§2.2 函數解析的充要條件2011-9-27(上課用)

1、提問：（1）函數在平面上解析嗎？（2）函數 在點處是（ ）（A）不可導的. (B) 可導的. (C) 解析的. (D)既不可導也不解析. 若有可導處，寫出可導處的導數.§2.2 函數解析的充要條件教學目的：掌握復變函數可微、解析與實、虛部兩個二元實函數的關系（CR條件）；正確判斷函數的解析性重難點：判斷函數可導與解析教學過程：在形式上復變函數的導數及其運算法則與實函數相似，但實質上它們之間存在很大的的差異 【定理2.2 】（函數在一點可微的充要條件）設 定義在區(qū)域D上，則在點可微（可導）的充要條件是 ： (1) 在點可微； (2) 在點滿足（ 柯西黎曼條件或稱方程 ） 證明 必要性:

2、若 在點可微 記, , 其中 ，由導數的定義知 比較上式兩邊的實部、虛部得)）再由二元實函數可微的定義知, 在點可微, 且 充分性: 在點可微,且記 則 .所以 .說明：如果在點可微， 則有 導數公式 （由方程還可以寫出其它形式）特別注意：方程是函數可導的必要而非充分條件.在實函數中,我們知道由二元實函數具有一階連續(xù)偏導數可以推得二元函數可微, 由此可得【推論】 (可微的充分條件) 設定義在區(qū)域D上，則在點可微的充分條件是(1) 在點 處具有一階連續(xù)的偏導數； (2) 在點滿足CR條件注： 定理2.2的充分性由推論立即可得, 但必要性的證明需要用到第三章中的解析函數的無窮可微性例如：函數 令

3、，則在點處滿足方程即 ，但是由于在點處不連續(xù)，所以函數在處不可導.【定理2.3】 設定義在區(qū)域D上，則在內解析的充要條件是 (1) 在D內處處可微； (2) 在D內滿足方程【推論】設定義在區(qū)域D上，則在內解析的充分條件是 (1) 在D內具有一階連續(xù)的偏導數； (2) 在內滿足CR方程例1 討論下列函數的可導性與解析性（1）解：設, 則有, 記 , 因, , 顯然它們不滿足CR條件, 在平面上處處不可導且處處不解析（2）解： 設, 則有, 記 , 因 , , 顯然它們都是連續(xù)的.要使CR成立, 只需即可,所以 僅在原點可導, 但在z平面上處處不解析（3）.解：設, 則有 因為 ，且四個偏導數存在

4、且連續(xù)，所以 在z平面上處處可導且處處解析且注: 滿足此例題條件的解析函數稱為復指數函數（4）說明：在討論具體函數的可導性和解析性時,若CR方程不成立，則函數一定不可導.用推論有時更方便.思考提問：6若在曲線C上每點不解析，則在C上不可導（ ） 7若在曲線C上每點可導，則在C上每一點解析（ ）練習：（1）討論函數的可微性與解析性解 記, , 因 , ,顯然它們都是連續(xù)的.要使CR 條件滿足, 只需 即, 所以 僅在直線上可導, 但在z平面上處處不解析(2) 討論函數 的可導性與解析性解 記 , , 因 , ,顯然它們都是連續(xù)的 要使CR 條件滿足, 只需 即僅在軸或軸上的點可導， 但在z平面上

5、處處不解析例2 判斷函數 在何處可導，何處解析，并求解 ，四個一階偏導數連續(xù)，由CR方程得故 函數 僅在曲線上可導，又點在此曲線上，所以存在且6，而不在曲線上，所以 不存在例3判斷函數 在復平面上的解析性；若解析，試求解 , ，四個一階偏導數連續(xù)，由CR方程得成立，故函數 在復平面上處處解析且提問（1） 求實數，使在復平面上解析.分析：由條件可以推出 （2）設為解析函數，試確定的值.提示：由C-R方程推出：且 解得：=1, .例4 函數在區(qū)域D內解析, 且滿足下列條件之一, 證明: 在區(qū)域D內必為常數(1) （2）常數（3）在區(qū)域D內解析. (4) 在區(qū)域D內為常數（5），其中a,b,c為不全

6、為零的實常數.證明 (1) 由 知 ，故 u ，v都是常數，從而 在D內必為常數（2）設 ,因為 u常數，故 ，由方程知 ，從而 在D內必為常數(3) 設 , 則 . 又和都在區(qū)域D內解析, 由CR條件得, , 解得 , 再由實函數的知識, 與均為實常數, 所以在區(qū)域D內為常數(4) 設, 則 . 由題設在區(qū)域D內解析, 且為常數, 從而 (1) (2)由(2)式得 (3) (4)若, 則, 結論顯然成立；若,聯立(1)(3)(4)得，；再由實函數的知識, 與均為實常數, 所以在區(qū)域D內為常數（5）將兩邊分別求對的偏導數得當時，此與不同時為零矛盾，舍.當時，例5 設函數問常數為何值時，在復平面上處處解析？解 由于 ，由 故 當 時，在復平面上處處解析例6 如果為一個解析函數，且，那么曲線族和必定相互正交，其中 為常數（兩曲線在交點處的切線互相垂直）證明 由于，所以與必不全為零1） 如果在曲線的交點處與都不為零，由隱函數求導法知曲線族和中任意一條曲線在交點處的切線斜率分別為 ，由C-R方程得即 和正交2）如果和中有一個為零，則兩曲線族中的曲線在交點處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的，它們仍互相正交小結：1.判斷函數的解析性時最好將其轉化為運用推論即對應實、虛部函數是否具有一階連續(xù)偏導數，是否