malthus人口模型

1、常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用這里介紹幾個(gè)典型的用微分方程建立數(shù)學(xué)模型的例子.一、人口預(yù)測(cè)模型 由于資源的有限性,當(dāng)今世界各國(guó)都注意有計(jì)劃地控制人口的增長(zhǎng),為了得到人口預(yù)測(cè)模型,必須首先搞清影響人口增長(zhǎng)的因素,而影響人口增長(zhǎng)的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等諸多因素,如果一開始就把所有因素都考慮進(jìn)去，則無(wú)從下手.因此,先把問題簡(jiǎn)化,建立比較粗糙的模型,再逐步修改,得到較完善的模型. 例1（ 馬爾薩斯 （Malthus） 模型） 英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（17661834）在擔(dān)任牧師期間,查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料,發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個(gè)常數(shù),于

2、1789年在人口原理一書中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型,他的基本假設(shè)是：在人口自然增長(zhǎng)過程中,凈相對(duì)增長(zhǎng)（出生率與死亡率之差）是常數(shù),即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比,比例系數(shù)設(shè)為,在此假設(shè)下,推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.解 設(shè)時(shí)刻的人口為,把當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理（因人口總數(shù)很大,可近似地這樣處理,此乃離散變量連續(xù)化處理）,據(jù)馬爾薩斯的假設(shè),在到時(shí)間段內(nèi),人口的增長(zhǎng)量為,并設(shè)時(shí)刻的人口為,于是 這就是馬爾薩斯人口模型,用分離變量法易求出其解為,此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng). 模型檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì)1961年地球上的人口總數(shù)為,而在以后7年中,人口總數(shù)以每年2%的速度增長(zhǎng),這

3、樣, ,于是 .這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在17001961年間世界人口總數(shù).因?yàn)?這期間地球上的人口大約每35年翻一番,而上式斷定34.6年增加一倍（請(qǐng)讀者證明這一點(diǎn)）但是,后來人們以美國(guó)人口為例,用馬爾薩斯模型計(jì)算結(jié)果與人口資料比較,卻發(fā)現(xiàn)有很大的差異,尤其是在用此模型預(yù)測(cè)較遙遠(yuǎn)的未來地球人口總數(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)更令人不可思議的問題,如按此模型計(jì)算,到2670年,地球上將有36 000億人口.如果地球表面全是陸地（事實(shí)上,地球表面還有80%被水覆蓋）,我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了,這是非?；闹嚨?因此,這一模型應(yīng)該修改. 例2（邏輯Logistic模型） 馬爾薩斯模型為什么不能預(yù)測(cè)未來的人口呢？

4、這主要是地球上的各種資源只能供一定數(shù)量的人生活,隨著人口的增加,自然資源環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來越顯著,如果當(dāng)人口較少時(shí),人口的自然增長(zhǎng)率可以看作常數(shù)的話,那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后,這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨人口的增加而減小.因此,應(yīng)對(duì)馬爾薩斯模型中關(guān)于凈增長(zhǎng)率為常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.1838年,荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特(Verhulst)引入常數(shù),用來表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)（一般說來,一個(gè)國(guó)家工業(yè)化程度越高,它的生活空間就越大,食物就越多,從而就越大）,并假設(shè)將增長(zhǎng)率等于,即凈增長(zhǎng)率隨著的增加而減小,當(dāng)時(shí),凈增長(zhǎng)率趨于零,按此假定建立人口預(yù)測(cè)模型.解 由韋爾侯斯特假定,馬

5、爾薩斯模型應(yīng)改為上式就是邏輯模型,該方程可分離變量,其解為,.下面,我們對(duì)模型作一簡(jiǎn)要分析.（1）當(dāng),即無(wú)論人口的初值如何,人口總數(shù)趨向于極限值；（2）當(dāng)時(shí),這說明是時(shí)間的單調(diào)遞增函數(shù)；（3）由于,所以當(dāng)時(shí),單增；當(dāng)時(shí),單減,即人口增長(zhǎng)率由增變減,在處最大,也就是說在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長(zhǎng)期,過這一點(diǎn)后,生長(zhǎng)的速率逐漸變小,并且遲早會(huì)達(dá)到零,這是減速生長(zhǎng)期；（4）用該模型檢驗(yàn)美國(guó)從1790年到1950年的人口,發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際人口在1930年以前都非常吻合,自從1930年以后,誤差愈來愈大,一個(gè)明顯的原因是在20世紀(jì)60年代美國(guó)的實(shí)際人口數(shù)已經(jīng)突破了20世紀(jì)初所設(shè)的極限人

6、口.由此可見該模型的缺點(diǎn)之一是不易確定,事實(shí)上,隨著一個(gè)國(guó)家經(jīng)濟(jì)的騰飛,它所擁有的食物就越豐富, 的值也就越大；(5）用邏輯模型來預(yù)測(cè)世界未來人口總數(shù).某生物學(xué)家估計(jì),又當(dāng)人口總數(shù)為時(shí),人口每年以2%的速率增長(zhǎng),由邏輯模型得 ,即 ,從而得 ,即世界人口總數(shù)極限值近100億.值得說明的是：人也是一種生物,因此,上面關(guān)于人口模型的討論,原則上也可以用于在自然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物,如森林中的樹木、池塘中的魚等,邏輯模型有著廣泛的應(yīng)用.二、市場(chǎng)價(jià)格模型 對(duì)于純粹的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)來說,商品市場(chǎng)價(jià)格取決于市場(chǎng)供需之間的關(guān)系,市場(chǎng)價(jià)格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價(jià)格稱為(靜態(tài))均衡價(jià)格).也就是

7、說,如果不考慮商品價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程,那么商品的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)能保證市場(chǎng)的供需平衡,但是,實(shí)際的市場(chǎng)價(jià)格不會(huì)恰好等于均衡價(jià)格,而且價(jià)格也不會(huì)是靜態(tài)的,應(yīng)是隨時(shí)間不斷變化的動(dòng)態(tài)過程.例3 試建立描述市場(chǎng)價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型 解 假設(shè)在某一時(shí)刻,商品的價(jià)格為,它與該商品的均衡價(jià)格間有差別,此時(shí),存在供需差,此供需差促使價(jià)格變動(dòng).對(duì)新的價(jià)格,又有新的供需差,如此不斷調(diào)節(jié),就構(gòu)成市場(chǎng)價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過程,假設(shè)價(jià)格的變化率與需求和供給之差成正比,并記為需求函數(shù),為供給函數(shù)（為參數(shù)）,于是其中為商品在時(shí)刻的價(jià)格,為正常數(shù).若設(shè),則上式變?yōu)?其中均為正常數(shù),其解為 .下面對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行討論:（1）設(shè)為靜態(tài)

8、均衡價(jià)格 ,則其應(yīng)滿足 ,即 ,于是得,從而價(jià)格函數(shù)可寫為 ,令,取極限得 這說明,市場(chǎng)價(jià)格逐步趨于均衡價(jià)格.又若初始價(jià)格,則動(dòng)態(tài)價(jià)格就維持在均衡價(jià)格上,整個(gè)動(dòng)態(tài)過程就化為靜態(tài)過程；（2）由于 ,所以,當(dāng)時(shí),單調(diào)下降向靠攏；當(dāng)時(shí), ,單調(diào)增加向靠攏.這說明：初始價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí),動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步降低,且逐步靠近均衡價(jià)格;否則,動(dòng)態(tài)價(jià)格就要逐步升高.因此,式在一定程度上反映了價(jià)格影響需求與供給,而需求與供給反過來又影響價(jià)格的動(dòng)態(tài)過程,并指出了動(dòng)態(tài)價(jià)格逐步向均衡價(jià)格靠攏的變化趨勢(shì).三、混合溶液的數(shù)學(xué)模型 例4 設(shè)一容器內(nèi)原有100L鹽,內(nèi)含有鹽10kg,現(xiàn)以3L/min的速度注入質(zhì)量濃度為0.0

9、1kg/L的淡鹽水,同時(shí)以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水,求容器內(nèi)鹽量變化的數(shù)學(xué)模型.解 設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)的鹽量為kg,考慮到時(shí)間內(nèi)容器中鹽的變化情況,在時(shí)間內(nèi) 容器中鹽的改變量注入的鹽水中所含鹽量抽出的鹽水中所含鹽量 容器內(nèi)鹽的改變量為,注入的鹽水中所含鹽量為,時(shí)刻容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度為,假設(shè)到時(shí)間內(nèi)容器內(nèi)溶液的質(zhì)量濃度不變（事實(shí)上,容器內(nèi)的溶液質(zhì)量濃度時(shí)刻在變,由于時(shí)間很短,可以這樣看）.于是抽出的鹽水中所含鹽量為,這樣即可列出方程,即.又因?yàn)闀r(shí),容器內(nèi)有鹽kg,于是得該問題的數(shù)學(xué)模型為這是一階非齊次線性方程的初值問題,其解為 .下面對(duì)該問題進(jìn)行一下簡(jiǎn)單的討論,由上式不難發(fā)現(xiàn):時(shí)刻容器內(nèi)

10、溶液的質(zhì)量濃度為 ,且當(dāng)時(shí),即長(zhǎng)時(shí)間地進(jìn)行上述稀釋過程,容器內(nèi)鹽水的質(zhì)量濃度將趨于注入溶液的質(zhì)量濃度.溶液混合問題的更一般的提法是：設(shè)有一容器裝有某種質(zhì)量濃度的溶液,以流量注入質(zhì)量濃度為的溶液 （指同一種類溶液,只是質(zhì)量濃度不同）,假定溶液立即被攪勻,并以的流量流出這種混合溶液,試建立容器中質(zhì)量濃度與時(shí)間的數(shù)學(xué)模型.首先設(shè)容器中溶質(zhì)的質(zhì)量為,原來的初始質(zhì)量為 , =0時(shí)溶液的體積為,在d時(shí)間內(nèi),容器內(nèi)溶質(zhì)的改變量等于流入溶質(zhì)的數(shù)量減去流出溶質(zhì)的數(shù)量,即,其中是流入溶液的質(zhì)量濃度, 為時(shí)刻容器中溶液的質(zhì)量濃度,于是,有混合溶液的數(shù)學(xué)模型該模型不僅適用于液體的混合,而且還適用于討論氣體的混合.四、

11、振動(dòng)模型 振動(dòng)是生活與工程中的常見現(xiàn)象.研究振動(dòng)規(guī)律有著極其重要的意義.在自然界中,許多振動(dòng)現(xiàn)象都可以抽象為下述振動(dòng)問題.例5 設(shè)有一個(gè)彈簧,它的上端固定,下端掛一個(gè)質(zhì)量為的物體,試研究其振動(dòng)規(guī)律.圖4解 假設(shè)（1）物體的平衡位置位于坐標(biāo)原點(diǎn),并取軸的正向鉛直向下（見圖4）.物體的平衡位置指物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)的位置.此時(shí),作用在物體上的重力與彈性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移及初始速度下,物體離開平衡位置,并在平衡位置附近作沒有搖擺的上下振動(dòng)；（3）物體在時(shí)刻的位置坐標(biāo)為,即時(shí)刻物體偏離平衡位置的位移；（4）在振動(dòng)過程中,受阻力作用.阻力的大小與物體速度成正比,阻力的方向總是與速

12、度方向相反,因此阻力為,為阻尼系數(shù)；（5）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)有位移時(shí),假設(shè)所受的彈簧恢復(fù)力是與位移成正比的,而恢復(fù)力的方向總是指向平衡位置,也就是總與偏離平衡位置的位移方向相反,因此所受彈簧恢復(fù)力為,其中為勁度系數(shù)；（6）在振動(dòng)過程中受外力的作用.在上述假設(shè)下,根據(jù)牛頓第二定律得 , 這就是該物體的強(qiáng)迫振動(dòng)方程.由于方程中, 的具體形式?jīng)]有給出,所以,不能對(duì)式直接求解.下面我們分四種情形對(duì)其進(jìn)行討論.1. 無(wú)阻尼自由振動(dòng) 在這種情況下,假定物體在振動(dòng)過程中,既無(wú)阻力、又不受外力作用.此時(shí)方程變?yōu)?, 令,方程變?yōu)?,特征方程為 ,特征根為 ,通解為 ,或?qū)⑵鋵憺?其中 ,.這就是說,無(wú)阻尼自由振動(dòng)的振幅,

13、頻率均為常數(shù).2.有阻尼自由振動(dòng)在該種情況下,考慮物體所受到的阻力,不考慮物體所受的外力.此時(shí),方程變?yōu)?令,方程變?yōu)?,特征方程為,特征根 .根據(jù)與的關(guān)系,又分為如下三種情形：(1)大阻尼情形, >.特征根為二不等實(shí)根,通解為(2)臨界阻尼情形,.特征根為重根,通解為 這兩種情形,由于阻尼比較大,都不發(fā)生振動(dòng).當(dāng)有一初始擾動(dòng)以后,質(zhì)點(diǎn)慢慢回到平衡位置,位移隨時(shí)間的變化規(guī)律分別如圖5和圖6所示. 圖5 圖6(3)小阻尼情形,<.特征根為共軛復(fù)根,通解為 將其簡(jiǎn)化為 其中振幅隨時(shí)間的增加而減小.因此,這是一種衰減振動(dòng).位移隨時(shí)間的變化規(guī)律見圖7. 3.無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 在這種情形下,設(shè)物體不受阻力作用,其所受外力為簡(jiǎn)諧力,此時(shí),方程化為 , ,根據(jù)是否等于特征根,其通解分為如下兩種情形：（1）當(dāng)時(shí),其通解為 圖7,此時(shí),特解的振幅為常數(shù),但當(dāng)接近于時(shí),將會(huì)導(dǎo)致振幅