《數(shù)學分析》課程教學要求與考試大綱

1、數(shù)學分析課程教學要求與考試大綱說明1 根據(jù)數(shù)學分析教學大綱，制定本數(shù)學分析課程教學要求與考試大綱（以下簡稱要求與大綱）。制定要求與大綱有利于規(guī)范教師的教學活動，加強對教師教學的宏觀管理；有利于指導學生的學習進程，提高學生的自學效率和學習興趣；也有利于教考分離的順利實施，公正客觀地評價學生的學習效果。2 要求與大綱中幾個關鍵詞的說明對教學內(nèi)容要求的高低層次采用不同的詞匯加以區(qū)別，對概念、理論方面的知識從高到低分別用“深刻理解”、“理解”、“了解”或“知道”三級區(qū)分，對運算和方法方面的知識從高到低分別用“熟練掌握”、“掌握”、“會”或“能” 三級區(qū)分，這樣，將教學內(nèi)容分為三個教學目標層次，它既是教

2、學要求，同時也是考試大綱。“深刻理解”：對概念要求明確概念的外延和內(nèi)涵，對概念及其矛盾概念能嚴格、準確地予以刻畫，并能正確地應用概念解決有關問題。對理論知識要求明確定理條件和結(jié)論之間的關系，清楚地懂得證明思路，并能進行嚴謹?shù)耐茖В軕眠@些知識解決有關問題。“理解”：對概念要求明確概念的外延和內(nèi)涵，并能正確地敘述。對理論知識要求明確定理條件和結(jié)論，懂得教材上的嚴謹證明，基本上會用這些知識解決一些有關問題?！傲私狻被颉爸馈保好鞔_概念的外延和內(nèi)涵，明確定理條件和結(jié)論，對該定理能作一些簡單的應用?！笆炀氄莆铡保涸谏羁汤斫庥嘘P運算所需的概念、性質(zhì)、公式和法則的基礎上，正確、迅速地應用有關法則進行準確

3、的運算?！罢莆铡保涸诶斫庥嘘P運算所需的概念、性質(zhì)、公式和法則的基礎上，正確地進行運算。“會”或“能”：在了解有關運算所需的性質(zhì)、公式和法則的基礎上，基本能正確地進行運算。3 參考教材：華東師范大學數(shù)學系,數(shù)學分析（上、下冊）,高等教育出版社, 2001年6月，第三版。要求與大綱以此教材編排順序擬訂，教材中加“” 號的章節(jié)，作為選學內(nèi)容，在要求與大綱中也加“” 號。第一章 實數(shù)集與函數(shù)主要內(nèi)容實數(shù)及其性質(zhì),絕對值與不等式。區(qū)間與鄰域，有界集與確界原理。函數(shù)概念,函數(shù)的表示法。函數(shù)的四則運算,復合函數(shù),反函數(shù),初等函數(shù)。具有某些特性的函數(shù)：有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù)。考查點及目標

4、層次1 了解實數(shù)及其性質(zhì)2 理解區(qū)間與鄰域的概念，理解絕對值與不等式的性質(zhì)，會解絕對值與不等式3理解確界概念及確界原理，會用確界概念證明某些問題。4 深刻理解“映射”觀點下的一元函數(shù)概念。5深刻理解函數(shù)的四則運算、復合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù)及基本初等函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的復合運算。6 理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性 概念，并會用定義判斷一個函數(shù)是否具有這些性質(zhì)7 了解并記住一些非初等函數(shù)，例如整數(shù)部分函數(shù)、符號函數(shù)、狄利克雷函數(shù)。第二章 數(shù)列極限主要內(nèi)容數(shù)列。數(shù)列極限的-N定義,無窮小數(shù)列。收斂數(shù)列性質(zhì)：唯一性、有界性、保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性、四則運算法則。子列及子列定理。數(shù)

5、列極限存在的條件：數(shù)列極限的單調(diào)有界定理、柯西收斂準則?？疾辄c及目標層次1 深刻理解數(shù)列極限的-N定義及它的幾何意義, 它的幾何意義2了解無窮小數(shù)列、子列及子列定理。3 深刻理解收斂數(shù)列性質(zhì)，并掌握其應用。4理解數(shù)列極限存在的條件，并學會它的一些應用。5 熟練掌握數(shù)列極限的運算。第三章 函數(shù)極限 主要內(nèi)容時函數(shù)的極限，時函數(shù)的極限，單側(cè)極限。函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性質(zhì)、迫斂性和四則運算法則。函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則、函數(shù)極限的單調(diào)有界定理和柯西準則。兩個重要極限。無窮小量及其階的比較,無窮大量，曲線的漸近線?？疾辄c及目標層次1 深刻理解各種趨勢函數(shù)極限（包括

6、單側(cè)極限）的定義,以及它們的幾何意義，并會用定義及其否定敘述證明某些函數(shù)的極限,。3 深刻理解函數(shù)極限的性質(zhì)，并掌握其應用。4 理解函數(shù)極限的存在的條件，并學會它的一些應用。理解兩個重要極限，并掌握熟練它們的應用。5 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小階的比較，并會使用蘭道符號。會用等價無窮小求極限。6 會求曲線的漸近線。7 熟練掌握函數(shù)極限的運算。第四章 函數(shù)的連續(xù)性 主要內(nèi)容函數(shù)在一點的連續(xù)性,左、右連續(xù),間斷點及其分類，區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)：局部有界性、局部保號性、四則運算、復合函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函數(shù)的連續(xù)性

7、,一致連續(xù)與一致連續(xù)性定理。指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)連續(xù)性?？疾辄c及目標層次深刻理解函數(shù)在一點連續(xù)（包括單側(cè)連續(xù)），以及在在區(qū)間上連續(xù)的概念，并能用定義證明函數(shù)在一點是否連續(xù)。2 掌握不連續(xù)點的判斷方法及其分類。3 理解連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，并掌握其應用。4理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)的連續(xù)性,一致連續(xù)與一致連續(xù)性定理,初等函數(shù)連續(xù)性，并掌握其應用。第五章 導數(shù)與微分 主要內(nèi)容導數(shù)的定義，導函數(shù)，導數(shù)的幾何意義，極值，費馬定理。導數(shù)的四則運算法則，反函數(shù)的導數(shù), 復合函數(shù)的導數(shù)，基本求導法則與公式。參變量函數(shù)的導數(shù),隱函數(shù)的導數(shù)，初等函數(shù)的導數(shù)。高階導數(shù)。微分概念，微分的幾何意義，微分的

8、運算法則，一階微分形式的不變性，高階微分，微分在近似計算中的應用?？疾辄c及目標層次1深刻理解導數(shù)的概念及其幾何意義，了解導數(shù)的物理意義。會求平面曲線的切線方程和法線方程。2 深刻理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系。3掌握利用導數(shù)定義計算函數(shù)(含分段函數(shù))的導數(shù)（包括單側(cè)導數(shù)）, 熟練掌握導數(shù)基本公式和求導法則(四則運算、反函數(shù)、復合函數(shù)、隱函數(shù)及用參數(shù)方程表示的函數(shù)的求導法則)。4 掌握隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)。5 深刻理解微分的概念、微分的幾何意義以及導數(shù)與微分的異同。 6 熟練掌握微分運算，理解一階微分形式的不變性，了解微分在近似計算中的應用。 4 理解函數(shù)的高階導數(shù)

9、和高階微分概念，掌握高階導數(shù)和高階微分的求法。會應用萊不尼茲公式計算兩個函數(shù)乘積的高階導數(shù)。 8 理解極值概念和費馬定理。 第六章 微分中值定理及其應用 主要內(nèi)容羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，單調(diào)函數(shù)。柯西中值定理。不定式極限，羅比塔法則。帶有皮亞諾（Peano）型余項、拉格朗日型余項的泰勒公式，泰勒公式在近似計算上的應用。函數(shù)單調(diào)性與極值。最大值與最小值。函數(shù)的凸性與曲線的拐點。函數(shù)圖象的討論。方程的近似解。考查點及目標層次1 深刻理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理，理解柯西中值定理，并掌握這些定理的應用。2 熟練掌握用羅必塔法則求七種不定式極限的方法。3 理解泰勒公式，并能將一些初等函數(shù)

10、展成帶有皮亞諾（Peano）余項、拉格朗日余項的泰勒公式。記住教材中的六個Maclaurin公式。4 掌握利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值、函數(shù)的凹凸性和曲線的拐點的方法，掌握函數(shù)最大值、最小值的求法及簡單應用。 5 了解描繪函數(shù)圖像的步驟和方法，會描繪常見函數(shù)的圖像。6 了解求方程近似解的牛頓切線法。 第七章 實數(shù)的完備性 主要內(nèi)容關于實數(shù)集完備性的基本定理：閉區(qū)間套定理、柯西收斂準則、聚點定理、有限覆蓋定理與致密性定理，實數(shù)完備性基本定理的等價性。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明。上極限與下極限。注：確界原理安排在第一章第一節(jié)考查點及目標層次1 理解區(qū)間套定理、聚點定理，致密性定理，了解有限覆蓋定

11、理的證明。理解柯西收斂準則及其證明，會用它來討論數(shù)列極限。2了解實數(shù)完備性基本定理的等價性。3 理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明，并掌握這些性質(zhì)的應用。4 了解上極限與下極限。第八章 不定積分 主要內(nèi)容原函數(shù)與不定積分概念,基本積分表,線性運算法則。換元積分法，分部積分法。有理函數(shù)的不定積分,三角函數(shù)有理式的不定積分,某些無理函數(shù)的不定積分?？疾辄c及目標層次1 深刻理解原函數(shù)與不定積分的概念。2 熟練掌握不定積分的性質(zhì)、運算法則、不定積分的基本公式。3.熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法。 4 會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單無理函數(shù)的積分。第九章 定積分 主要內(nèi)容概念引入（曲邊梯形面積

12、與變力作功），定積分定義，定積分的幾何意義。牛頓萊布尼茲公式。可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數(shù)類：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、只有有限個間斷點的有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)。定積分的基本性質(zhì)，積分中值定理。變限積分與原函數(shù)的存在性，微積分學基本定理、定積分的換元積分法和分部積分法?？煞e性理論補敘考查點及目標層次1 深刻理解定積分概念,掌握構(gòu)造積分和與積分和極限的意義。2 理解可積的必要條件，了解可積的充要條件以及幾種可積函數(shù)類，并記注相關的條件和結(jié)論3 理解定積分的基本性質(zhì)：線性性質(zhì)、函數(shù)乘積的可積性、關于積分區(qū)間的可加性、不等式性質(zhì)、絕對可積性、積分第一中值定理，并能應用這些性質(zhì)進行一些有關的證明。4

13、 了解積分第一中值定理，知道積分第二中值定理、積分型余項和柯西型的泰勒公式。5 深刻理解變限積分、微積分學基本定理。熟練掌握變限積分的求導運算。6 熟練掌握牛頓萊布尼茲公式、定積分的換元法和分部積分法。7 知道大和與小和的性質(zhì)、可積的充要條件的證明。第十章 定積分的應用 主要內(nèi)容微元法。平面圖形的面積。由平行截面面積求體積，旋轉(zhuǎn)體體積。平面曲線的弧長、曲率。旋轉(zhuǎn)曲面的面積。定積分在物理中的某些應用。定積分的近似計算考查點及目標層次1 掌握“微元法”，會應用“微元法”解決一些有關定積分的實際問題。 2 熟練掌握應用定積分求平面圖形的面積，掌握應用定積分求體積、平面曲線的弧長，旋轉(zhuǎn)曲面的面積。3

14、了解定積分在物理上的應用：變力作功、液體靜壓力，引力、功與平均功率。4 了解定積分的近似計算。5 知道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。第十一章 反常積分 主要內(nèi)容問題的提出，兩類反常積分(無窮積分，無界函數(shù)的反常積分或瑕積分)的定義?？挛魇諗繙蕜t，無窮積分的性質(zhì)，比較判別法，絕對收斂與條件收斂，狄利克雷判別法，阿貝爾判別法。瑕積分的性質(zhì)與收斂判別?？疾辄c及目標層次1 理解無窮積分和瑕積分的收斂與發(fā)散概念、絕對收斂和條件收斂的概念。2 掌握無窮積分和瑕積分的性質(zhì)和各種斂散性判別方法。3 會應用斂散性的定義、性質(zhì)及判別方法計算兩類反常積分和證明兩類反常積分有關的問題。第十二章 數(shù)項級數(shù)

15、 主要內(nèi)容數(shù)項級數(shù)極其收斂與和的定義，柯西收斂準則，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)。正頂級數(shù)收斂性的一般判別原則（比較原則），比式判別法與根式判別法，積分判別法。拉貝判別法。交錯級數(shù)，萊布尼茲判別法，絕對收斂級數(shù)與性質(zhì)，條件收斂，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法?？疾辄c及目標層次1 深刻理解數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散和的概念，以及收斂級數(shù)的基本性質(zhì)。2 理解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，了解絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)。3 熟練掌握正頂級數(shù)收斂性的比較原則，比式判別法與根式判別法，并記注幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂性。4 掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，會用其它判別法。 5 會應用級數(shù)收斂定義、收斂級數(shù)的性質(zhì)及判別法證明級數(shù)中的有關問

16、題。第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) 主要內(nèi)容函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的收斂、一致收斂性以及一致收斂的柯西準則，函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯優(yōu)級數(shù)判別法（M判別法），阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可積性與可微性?？疾辄c及目標層次1 深刻理解函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)收斂和一致收斂概念。2 會計算函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)及收斂域。3 熟練掌握M判別法，會用其它判別法判定函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。4 會應用連續(xù)性、可積性與可微性定理討論函數(shù)列極限函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)。第十四章 冪級數(shù) 主要內(nèi)容阿貝爾第一定理, 冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間,內(nèi)閉一致收

17、斂性，冪級數(shù)的性質(zhì)，冪級數(shù)的四則運算。泰勒級數(shù)，函數(shù)可以展開成泰勒級數(shù)的條件,初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。復變量的指數(shù)函數(shù)和歐拉公式。考查點及目標層次1 熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。2 理解冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的分析性質(zhì)，并能運用逐項微積分和逐項積分在收斂區(qū)間內(nèi)求冪級數(shù)的和函數(shù)。3 理解函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件。4掌握的麥克勞林展開式，會用直接法和間接法將初等函數(shù)和某些非初等函數(shù)展開成冪級數(shù)。第十五章 傅里葉級數(shù) 主要內(nèi)容三角級數(shù),三角函數(shù)系的正交性,按段光滑，傅里葉級數(shù)的收斂定理, 以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)。以2L為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅

18、里葉級數(shù),余弦級數(shù)和正弦級數(shù)。收斂定理的證明?？疾辄c及目標層次1 了解三角函數(shù)系的正交性。2 了解傅里葉級數(shù)收斂定理的條件與結(jié)論。3 會將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。4 初步具有應用傅里葉級數(shù)理論和方法證明問題的能力。第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)主要內(nèi)容平面點集概念，R2上的完備性定理,二元函數(shù)和n元函數(shù)概念。二重極限,累次極限。二元函數(shù)的連續(xù)性,復合函數(shù)的連續(xù)性。有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。考查點及目標層次1 理解平面點集有關概念：距離、鄰域、內(nèi)點、外點、界點、聚點、孤立點、開集、閉集、開域、閉域、直徑、有界點集、有界區(qū)域、無界區(qū)域等2 了解R2上的完備性定理：閉域套定理、聚點

19、定理、有限覆蓋定理。3 深刻理解二元函數(shù)和多元函數(shù)概念。4 理解二重極限和累次極限概念,了解二重極限與累次極限的的區(qū)別與聯(lián)系，會計算二重極限。5 理解二元函數(shù)連續(xù)定義及其性質(zhì)、復合函數(shù)的連續(xù)性概念、有界閉域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，并能應用它們證明一些理論問題。第十七章 多元函數(shù)的微分學 主要內(nèi)容多元函數(shù)的可微性與全微分，偏導數(shù)及其幾何意義,全微分存在的必要條件、充分條件，可微性的幾何意義及應用。復合函數(shù)的求導法則，復合函數(shù)的全微分。方向?qū)?shù)與梯度。高階偏導數(shù)，二元函數(shù)的中值定理和秦勒公式，二元函數(shù)的極值與最值?？疾辄c及目標層次1 深刻理解偏導數(shù)、全微分的概念, 偏導數(shù)及全微分的幾何意義。2 熟練掌握計

20、算多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的方法，特別是求復合函數(shù)的偏導數(shù)的運算。掌握求高階偏導數(shù)的運算3 理解全微分存在的必要條件和充分條件。理解多元函數(shù)的偏導數(shù)存在、可微、連續(xù)三者之間的關系，混合偏導數(shù)與求導順序無關的條件。4 了解全微分在近似計算中的應用5 理解方向?qū)?shù)和梯度的概念、并掌握其計算方法。6了解二元函數(shù)的中值定理和秦勒公式，能夠?qū)⒑唵蔚亩瘮?shù)展成秦勒公式7 理解多元函數(shù)（無條件）極值的概念、多元函數(shù)取極值的必要條件，充分條件，會求二元函數(shù)的極值和最大（小）值，會解一些簡單應用題。8 會求顯函數(shù)給出的空間曲面的切平面和法線。第十八章 隱函數(shù)定理及其應用 主要內(nèi)容隱函數(shù)概念，隱函數(shù)存在性條件的分

21、析，隱函數(shù)（存在惟一性、可微性）定理，隱函數(shù)求導。隱函數(shù)組概念，函數(shù)行列式，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導，反函數(shù)組與坐標變換。幾何應用。條件極值與拉格朗日乘數(shù)法?？疾辄c及目標層次1 深刻理解隱函數(shù)、隱函數(shù)組概念，理解隱函數(shù)(組)定理的條件和結(jié)論。2 掌握計算函數(shù)行列式，隱函數(shù)組（包括反函數(shù)組）的偏導數(shù)的方法。3會求隱函數(shù)給出的平面曲線的切線與法線、隱函數(shù)組及參數(shù)方程給出的空間曲線的切線與法平面、隱函數(shù)給出的空間曲面的切平面與法線。4 掌握應用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)條件極值的方法，能將實際問題中的某些極值問題抽象為數(shù)學中的條件極值問題。第十九章 含參量積分主要內(nèi)容含參量的正常積分概念及其性質(zhì)（連

22、續(xù)性、可積性與可微性）。含參量反常積分概念、性質(zhì)(連續(xù)性、可積性與可微性)、一致收斂及其判別法。歐拉積分(函數(shù)與函數(shù))?？疾辄c及目標層次1 理解含參變量有正常積分與反常積分概念及性質(zhì)（連續(xù)性、可積性與可微性）。2 理解含參變量無窮積分的一致收斂性，掌握維爾斯特拉斯M判別法，會用阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。3 會用積分號下的連續(xù)性、可積性和可微性，計算一些定積分與反常積分。4 了解函數(shù)與函數(shù)定義、性質(zhì)，以及它們之間的聯(lián)系，并利用它們計算一些定積分與反常積分。第二十章 曲線積分 主要內(nèi)容第一型曲線積分的定義與計算。第二型曲線積分的定義和計算，兩類曲線積分的聯(lián)系?？疾辄c及目標層次1 理解兩類曲線積分的概念及性質(zhì)，了解兩類曲