一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系

1、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系丹東市教師進(jìn)修學(xué)院 宋潤生只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式為，其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)；是一次項(xiàng)；是一次項(xiàng)系數(shù)；是常數(shù)項(xiàng)一、一元二次方程的解集使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根一元二次方程的解（根）的集合叫做一元二次方程的解集設(shè)一元二次方程的解集為，（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，（3）當(dāng)時(shí)，例1不解方程，判斷下列方程的根的情況：（1）；（2）；例2已知關(guān)于x的方程kx22（k+1）x+k1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（1）

2、求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使此方程的兩個(gè)根是互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由解：（1）（2），所以，不滿足，所以不存在實(shí)數(shù)k，使此方程的兩個(gè)根是互為相反數(shù)二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系當(dāng)時(shí)，一元二次方程有有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么當(dāng)時(shí)，一元二次方程有有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根那么 ，如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是， 那么 也就是說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，也叫韋達(dá)定理（法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)（Françoi

3、s Viète，15401603）韋達(dá)定理的應(yīng)用（1）不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；（2）已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；（3）不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；例如：例3已知方程的一個(gè)根是3，求它的另一根及的值例4求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是，例5設(shè)，是方程的兩根，不解方程，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）例6在RtABC中，C=90，a，b，c分別是A，B，C的對邊，a，b是關(guān)于x的方程的兩根，求AB邊上的中線長練習(xí)題1下列方程，有實(shí)數(shù)根的是ABCD答

4、案：C2設(shè)關(guān)于x的方程x2（2k1）xk2+2k+3，當(dāng)k為何值時(shí)，（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？（3）沒有實(shí)數(shù)根?答案：（1）；（2）；（3）3已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，那么的最大值是_答案：，的最大值是14已知一元二次方程的根的判別式=4，則這個(gè)方程的根為_答案：，根為2和45若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A BCD答案：B6關(guān)于的一元二次方程A沒有實(shí)根B有兩相等實(shí)根C有兩不相等實(shí)根D可能有實(shí)根答案：C，7已知a，b，c是ABC的三邊長，且方程（a2+b2）x2-2cx+10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根請你判斷ABC的形狀答案：直角三角

5、形， ，得8關(guān)于方程的兩實(shí)數(shù)根是，的說法正確的是ABCD以上都不對答案：D9已知方程的一個(gè)根是2，則它的另一個(gè)根及的值分別為_答案：的值，另一個(gè)根10已知方程x22（m21）x+3m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0，則Am=±1Bm=1Cm=1Dm=0答案：B11一元二次方程的兩根為、，則A3B6C18D24答案：A12已知的兩實(shí)數(shù)根是，則的值為_答案：13若方程的兩實(shí)數(shù)根是，則的值為_答案：414設(shè)，為關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+3m2=0兩個(gè)實(shí)根，求的最小值答案：，當(dāng)時(shí)取最小值15已知，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若，求的值答案：時(shí)，所以因?yàn)?，所以，解得或?dāng)時(shí)，不成立，所以16

6、設(shè)a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_答案：201717已知關(guān)于的方程的兩根的平方和等于4，求的值答案：，解得或其中使18若方程2x2(k1)xk30的兩根之差是1，求k的值答案：令得，所以或其中使19已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的兩根，x1+1，x2+1是關(guān)于x的方程x2+nx+m=0的兩根，求m，n的值答案：，20以和為根的一個(gè)一元二次方程為_答案：21求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程各根的負(fù)倒數(shù)答案：因?yàn)?，所以?2設(shè)一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根是，以，為根的一個(gè)一元二次方程為_答案：因?yàn)椋裕?3對于方程x2+bx2=0，以下說法正確的是A方程有無實(shí)數(shù)根，要根據(jù)

7、b的取值而定B無論b取何值，方程必有一正根，一負(fù)根C當(dāng)b>0時(shí)，方程兩根為正；b<0時(shí)，方程兩根為負(fù)D因?yàn)?<0，所以方程兩根肯定為負(fù)答案：B24一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩異號實(shí)數(shù)根的條件是Aab>0Bac >0Cab <0Dac <0答案：D25已知關(guān)于x的方程2（k+1）x2+4kx+3k2=0（1）當(dāng)k為值時(shí)，兩根互為相反數(shù)；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，有一根為零，另一根不為零解：（1），因?yàn)榉匠虄筛橄喾磾?shù)，所以，即，滿足，所以當(dāng)時(shí)，方程兩根互為相反數(shù)（2）因?yàn)榉匠逃幸桓鶠榱?，所以，?6設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3（1）求的值；（2）已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，若，求代數(shù)式的值解：（1），因?yàn)榉匠虄筛箶?shù)和等于3，所以，即由韋達(dá)定理 ，滿足，所以（2）若，方程有實(shí)數(shù)根；若，當(dāng)判別式，即時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，所以或?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在27已知，若，則ABCD答案：A解：因?yàn)槭欠匠痰母?，所以是方程的根而是方程的根，所以與方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得28已知方程組的兩組解分別為和，若（1）