質點運動學典型例題

1、.求解風吹氣球時氣球的運動情況一氣球以速率V0 從地面上升，由于風的影響，氣球的水平速度按Vxby 增大，其中 b 是正的常量， y 是從地面算起的高度，x 軸取水平向右的方向。試計算：(1) 氣球的運動學方程；(2) 氣球水平飄移的距離與高度的關系；(3) 氣球沿軌道運動的切向加速度和軌道的曲率與高度的關系。解：（ 1）取平面直角坐標系 x0y ，如圖一，令 t=0 時氣球位于坐標原點 （地面），已知VyV0 ， Vxby.顯然，有yV0t.（1）而 dxbybV0t , dxbV0 tdt,dtxt對上式積分，dxbV0 tdt , 得到00bV0 t 2（2）x.2故氣球的運動學方程為：

2、rbV0 t 2 i V0 tj .2(2)由（ 1）和（ 2）式消去 t，得到氣球的軌道方程，即氣球的水平飄移距離與高度的關系xby 2 .2V0（3）氣球的運動速率VVx2V y2b2V02t 2V02b2 y 2V02氣球的切向加速度adVb 2V0tb2V0 ydt.b2 t 21b2 y2V02.c.2a2和 a222dV x)2(dV y22 2, 可得而由 anaaxa y()b V0dtdtbV02.anb2 y2V02V 2由 an，求得V 2(b 2 y 2V02 ) 3 / 2anbV02小船船頭恒指向某固定點的過河情況一條筆直的河流寬度為 d，河水以恒定速度 u 流動，

3、小船從河岸的 A 點出發(fā)，為了到達對岸的 O 點，相對于河水以恒定的速率 V （V>u ）運動，不論小船駛向何處，它的運動方向總是指向 O 點，如圖一，已知 AO r0 , AOP0, 試求：小船的運動軌跡。若 O 點剛好在 A 點的對面（即AO d ），結果又如何？.c.解：選定極坐標系， 原點為 O 點，極軸為 OP 。在任一時刻t，小船的位置為 （ r ,），小船速度的徑向分量和橫向分量VrdrVu cosV r du sindtdt兩式相除，得到r ddu sindtdrrVu cosdrdt分離變量，drV u cos d(Vctg ) d ,ru sinu sin積分后，得到

4、rdr(Vctg)dr0ru sin0lnrV(lntanln tan0 )r0u22tgsinln2V / u0),(sintg02rtgsin 0既2V / u).r00(sintg2這就是用極坐標表示的小船的軌跡方程。若 O 點剛好在 A 點的對面，則 r0 d, 代入，得rd(tg)V / u .sin2(ln sin0ln sin)0，2求解小環(huán)對地的運動情況一細桿繞端點O 在平面勻角速旋轉，角速度為，桿上一小環(huán)（可看作質點）相對桿作勻速運動，速度為u.設 t0 時小環(huán)位于桿的端點O，求：小環(huán)的運動軌跡及小環(huán)在任意時刻的速度和加速度。.c.解：本題采用極坐標系較為方便。取t=0 時細

5、桿的位置為極軸，此時小環(huán)位于端點O.任意時刻 t ，小環(huán)的位置 rut,t .這就是小環(huán)在極坐標系中的運動學方程。消去 t，便得小環(huán)的軌跡方程：ru,式中 u 為常量， r與 成正比， 小環(huán)的軌跡為阿基米德螺線，如圖一。在任意時刻，小環(huán)的徑向速度Vrdru,dtr d橫向速度Vrut,dt速度的大小VVr2V 2u 2(r ) 2u 12 t 2 .速度的方向指向阿基米德線的切線方向。小環(huán)的徑向速度的大小不變，橫向速度隨r的增大而增大。任意時刻，小環(huán)的加速度adVd (ur 0r0 ) ，dtdtr 0 和0 為徑向和橫向的單位矢量，則a u dr 0drdtdt0drdt0u d0drdt2

6、 r 0dtr2u00rdr 0dt既徑向加速度ar2u2 t;橫向加速度 a2u.加速度的大小為aa 2a 2u 42t 2盡管質點的徑向速度大小不變，但徑向加速度并不為零，這是橫向速度方向的變化引起的。即使 u=0,小環(huán)停在半徑上某一位置處，這一項還是有的，這就是向心加速度。橫向加速度一半是徑向速度的方向改變引起的，另一半則是由半徑增大造成橫向速度增大引起的，因為這里橫向加速度是由徑向速度和橫向速度共同造成的。.c.求解煙對船的速度當蒸汽船以15km/h 的速度向正北方向航行時，船上的人觀察到船上的煙囪里冒出的煙飄向正向。過一會兒，船以 24km/h 的速度向正向航行，船上的人則觀察到煙飄

7、向正西北方向。若在這兩次航行期間，風速的大小和方向都不變，求：風速。（煙對地的速度即風對地的速度。）解：設風速為 V ，則人觀察到煙的飄向速度為V煙船 V馮地 V船地由圖一所示，可知V sin15（1）24V（ 2）sin(1350)sin 450由（ 2），得到cossin24 .V將（ 1）代入上式，得到cossin248sin15/ sin,55 cos5sin8 sin ,得到tg51.67 ，5903即風來自西偏南59 0 ，風速大小為17.5km/h.運用速度的相對性求解飛機往返一次的飛行時間一架飛機由 A 相對于空氣的速度為求：處向北飛往B 處，然后又向南飛回A 處。已知A、 B

8、 相距為 L，飛機V ，而空氣相對于地面的速度（即風速） 為 u，其方向為北偏西角，飛機往返一次的飛行時間。.c.解：由分析可知，V機對地 V機對氣 V氣對地 ，為了使飛機相對于地面的速度V 的方向指向正北。飛機相對于空氣的速度V 必須北偏東角，如圖一所示。由上面的矢量式，得到VxV sinu sin0VyV cosu cos .消去，得到VyV 2u 2 sin2u cos所以往程所需時間為t1LV y當飛機由B 返回 A 時， V、 u、 V三者的關系如圖二所示。同樣可得，VxV sinu sin0,Vy V cosu cos消去，得到 VyV 2u 2 sin2u cos .所以返程所需

9、時間為t2LV y則所求時間可求。.c.運用假設法判定靜摩擦力和滑動摩擦力在桌上有質量為m1 =1kg 的板，板與桌面之間的摩擦因數u10.5.板上有放有質量m2 =2kg 的物體，板與物體之間的摩擦因數20.25 ，如圖一。今以水平力F=19.6N 將板從物體下抽出。問：板與物體的加速度各為多少？解：當用力 F 拉動木板時，板上物體的運動有兩種可能性，一是物體相對于板為靜止，另一是物體的加速度小于板的加速度，即物體的運動滯后于板的運動，板將從物體下抽出?，F分兩種情況分別討論。（ 1） 物體的運動滯后于板的運動的情況物體和板的受力情況如圖二所示。注意桌面給予板的摩擦力以及板與物體間的摩擦力均為

10、滑動摩擦力。設板的加速度為a1 ，物體的加速度為a2 。列出板和物體的運動方程：對板： Ff 1f 2m1a1 ,N 1N 2m1 g0 ，f2m2 a2 , N 2m2 g0.又因為f11 N 1 , f 22 N 2聯立方程組，得a1F2 m2 g1 (m1m2 ) gm1, a22 g.代入數值，得 a10, a20.25g 2.45m / S2在本題的條件下，a2a1 , 這顯然是不合理的。（ 2） 物體與板相對靜止，物體與板一起運動的情況物體與板的受力圖如圖三所示。這里桌面給予板的摩擦力為滑動摩擦力，而物體與板間的摩擦力為靜摩擦力。板與物體的加速度相同，設為a，列出板與物體的運動方程

11、：Ff1f 2m1a,N 1N 2m1 g0,f2m2 a, N 2m2 g0,.c.又因為 f 11N1.聯立解方程，得到aF1 (m1m2 ) gm1m2,f2m2F1 ( m1m2 ) g ,m1m2代入數值，得到a1.63m / S2 ， f 23.26N .所求得的靜摩擦力f2 小于最大靜摩擦力 （ f mzx2 N 2 4.9N ），所以是可能實現的。由第一種情況的討論可知，只有 a1a2 才能將板從物體下抽出，根據以上計算結果，可得F2 m2 g1 (m1m2 ) gm12 g,或者 F( 12 )(m1m2 ) g.代入數值，得到F2.25g22.5N.飛車走壁一雜技演員在圓筒

12、形建筑物表演飛車走壁。設演員和摩托車的總質量為M ，直壁半徑為 R，演員騎摩托車在直壁上以速率V 做勻速圓周螺旋運動，每繞一周上升的距離為h，如圖一所示，求：直壁對演員和摩托車的作用力。解：演員受到兩個力的作用。一是重力G，另一個是直壁的作用力N. 把 N 分解為沿直壁向上的 N1 和指向圓周運動中心的 N 2 ，如圖二所示。同樣，把演員的速度V 分解為豎直向上的V1 和繞筒壁做圓周運動的水平速度V2 ，于是.c.N 1Mg ,N 2Ma nM V22.R展開螺旋面成斜面，如圖三所示，V 沿斜面向上。且有V2V cosV2 R,h2(2 R)2代入，得到N 2MV 24 2 Rh242 R 2

13、故圓筒壁對雜技演員的作用力大小為N N12 N22方向與壁成角，N 2arctg42 RV2arctg2 R2.N1( 4h2 ) g求解小船轉向的情況一質量為M 的機動船， 在進入河道彎道前Q 點處關閉發(fā)動機，以速度 V0 在靜水中行駛，設水的阻力與船速成正比。（ 1）若 Q 點至彎道處 P 點的距離為 L0 ，求船行至 P 點時的速度；（ 2）若船行至 P 點時開動發(fā)動機，給船以F0 的轉向力， F0 與速度方向的夾角為，如圖一所示，求：船在該點的切向加速度以及航道的曲率半徑。解：（ 1）在 PQ 的河流直道行駛中，船僅受水的阻力，號表示與速度的方向相反。有牛頓運動定律，得到f kV , k 為比例系數，負dVfkVm,.c.L00kVdV dsdVmmV,ds