《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第二章習題解答

1、第二章 隨機變量及其分布1、解：設公司賠付金額為，則X的可能值為；投保一年內(nèi)因意外死亡：20萬，概率為0.0002投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5萬，概率為0.0010投保一年內(nèi)沒有死亡：0，概率為1-0.0002-0.0010=0.9988所以的分布律為：2050P0.00020.00100.99882、一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表X： 3， 4，5P：3、設在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，

2、（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。Px12O再列為下表X： 0， 1， 2P： 4、進行重復獨立實驗，設每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1p(0<p<1)（1）將實驗進行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗次數(shù)，求X的分布律。（此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2）將實驗進行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗次數(shù)，求Y的分布律。（此時稱Y服從以r, p為參數(shù)的巴斯卡分布。）（3）一籃球運動員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率。解：（1）P (X

3、=k)=qk1pk=1,2, （2）Y=r+n=最后一次實驗前r+n1次有n次失敗，且最后一次成功其中 q=1p，或記r+n=k，則 PY=k= （3）P (X=k) = (0.55)k10.45k=1,2P (X取偶數(shù))=5、 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是

4、確實的，試求Y的分布律。（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值為1，2，3，n，P X=n=P 前n1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去 =， n=1，2，（2）Y的可能取值為1，2，3 P Y=1=P 第1次飛了出去= P Y=2=P 第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去 = P Y=3=P 第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去 = 同上， 故6、一大樓裝有5個同類型的供水設備，調(diào)查表明在任一時刻t每個設備使用的概率為0.1，問在同一時刻（1）恰有2個設備被使用的概率是多少？（2）至少有3個設備被使用的概率是多少？（3）至多有3個設備

5、被使用的概率是多少？（4）至少有一個設備被使用的概率是多少？7、設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號。（1）進行了5 次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率 。（2）進行了7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率解： 設X為 A發(fā)生的次數(shù)。 則 n=5，7 B:“指示等發(fā)出信號“ 8、甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6, 0.7，令各投三次。求（1）二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)

6、 = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) = (0.4)3× (0.3)3+ （2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。 P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P

7、(Y=2)= 9、有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率（2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標準被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服從）（1）P X=0=0.9100.349（2）P X

8、2=P X=2+ P X=1=（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 0<X2，Y=0(0<X2與 Y=2獨立) = P 0<X2P Y=0 =0.581×0.5900.343（5）P X=0+ P 0<X2，Y=0 0.349+0.343=0.69210、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設各次試驗是相互獨立的。）解：（1）P (一

9、次成功)=（2）P (連續(xù)試驗10次，成功3次)= 。此概率太小，按實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。11. 盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個任意角是不可能的。但每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。解： 12. 一電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率。（2）某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的概率。 （1） （2）13. 某一公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔的起點無關（

10、時間以小時計）。（1）求某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率。（2）求某一天中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率。解： 14、解：（1）、分鐘時小時，（2）、故（小時）所以（分鐘）15、解：16、解：17、解：設服從分布，其分布率為，求的分布函數(shù)，并作出其圖形。解一： 01 的分布函數(shù)為：18在區(qū)間上任意投擲一個質(zhì)點，以表示這個質(zhì)點的坐標。設這個質(zhì)點落在中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求的分布函數(shù)。解： 當時。是不可能事件， 當時， 而 是必然事件 則 當時，是必然事件，有 19、以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間（以分計），X的分

11、布函數(shù)是求下述概率：（1）P至多3分鐘；（2）P 至少4分鐘；（3）P3分鐘至4分鐘之間；（4）P至多3分鐘或至少4分鐘；（5）P恰好2.5分鐘解：（1）P至多3分鐘= P X3 = （2）P 至少4分鐘 P (X 4) = （3）P3分鐘至4分鐘之間= P 3<X4= （4）P至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+P至少4分鐘 = （5）P恰好2.5分鐘= P (X=2.5)=020、設隨機變量X的分布函數(shù)為，求（1）P (X<2), P 0<X3, P (2<X<)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2， P (0&l

12、t;X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）21、設隨機變量的概率密度為（1）（2）求X的分布函數(shù)F (x)，并作出（2）中的f (x)與F (x)的圖形。解：（1）當1x1時：當1<x時：故分布函數(shù)為：解：（2）故分布函數(shù)為（2）中的f (x)與F (x)的圖形如下f (x)x0F (x)21x01222、由統(tǒng)計物理學知，分子運動速度的絕對值服從邁克斯韋爾(Maxwell)分布，其概率密度為其中，為Boltzmann常數(shù)，為絕對溫度，是分子的質(zhì)量。試確定常數(shù)。 解: 即 當時， 當時， 或23、某種型號的電子的壽命X（以小時計）具有以下的概率密度： 現(xiàn)有一大批此種管子（設各電子管

13、損壞與否相互獨立）。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則，24、設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y1）。解：該顧客“一次等待服務未成而離去”的概率為因此 25、設K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實根的概率 K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)24×4×

14、(K+2)0。解不等式，得K2時，方程有實根。26、設XN（3.22）（1）求P (2<X5)，P (4)<X10)，P|X|>2，P (X>3)若XN（，2），則P (<X)=P (2<X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (4<X10) =(3.5)(3.5) =0.99980.0002=0.9996P (|X|>2)=1P (|X|<2)= 1P (2< P<2 ) = =1(0.5) +(2.5) =10.3085+0.0062=0.6977P (X>3)=1P (X3)=1=10

15、.5=0.5（2）決定C使得P (X > C )=P (XC)P (X > C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =327、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg計）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求（1）P (X105)，P (100<X 120). （2）確定最小的X使P (X>x) 0.05.解:28、由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為=10.05，=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設螺栓長度為XPX不屬于(1

16、0.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12<X<10.05+0.12) =1 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045629、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為=160，(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120X200=0.80，允許最大為多少？ P (120X200)=又對標準正態(tài)分布有(x)=1(x) 上式變?yōu)?解出 再查表，得30、解：31、解：32、解：所以為概率密度函數(shù)33、設隨機變量X的分布律為： X：2， 1， 0，1，3P：， ， ， ，求Y=X 2的分布律 Y=X 2：(2)2 (1)2(0)2(1)2

17、(3)2 P： 再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為： Y： 0 1 4 9 P： 34、設隨機變量X在（0，1）上服從均勻分布（1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度為：Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h (Y)=lnY，反函數(shù)存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度為：（2）求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=m

18、ax(+, 0 )= + Y的分布密度為：35、設XN（0，1）（1）求Y=eX的概率密度 X的概率密度是 Y= g (X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+，)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結論可用。設Y的分布函數(shù)是FY（y），則FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =當y<1時：FY ( y)=0當y1時：故Y的分布密度( y)是：當y1時：( y)

19、= FY ( y)' = (0)' =0當y>1時，( y)= FY ( y)' = =（3）求Y=| X |的概率密度。Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)當y<0時，F(xiàn)Y ( y)=0當y0時，F(xiàn)Y ( y)=P (| X |y )=P (yXy)= Y的概率密度為：當y0時：( y)= FY ( y)' = (0)' =0當y>0時：( y)= FY ( y)' =36、（1）設隨機變量X的概率密度為f (x)，求Y = X 3的概率密度。Y=g (X )= X 3是X單調(diào)增函數(shù)，又X=h (Y ) =，反函數(shù)存在，且 = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度為： ( y)= f h ( h )·| h' ( y)| = （2）設隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X 2的概率密度。xOy