的，利用這一點(diǎn)通過(guò)因子的旋轉(zhuǎn)，可以使得旋轉(zhuǎn)后的因子有更鮮明的實(shí)際意義。l 因子載荷矩陣的元素及一些元素組合有很明確的統(tǒng)計(jì)意義。l 因子模型中常用的參數(shù)估計(jì)方法主要有：主成分法，主因子法和極大似然法。l 在實(shí)際應(yīng)用中，常從相關(guān)矩陣R出發(fā)進(jìn)行因子模型分析。 常用的因子得分估計(jì)方法有：巴特萊特因子得分和湯姆森因子得分兩種方法。五、 Factor因子分析過(guò)程因子分析用少數(shù)起根本作用、相互獨(dú)立、易于解釋通常又是不可觀察的因子來(lái)概括和描述數(shù)據(jù)，表達(dá)一組相互關(guān)聯(lián)的變量。通常情況下，這些相

13、關(guān)因素并不能直觀觀測(cè)，這類分析通常需用因子分析完成。 factor過(guò)程一般由下列語(yǔ)句控制：proc factor data=數(shù)據(jù)集 <選項(xiàng)列表> ;priors 公因子方差 ;var 變量表 ;partial 變量表 ;freq 變量 ;weight 變量 ;by 變量 ;run ;1. proc factor語(yǔ)句的<選項(xiàng)列表>。1) 有關(guān)輸出數(shù)據(jù)集選項(xiàng)。l out= 輸出數(shù)據(jù)集創(chuàng)建一個(gè)輸出數(shù)據(jù)集，包括輸入數(shù)據(jù)集中的全部數(shù)據(jù)和因子得分估計(jì)。l outstat= 輸出數(shù)據(jù)集用于存儲(chǔ)因子分析的結(jié)果。這個(gè)結(jié)果中的部分內(nèi)容可作為進(jìn)一步因子分析的讀入數(shù)據(jù)集。2) 有關(guān)因子提取和公

14、因子方差選項(xiàng)。l method= 因子選擇方法包括principal（主成份法），prinit（迭代主因子法），usl（沒(méi)有加權(quán)的最小二乘因子法），alpha（因子法或稱harris法），ml（極大似然法），image（映象協(xié)方差陣的主成份法），pattern（從type=選項(xiàng)的數(shù)據(jù)集中讀入因子模型）、score（從type=選項(xiàng)的數(shù)據(jù)集中讀入得分系數(shù)）。常用方法為principal（主成份法）、ml（極大似然法）和prinit（迭代主因子法）。l heywood公因子方差大于1時(shí)令其為1，并允許迭代繼續(xù)執(zhí)行下去。因?yàn)楣蜃臃讲钍窍嚓P(guān)系數(shù)的平方，我們要求它總是在0和1之間。這是公因子模型的數(shù)學(xué)

15、性質(zhì)決定的。盡管如此，但在最終的公因子方差的迭代估計(jì)時(shí)有可能超過(guò)1。如果公因子方差等于1，這種狀況稱為Heywood狀況，如果公因子方差大于1，這種狀況稱為超-Heywood狀況。在超-Heywood狀況時(shí)，因子解是無(wú)效的。l priors =公因子方差的計(jì)算方法名規(guī)定計(jì)算先驗(yàn)公因子方差估計(jì)的方法，即給各變量的公因子方差賦初值，包括one（等于1.0），max (最大絕對(duì)相關(guān)系數(shù) )，smc（多元相關(guān)系數(shù)的平方），asmc (與多元相關(guān)系數(shù)的平方成比例，但要適當(dāng)調(diào)整使它們的和等于最大絕對(duì)相關(guān))，input （從data=指定的數(shù)據(jù)集中，按type=指定類型讀入第一個(gè)觀察中的先驗(yàn)公因子

16、方差估計(jì)），random（0與1之間的隨機(jī)數(shù)）。3) 有關(guān)規(guī)定因子個(gè)數(shù)及收斂準(zhǔn)則的選項(xiàng)。l nfactors=n要求保留n個(gè)公因子，否則只保留特征值大于1的那些公因子。l mineigen=p規(guī)定被保留因子的最小特征值。l proportion=p使用先驗(yàn)公因子方差估計(jì)，對(duì)被保留的因子規(guī)定所占公共方差比例為這個(gè)p值。l converge=p當(dāng)公因子方差的最大改變小于p時(shí)停止迭代。缺省值=0.001。l maxiter=n規(guī)定迭代的最大數(shù)。缺省值為30。4) 有關(guān)旋轉(zhuǎn)方法的選項(xiàng)。l rotate因子轉(zhuǎn)軸方式名給出旋轉(zhuǎn)方法。包括none，varimax，quartimax，equamax，orth

17、omax，hk，promax，procrustes。常用的有varimax（正交的最大方差轉(zhuǎn)軸法）、orthomax（由gamma=指定權(quán)數(shù)的正交方差最大轉(zhuǎn)軸法）和promax（在正交最大方差轉(zhuǎn)軸的基礎(chǔ)上進(jìn)行斜交旋轉(zhuǎn)）。l normkaiser | raw | weight | cov | none為了對(duì)因子模型進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，規(guī)定模型矩陣中行的正規(guī)化方法。例如，norm=kaiser表示使用Kaiser的正規(guī)化方法。norm=weight表示使用Cureton-Mulaik方法進(jìn)行加權(quán)。norm=cov表示模型矩陣的這些行被重新標(biāo)度為表示協(xié)方差而不是相關(guān)系數(shù)。norm=raw或none表示不進(jìn)行正

18、規(guī)化。l gamma=p規(guī)定正交方差最大旋轉(zhuǎn)的權(quán)數(shù)。l prerotate因子轉(zhuǎn)軸方式名規(guī)定預(yù)先旋轉(zhuǎn)的方法。除了promax和procrustes的旋轉(zhuǎn)方法，任何其他的旋轉(zhuǎn)方法都可使用。5) 有關(guān)控制打印輸出的選項(xiàng)。l simple打印輸出包括簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)數(shù)。l corr打印輸出相關(guān)陣和偏相關(guān)陣。l score打印因子得分模型中的系數(shù)。l scree打印特征值的屏幕圖。l ev打印輸出特征向量。l residuals打印殘差相關(guān)陣和有關(guān)的偏相關(guān)陣。l nplot=n規(guī)定被作圖的因子個(gè)數(shù)。l plot在旋轉(zhuǎn)之后畫因子模型圖。l preplot在旋轉(zhuǎn)之前畫因子模型圖。l msa打印被所有其余變量控制的

19、每對(duì)變量間的偏相關(guān)，并抽樣適當(dāng)?shù)腒aiser度量。l reorder在打印輸出時(shí)讓各種因子矩陣的這些行重新排序。在第一個(gè)因子上具有最大絕對(duì)載荷的變量首先被輸出，然后按最大載荷到最小輸出，緊接著在第二個(gè)因子上輸出具有最大絕對(duì)載荷的變量等等。2. priors語(yǔ)句。為var變量設(shè)定公因子方差，值在0.0和1.0之間。其值的設(shè)定應(yīng)與var語(yǔ)句的變量相對(duì)應(yīng)。例如：proc factor；priors 0.7 0.8 0.9； var x y z；其他語(yǔ)句的使用略。六、 Factor score因子得分過(guò)程無(wú)論是初始因子模型還是旋轉(zhuǎn)后的因子模型，都是將指標(biāo)表示為公因子的線性組合。在因子分析中，還可以將公

20、因子表示為指標(biāo)的線性組合，這樣就可以從指標(biāo)的觀測(cè)值估計(jì)各個(gè)公因子的值，這種值叫因子得分。它對(duì)樣品的分類有實(shí)際意義。因子得分可由proc score過(guò)程完成。score過(guò)程一般由下列語(yǔ)句控制： proc score data=數(shù)據(jù)集 <選項(xiàng)列表> ;var 變量 ;run ;proc score語(yǔ)句選項(xiàng)包括out輸出數(shù)據(jù)集，存儲(chǔ)因子得分結(jié)果等。將factor和score兩個(gè)過(guò)程書寫在同一個(gè)程序中，可以提高分析的效率。七、 實(shí)例分析例36.1 下表36.1給出的數(shù)據(jù)是在洛杉礬十二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大都市居民統(tǒng)計(jì)地區(qū)中進(jìn)行人口調(diào)查獲得的。它有五個(gè)社會(huì)經(jīng)濟(jì)變量，它們分別是人口總數(shù)(pop) 、居民的教

21、育程度或中等教育的年數(shù)(school )、雇傭人總數(shù)(employ )、各種服務(wù)行業(yè)的人數(shù)(services )和中等的房?jī)r(jià)(house )，試作因子分析。表36.1 五個(gè)社會(huì)因素調(diào)查數(shù)據(jù)編號(hào)popschool employ services house 1570012.82500270250002100010.96001010000334008.810001090004380013.61700140250005400012.8160014025000682008.3260060120007120011.440010160008910011.5330060140009990012.534001

22、801800010960013.73600390250001196009.63300801200012940011.44000100130001. 建立數(shù)據(jù)文件。程序如下：data socecon;input pop school employ services house;title 'FIVE SOCIO-ECONOMIC VARIABLES'cards; 5700 12.8 2500 270 25000 1000 10.9 600 10 10000 9400 11.4 4000 100 13000;run;程序運(yùn)行后，生成一個(gè)scoecon數(shù)據(jù)集。2. 調(diào)用因子分析fac

23、tor過(guò)程。菜單操作方法，在SAS系統(tǒng)的主菜上，選擇Globals/SAS/Assist 進(jìn)入Assist的主菜單，再選擇data analysis/multivar/factor analysis(因子分析)。編程方法如下：proc factor data=socecon method=prin priors=one simple corr score;run;proc factor data=socecon method=prin priors=smc msa scree residual preplot rotate=promax reorder plot outstat=fact_al

24、l ;run;proc factor data=socecon method=ml heywood nfacotors=1;run;proc factor data=socecon method=ml heywood nfactors=2;run;proc factor data=socecon method=ml heywood nfactors=3;run;程序說(shuō)明：共調(diào)用了5個(gè)factor因子分析過(guò)程。第1個(gè)過(guò)程為主成份因子分析，第2個(gè)過(guò)程為主因子分析，第3個(gè)過(guò)程為提取一個(gè)因子的最大似然分析，第4個(gè)過(guò)程為提取二個(gè)因子的最大似然分析，第5個(gè)過(guò)程為提取三個(gè)因子的最大似然分析。第1個(gè)facto

25、r因子分析過(guò)程，由于選項(xiàng)method=prin 和priors=one，提取因子的方法采用主成份分析，先驗(yàn)公因子方差估計(jì)被規(guī)定為1。選項(xiàng)simple和 corr要求輸出描述統(tǒng)計(jì)量和相關(guān)陣。選項(xiàng)score要求輸出因子得分系數(shù)。第2個(gè)factor因子分析過(guò)程， 由于不是priors=one選項(xiàng)，所以提取因子的方法采用主因子分析，選項(xiàng)method=prin不起作用。選項(xiàng)priors=smc表示先驗(yàn)公因子方差估計(jì)被規(guī)定為每個(gè)變量與其他變量的多重相關(guān)系數(shù)的平方。選項(xiàng)msa表示控制所有其余變量的偏相關(guān)。選項(xiàng)scree表示輸出所有特征值按從大到小排列的斜坡圖，用于選擇因子個(gè)數(shù)。選項(xiàng)residual輸出殘差相

26、關(guān)陣和有關(guān)的偏相關(guān)陣，得到特殊因子方差的剩余相關(guān)。選項(xiàng)rotate=promax規(guī)定因子模型預(yù)先按正交最大方差的旋轉(zhuǎn)，再在正交最大方差轉(zhuǎn)軸的基礎(chǔ)上進(jìn)行斜交的promax旋轉(zhuǎn)。選項(xiàng)preplot表示繪制因子模型旋轉(zhuǎn)前的散點(diǎn)圖。選項(xiàng)plot表示繪制因子模型旋轉(zhuǎn)后的散點(diǎn)圖。選項(xiàng)reorder表示按因子上具有的載荷大小排列。選項(xiàng)outstat=fact_all表示將因子分析的各種結(jié)果輸出到fact_all數(shù)據(jù)集中。其他3個(gè)最大似然因子分析過(guò)程的說(shuō)明，我們?cè)谶@里省略。第1和第2個(gè)factor因子分析過(guò)程運(yùn)行后，主要的結(jié)果見(jiàn)表36.2到表36.9。Means and Standard Deviations

27、 from 12 observations（每個(gè)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSEMean 6241.66667 11.4416667 2333.33333 120.833333 17000Std Dev 3439.99427 1.78654483 1241.21153 114.927513 6367.53128Correlations（相關(guān)矩陣） POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSEPOP 1.00000 0.00975 0.97245 0.43887 0.02241SCHOOL 0.00975 1.00000 0

28、.15428 0.69141 0.86307EMPLOY 0.97245 0.15428 1.00000 0.51472 0.12193SERVICES 0.43887 0.69141 0.51472 1.00000 0.77765HOUSE 0.02241 0.86307 0.12193 0.77765 1.00000表 36.2 均值、標(biāo)準(zhǔn)差及相關(guān)矩陣表 36.3 主成份法的輸出結(jié)果Initial Factor Method: Principal ComponentsPrior Communality Estimates: ONE（初始公因子方差估計(jì)值）Eigenvalues of the

29、 Correlation Matrix: Total = 5 Average = 1（相關(guān)矩陣的特征值） 1 2 3 4 5Eigenvalue 2.8733 1.7967 0.2148 0.0999 0.0153Difference 1.0767 1.5818 0.1149 0.0847Proportion 0.5747 0.3593 0.0430 0.0200 0.0031Cumulative 0.5747 0.9340 0.9770 0.9969 1.00002 factors will be retained by the MINEIGEN criterion.（確定的因子數(shù)目）Fac

30、tor Pattern（因子模型） FACTOR1 FACTOR2POP 0.58096 0.80642SCHOOL 0.76704 -0.54476EMPLOY 0.67243 0.72605SERVICES 0.93239 -0.10431HOUSE 0.79116 -0.55818Variance explained by each factor（每個(gè)因子解釋的方差）FACTOR1 FACTOR22.873314 1.796660Final Communality Estimates: Total = 4.669974（最終公因子方差估計(jì)） POP SCHOOL EMPLOY SERVI

31、CES HOUSE0.987826 0.885106 0.979306 0.880236 0.937500 Scoring Coefficients Estimated by RegressionSquared Multiple Correlations of the Variables with each Factor FACTOR1 FACTOR2 1.000000 1.000000Standardized Scoring Coefficients(標(biāo)準(zhǔn)因子得分模型中的系數(shù)) FACTOR1 FACTOR2 POP 0.20219 0.44884 SCHOOL 0.26695 -0.303

32、20 EMPLOY 0.23403 0.40411 SERVICES 0.32450 -0.05806 HOUSE 0.27535 -0.31068Initial Factor Method: Principal FactorsPartial Correlations Controlling all other Variables（控制所有其余變量的偏相關(guān)） POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSEPOP 1.00000 -0.54465 0.97083 0.09612 0.15871SCHOOL -0.54465 1.00000 0.54373 0.04996 0.6

33、4717EMPLOY 0.97083 0.54373 1.00000 0.06689 -0.25572SERVICES 0.09612 0.04996 0.06689 1.00000 0.59415HOUSE 0.15871 0.64717 -0.25572 0.59415 1.00000Kaiser's Measure of Sampling Adequacy: Over-all MSA = 0.57536759（抽樣適當(dāng)?shù)腒aiser量度，包括所有變量的和每個(gè)變量的）POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSE0.472079 0.551588 0.488511

34、 0.806644 0.612814Prior Communality Estimates: SMC POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSE0.968592 0.822285 0.969181 0.785724 0.847019Eigenvalues of the Reduced Correlation Matrix:（約化相關(guān)矩陣的特征值）Total = 4.39280116 Average = 0.87856023 1 2 3 4 5Eigenvalue 2.7343 1.7161 0.0396 -0.0245 -0.0726Difference 1.0182 1

35、.6765 0.0641 0.0481Proportion 0.6225 0.3907 0.0090 -0.0056 -0.0165Cumulative 0.6225 1.0131 1.0221 1.0165 1.00002 factors will be retained by the PROPORTION criterion.Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2SERVICES 0.87899 -0.15847HOUSE 0.74215 -0.57806EMPLOY 0.71447 0.67936SCHOOL 0.71370 -0.55515POP 0.62533

36、0.76621Variance explained by each factorFACTOR1 FACTOR22.734301 1.716069Final Communality Estimates: Total = 4.450370 POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSE0.978113 0.817564 0.971999 0.797743 0.884950 Residual Correlations With Uniqueness on the Diagonal（在對(duì)角線上是特殊因子方差的剩余相關(guān)） POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSE

37、 POP 0.02189 -0.01118 0.00514 0.01063 0.00124 SCHOOL -0.01118 0.18244 0.02151 -0.02390 0.01248 EMPLOY 0.00514 0.02151 0.02800 -0.00565 -0.01561 SERVICES 0.01063 -0.02390 -0.00565 0.20226 0.03370 HOUSE 0.00124 0.01248 -0.01561 0.03370 0.11505 Root Mean Square Off-diagonal Residuals: Over-all = 0.0169

38、3282 POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSE 0.008153 0.018130 0.013828 0.021517 0.019602 Partial Correlations Controlling Factors（控制因子的偏相關(guān)） POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSE POP 1.00000 -0.17693 0.20752 0.15975 0.02471 SCHOOL -0.17693 1.00000 0.30097 -0.12443 0.08614 EMPLOY 0.20752 0.30097 1.00000 -0.07504

39、 -0.27509 SERVICES 0.15975 -0.12443 -0.07504 1.00000 0.22093 HOUSE 0.02471 0.08614 -0.27509 0.22093 1.00000 Root Mean Square Off-diagonal Partials: Over-all = 0.18550132（非對(duì)角偏相關(guān)的均方根，包括所有變量的和每個(gè)變量的） POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSE 0.158508 0.190259 0.231818 0.154470 0.182015表 36.4 主因子法的輸出結(jié)果Prerotation

40、 Method: Varimax（預(yù)先旋轉(zhuǎn)方法：正交最大方差旋轉(zhuǎn)） Orthogonal Transformation Matrix（正交變換矩陣） 1 2 1 0.78895 0.61446 2 -0.61446 0.78895 Rotated Factor Pattern（旋轉(zhuǎn)后的因子模型） FACTOR1 FACTOR2 HOUSE 0.94072 -0.00004 SCHOOL 0.90419 0.00055 SERVICES 0.79085 0.41509 POP 0.02255 0.98874 EMPLOY 0.14625 0.97499 Variance explained by

41、 each factor FACTOR1 FACTOR2 2.349857 2.100513 Final Communality Estimates: Total = 4.450370 POP SCHOOL EMPLOY SERVICES HOUSE 0.978113 0.817564 0.971999 0.797743 0.884950表 36.5 主因子法的正交最大方差預(yù)旋轉(zhuǎn)結(jié)果Rotation Method: Promax(旋轉(zhuǎn)方法:在正交最大方差旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上再斜交旋轉(zhuǎn)) Target Matrix for Procrustean Transformation（用于Procrustean斜交變換的目標(biāo)矩陣） FACTOR1 FACTOR2 HOUSE 1.00000 -0.00000 SCHOOL 1.00000 0.00000 SERVICES 0.69421 0.10045 POP 0.00001 1.00000 EMPLOY 0.00326 0.96793 Procrustean Transform